論文題目 ：半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng)的求解1

1、 前言 達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式 用用MATLAB求解時(shí)所用到的函數(shù)求解時(shí)所用到的函數(shù) 無(wú)限長(zhǎng)的弦的自由振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)的弦的自由振動(dòng) 半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng)半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng) 達(dá)朗貝爾公式： 達(dá)朗貝爾公式的適用范圍：波動(dòng)方程為：沒(méi)有邊界條件，有初始條件；初始位移為：u|t=0=(x), 初始速度為ut|t=0=(x) 。 x+atx-at11u(x, t)= (x+at)+(x-at)+() d22a2-a= 0uuttxx 無(wú)限長(zhǎng)的弦的自由振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)的弦的自由振動(dòng) 例題1：定解問(wèn)題 utt-a*auxx=0 (-x) u（x,t=0）= sinTlx =(x) ut (x,t=0)=0 由達(dá)朗貝爾公式求得：

2、 u（x,t=0）= sinTlxcosTl(at) ，用軟件MATLAB進(jìn)行求解得的圖像按時(shí)間先后得到圖形如下所示：00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.5

3、0.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05 結(jié)論結(jié)論：由常規(guī)求解得到的波形為sinTlxcosTl（at)，在(3l7x4l7)的波形sinTlx向x軸的負(fù)方向傳播及在(3l7x4l7)的波形sinTlx向x軸的正方向傳播；在MATLAB上進(jìn)行求解所得圖像與之符合，兩例波所通過(guò)的地區(qū)振動(dòng)消失而弦靜止在原平衡位置. 例題2：定解問(wèn)題： utt-a*auxx=0 (-x) u（x,t=0）=(x)=0 ut (x,t=0)=(x)=1 由達(dá)朗貝爾公式求得：表示的波形向左和向右以a的速度移動(dòng).波也通過(guò)的地區(qū),振動(dòng)消失但偏離了

4、原平衡位置，用軟件MATLAB進(jìn)行求解的圖像.按時(shí)間先后得到圖形如下所示： 1x x= ( ) d-2a00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70

5、.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05 結(jié)論結(jié)論：用MATLAB求解得到的結(jié)果與常規(guī)求解所得結(jié)果一致，波也通過(guò)的地區(qū),振動(dòng)消失但偏離了原平衡位置. 用端點(diǎn)反射來(lái)解決半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng)問(wèn)題用端點(diǎn)反射來(lái)解決半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng)問(wèn)題例題1:半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng)的初始位移和初始速度都為零，端點(diǎn)做很小的振動(dòng)；u|x=0=Asin(wt)，求該弦的振動(dòng)。 解：設(shè)u(x,t)表示t時(shí)刻x處的位移 定解問(wèn)題 : utt-a*auxx=0 (0 xat,則端點(diǎn)的影響未傳到由達(dá)朗貝爾公式 得u(x,t)=0ii當(dāng)xat，考慮到端點(diǎn)的影響，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行延拓，設(shè)t=0時(shí)

6、刻,(x) =0 (x0) ; (x)= (x) (x0) (x) = 0 (x0); (x)=(x) (x0)代入達(dá)朗貝爾公式并且滿足邊界條件，假設(shè)(x)=0時(shí)，則(x)=2 Asin（-wx/a）.得到的解為u（x,t）= Asinw（t-x/a），結(jié)論：在沒(méi)有端點(diǎn)x=0影響下得到的波形是為零,然而隨著時(shí)間的改變,被端點(diǎn)反射的波影響的部分的波形為u（x,t）= Asinw （t-x/a）. 例題2.求解無(wú)限長(zhǎng)理想傳輸線上電報(bào)方程的解，端點(diǎn)通過(guò)電阻R 而相接。初始電壓分布Acoskx,初始電流分布Acoskx,在什么條件下端點(diǎn)沒(méi)有反射（這種情況叫做匹配） 解：設(shè)v(x,t)為t時(shí)刻x,處的電

7、壓 j(x,t)為t時(shí)刻x,處的電流定解問(wèn)題：電壓 vtt-a*avxx=0 x0 v(x,t=0)=Acoskx= (x) Vt (x,t=0)= =(x) 電流 jtt-a*ajxx=0 j(x,t=0)= Acoskx=(x) jt(x,t=0)= =(x) A k s i n k xL CC / LAksinkxL(1).xat,認(rèn)為端點(diǎn)的影響不能傳到，由達(dá)朗貝爾公式求解得： v（x,t）=Acosk(x-at) j（x,t）= Acosk(x-at) (2). xat,考慮到端點(diǎn)的影響，令 v（x,t）=Acosk(x-at)+V1 (x+at) ， j（x,t）= Acosk(x-

8、at) +j1 (x+at) 由jt=-vx/L， Vt=-jx/C的關(guān)系得 j1 (x+at)=- V1 (x+at) 再加上邊界條件v(x=0,t)=Rj(x=0,t),解得 C/L C/LL/C a tA c o s k a t11 - RC / LC / L1 + RC / Lj a tA c o s k a t11 - RC / L1 + RC / Lvvx,tAcosk xatAcoskat1-R C/L（）1+R C/L則j x,tAcosk x at Acoskat1-R C/L（）C/L1+R C/LAcoskat由表達(dá)式可知(x+at)項(xiàng)為反射波，要使反射波不存在，則 =0即 = 則R0稱為傳輸線的特性阻抗。結(jié)論 ：在沒(méi)有端點(diǎn)x=0反射波的影響的時(shí)候的電壓和電流的波形分別是v（x,t）= Acosk(x-at)和j（x,t）= Acosk(x-at)，受到端點(diǎn)的反射波影