數學分析Ch11隱函數習題

1、第十一章 隱函數習題 11.1 無條件極值1 討論下列函數的極值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中常數； （6） （）。解 (1) 先求駐點。由，解得，即函數有9個駐點。再由，可知。應用定理12.6.2。駐點，滿足，所以是極值點，而其余駐點不是極值點。再根據的符號，可知函數在點取極大值；在，四點取極小值。注 本題可使用配方法得到，由此易知，四點為函數的最小值點，最小值為，函數無最大值，點為函數的極大值點，極大值為。（2）先求駐點。由，兩式相減，可解得，即駐點為，三點。再由，可知。應用定理12.6.2。駐點，滿足，所以是極值點，再根據的符號，可知函數在，兩點取極小值。在點，有，且。由

2、于，可知函數在點附近變號，所以不是極值點。（3）先求駐點。由，解得是唯一的駐點。由，可知函數在點附近變號，即不是極值點，所以函數無極值點。注 對于二次多項式，它的Hesse矩陣H是常數矩陣，我們有如下結論：設為的駐點，則由可知（a）為最小值的充分必要條件是H為半正定矩陣；（b）為最大值的充分必要條件是H為半負定矩陣；（c）不是極值的充分必要條件是H為不定矩陣。本題由于函數的Hesse矩陣為不定矩陣，所以不是的極值點。（4）先求駐點。由，解得;，即駐點為，和五點。再由，可知。應用定理12.6.2。駐點，滿足，所以是極值點，再根據的符號，可知函數在，取極小值。在，點，所以，不是極值點。在點，且。由

3、于，易知函數在點附近變號，所以不是極值點。（5）先求駐點。由，解得是唯一的駐點。再由，可知。應用定理12.6.2。由于在駐點有，再根據的符號，可知函數在點取極小值。（6）先求駐點。由，解得唯一的駐點。由于函數在點的Hesse矩陣是正定的，所以函數在取極小值。2設，證明函數的最小值為。證 先求駐點。由，解得唯一駐點，由于函數在點的Hesse矩陣是正定的，所以函數在點取極小值。注 本題可使用配方法得到，由此可知函數在點取最小值。3. 證明函數有無窮多個極大值點，但無極小值點。證 由，解得,，所以駐點為，。由，可知在駐點處，所以當k為奇數時，不是極值點；當k為偶數時，再由，可知是極大值點。所以函數有

4、無窮多個極大值點，但無極小值點。4求函數在閉區(qū)域上的最大值與最小值。解 由，得到。在上考慮，得到，即是函數在區(qū)域內部唯一的駐點。由于在區(qū)域邊界上，即當或或時，有，而在區(qū)域內部唯一的駐點上取值為，根據閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質，可知函數的最大值為，最小值為。5在上用怎樣的直線來代替曲線，才能使它在平方誤差的積分為極小意義下的最佳近似。解 是的二次多項式，它的Hesse矩陣是正定的，所以有最小值（見第1題（3）的注）。對參數求導，得到，即是唯一的駐點，所以必定是最小值點。因此最佳直線為。6在半徑為的圓上，求內接三角形的面積最大者。解 設圓內接三角形的各邊所對的圓心角為，則三角形的面積為，由第4題知時面

5、積最大，這時圓內接三角形為正三角形，。7要做一圓柱形帳幕，并給它加一個圓錐形的頂。問：在體積為定值時，圓柱的半徑，高，及圓錐的高滿足什么關系時，所用的布料最省？解 由帳幕的體積，得到，于是帳幕的表面積為。對與求偏導數，得到。由第一個方程，得到，再將與代入第二個方程，得到，所以當時，布料最省。8求由方程所確定的隱函數的極值。解 由, 得到, 再代入得到，由此可知隱函數的駐點為，且當時有。由于在駐點有，根據的符號可知在取極大值，在取極小值。注 本題也可由，得到，由此可知在取極大值，在取極小值。9求由方程所確定的隱函數的極值。解 由, 得到與, 再代入，得到即。由此可知隱函數的駐點為與。由，可知在駐

6、點與有。在點，因此 ，所以為極小值點，極小值為；在點，因此 ，所以為極大值點，極大值為。注1 原方程可以改寫為，由左邊非負可得，即或者。注2 在三維空間中，方程的圖像是雙葉雙曲面，由兩個不相連的部分組成。其中之一開口向上，最小值，另一個開口向下，最大值。10在平面上求一點，使它到三直線，和的距離的平方和最小。解 平面上點到三直線的距離平方和為。對求偏導數， ，得到，所以函數只有一個駐點。由于，可知函數在駐點有最小值。11證明：圓的所有外切三角形中，以正三角形的面積為最小。證 設圓半徑為，外切三角形的兩個頂角為與，則三角形的面積為。由，得到，所以，即外切正三角形的面積為最小。12證明：圓的所有內

7、接邊形中，以正邊形的面積為最大。證 設圓半徑為，圓內接邊形的各邊所對的圓心角為，則邊形的面積為。由，推出，所以，即內接正邊形的面積為最大。13證明：當時，成立不等式。證 令，對求偏導，解得。對固定的，根據在附近的符號變化，可知（作為的函數）的極大值點為，極大值為。再對求導，得到。記，則，所以，于是嚴格單調增加。再由，得到 。14某養(yǎng)殖場飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng)（萬尾），乙種魚放養(yǎng)（萬尾），收獲時兩種魚的收獲量分別為 和 （）。求使產魚總量最大的放養(yǎng)數。解 魚總產量為。對求偏導數，解得，。因為是二次多項式，由，可知其Hesse矩陣是負定的，所以函數有最大值，即當，時產魚總量最大。習題 11.2

