矩陣與范數(shù)—掃盲

1、矩陣與范數(shù)、譜半徑、奇異值矩陣論主要研究的是線性空間以及在線性空間中的一些操作，主要是線性變換。當(dāng)然書中主要是針對有限維的情況來討論的，這樣的話就可以用向量和矩陣來表示線性 空間和線性變換，同其他的數(shù)學(xué)形式一樣，矩陣是一種表達(dá)形式（notation），而這一方面可以簡潔地表達(dá)出我們平時遇到的如線性方程和協(xié)方差關(guān)系的協(xié) 方差矩陣等，另一方面又給進(jìn)一步的研究或者問題的簡化提供了一個平臺。如特征值分析、穩(wěn)定性分析就對應(yīng)著諸如統(tǒng)計分布和系統(tǒng)穩(wěn)定性等實際問題。而一系列的 分解則可以方便方程的數(shù)值計算。作為矩陣論的學(xué)習(xí)，我們需要了解具體的一些計算究竟是怎么算的，但更關(guān)鍵的是要知道各個概念和方法的實際意義，

2、各個概念之 間的關(guān)系。   首先介紹的是線性空間，對于線 性空間中的任意一個向量的表示有基（相當(dāng)于度量單位）和坐標(biāo)（相當(dāng)于具體的尺度），基既然作為度量標(biāo)準(zhǔn)了，當(dāng)然要求對每一個向量都適用，同時這個標(biāo)準(zhǔn)本身 也應(yīng)該盡可能的簡潔，那么就得到了基定義的兩點約束：、基的組成向量線性無關(guān)；、線性空間中的任一個向量都可以由基的線性表示。   基作為一種“計量標(biāo)準(zhǔn)”，當(dāng)然可能會存在多種形式，只要滿足上面的兩點條件，因而就有必要解決不同的度量標(biāo)準(zhǔn)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而得到過渡矩陣的概念，同時可以使用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系（過渡矩陣）去完成度量量（坐標(biāo)）之間的轉(zhuǎn)換。

3、   在完成了線性空間這一對象的認(rèn) 識和表達(dá)之后，下面需要研究對象和對象之間的關(guān)系。這里主要是線性變換，線性變換針對于實際對象主要完成類似于旋轉(zhuǎn)和尺度變換方面的操作，而這種操作也牽 涉到表達(dá)的問題。為了保持與空間的一致性，我們也同樣是在特定的基下來表示，從而線性變換就具體化為一個變換矩陣，并且，在不同的基下對應(yīng)的變換矩陣當(dāng)然 也不相同，這里的不同的變換矩陣的關(guān)系就是相似的概念。到此，我們完成了空間中向量的表示和線性變換的矩陣表達(dá)。這里涉及了基、坐標(biāo)、過渡矩陣、變換矩陣、相似矩陣這幾個重要的概念。上面算是內(nèi)涵上的認(rèn)識，下面我們需要知道線性空間里究竟有些什么東西，它是

4、如何組成的，各個組成成分之間的關(guān)系，也就是空間的結(jié)構(gòu)性方面的東西。首先認(rèn)識子空間（空間的組成部分），當(dāng)然既然也是空間，也就要滿足空 間的加法和數(shù)乘的封閉性，要滿足那八條定律。后者可以由父空間保證，前面的就要子空間自身素質(zhì)了。同時要看子空間之間的并、交、直和運算和相應(yīng)的秩的關(guān) 系。這里提到了維數(shù)，就要多說幾句了，空間中的元素往往是連續(xù)過渡的，但是對于有限空間而言還有離散的性質(zhì)，那就是維數(shù)，我稱其為“不伸則已，一伸則增 一”，從這也就說明了為什么可以用若干個子空間的直和可以等價于原線性空間。     子空 間的形式很多，有生成子空間、值域空間、零空

5、間（木木先生注：此處指核空間）和特征子空間等等，我們重點看看特征子空間。一個空間可以劃分為若干個特征子 空間的直和形式，而每個特征子空間的共同特征就是具有相同的特征值，范圍就是對應(yīng)著這個特征值的若干特征向量的生成子空間。為什么要這樣劃分？因為我們在平時的研究中，整個線性空間太大了，我 們需要縮小研究范圍，某一個或幾個特征子空間就夠了。或者是模式分類時，每一個樣本點就屬于某個子空間，我們首先需要知道有哪些類，類的特點是什么，這就 是特征子空間。當(dāng)然對于協(xié)方差矩陣而言，特征值還具有能量屬性，在清楚各個特征子空間的位置后，我們可以通過某些變換改變這些子空間的空間分布。在系統(tǒng)研 究中，還可以在清楚特征

6、子空間分布后成功地實現(xiàn)系統(tǒng)或方程的解耦。呵呵，可能其用途很多很多，但關(guān)鍵的一點就是，我們必須認(rèn)識空間的結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上再結(jié) 合對應(yīng)的物理空間或幾何空間的實際意