8、條件極值問題與Lagrange乘數法1. 求下列函數的條件極值：（1），約束條件為；（2），約束條件為；（3），約束條件為其中，。解 （1）令，求偏導，得到解得，即目標函數只有一個駐點。 由，可知是目標函數的條件極大值點，也是條件最大值點，條件最大值為。（2）令，求偏導，得到由前三式得到，代入約束條件，解得。因為滿足約束條件的點集是連通緊集，目標函數連續(xù)，所以必有最大值和最小值。由于目標函數的駐點為，對應的目標函數值為，所以，。（3）令，求偏導，得到于是。因為滿足約束條件的點集是連通緊集，目標函數連續(xù)，所以必有最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程組關于的解中。由，得到，代入

9、上面的方程組，得到 由約束條件可知駐點不在原點，即上面方程組有非零解，所以其系數行列式為零。經計算得到，顯然目標函數的最大值與最小值不為零，即，所以的最大值與最小值分別為方程的兩個根。2. 在周長為的一切三角形中，找出面積最大的三角形。解 記三角形的邊長為，面積為，則。令，求偏導數，得到于是，再根據約束條件得到，所以面積最大的三角形為正三角形，最大面積為。3. 要做一個容積為1立方米的有蓋鋁圓桶，什么樣的尺寸才能使用料最??？解 假設圓桶的底面半徑為r，高為h，則圓桶的容積為，表面積為。令，求偏導，得到解得，再代入約束條件，得到，。根據題意，目標函數必有最小值，所以可知當底面半徑為，高為時用料最

10、省。4. 拋物面被平面截成一橢圓，求原點到這個橢圓的最長距離與最短距離。解 設原點到橢圓上一點的距離為，則。令，求偏導數，得到將前兩式相減，得到。若，則有，顯然不滿足約束條件。若，則，再聯立約束條件與，可解出，從而有。由于滿足約束條件的點集是連通緊集，目標函數連續(xù)，所以必有最大值和最小值。于是得到，。5. 求橢圓的內接等腰三角形，其底邊平行于橢圓的長軸，而使面積最大。解 設為三角形底邊上的頂點，則三角形面積為，令，求偏導數，得到消去，可得，再聯立約束條件，可得滿足的駐點只有和。當時，當時。由題意三角形面積一定存在最大值，于是得到。6. 求空間一點到平面的距離。解 設為平面上的一點，它與點之間的

11、距離為，則，令，求偏導，得到 解得，代入約束條件，得到。于是，所以到平面的距離為。7. 求平面與柱面相交所成的橢圓的面積（都不為零；為正數）。解 橢圓的中心在原點，原點到橢圓周上點的距離d的最大值和最小值分別為橢圓的長半軸和短半軸。令，求偏導數，得到于是。因為滿足約束條件的點集是連通緊集，目標函數連續(xù)，所以必有最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程組關于的解中。以代入前兩個方程，可得此方程組有非零解，所以系數行列式為0。因此，即 。這個二次方程的兩個根與就是橢圓的長半軸和短半軸的平方，因此橢圓面積為，利用多項式根與系數的關系可得，所以。8. 求在條件下的最小值，其中，為常數。

12、并證明不等式。解 令，求偏導數，得到解得。由于連續(xù)函數在線段的兩個端點上的函數值有，所以。因此。9. 當時，求函數在球面上的最大值。并由此證明：當為正實數時，成立不等式。解 令，求偏導數，得到解得，代入約束條件，可得，。由于目標函數無最小值，所以唯一的駐點必是最大值點。于是得到，即。由前一式得到。在后一式中令，和，得到。10（1）求函數在約束條件下的極大值，其中均為正常數；（2）利用（1）的結果證明：對于任何正數，成立不等式。解 （1）令，求偏導數，得到解得，代入約束條件，得到，所以，。由于目標函數無最小值，所以唯一的駐點必是最大值點。于是，即得到。（2）令，則，且。利用（1）的結果，有。整理

13、后得到。11求之值，使得橢圓包含圓，且面積最小。解 為了使橢圓既包含圓，又面積最小，可以要求圓心到橢圓周上的點的最短距離為。為此先考慮目標函數在條件下的極小值問題，并設條件極小值為，由此導出之間的關系。構造Lagrange函數，求偏導數，得到并由此可得。若，則。由，可得。在方程組中消去，得到，容易知道當時方程除了解外另有一解，這說明橢圓不完全包含圓，不滿足條件。所以，這時橢圓面積。若，則，代入，得到必須滿足的關系式。現求目標函數在條件下的極小值。令，求偏導數，得到消去，得到，再代入關于的約束條件，解得，這時橢圓面積。由于，所以當，時，橢圓包含圓，且面積最小。12設三角形的三個頂點分別在三條光滑

14、曲線，及上。證明：若三角形的面積取極大值，則各曲線分別在三個頂點處的法線必通過三角形的垂心。證 不妨固定一邊于軸上，點在曲線上移動，設是所確定的隱函數，則就是三角形的高，當三角形的面積取極大值時，即曲線在點的切線與對邊平行，所以在點的法線與邊垂直。由于這是圖形的幾何性質，不依賴于坐標系，所以曲線與在三個頂點處的切線分別平行于三角形的對邊，從而在三個頂點處的法線分別垂直于三角形的對邊。13設為個已知正數。求元函數在約束條件下的最大值與最小值。解 由于在沒有駐點，所以只需要求在約束條件下的最大值與最小值。令，求偏導數，得到，所以，代入約束條件，可得，于是，從而，。14求二次型在維單位球面上的最大值與最小值。解 令，求偏導數，得到 ，由，可知，即目標函數的最大值和最小值包含在上面的方程組關于的解中。記，由于方程組有非零解，所以系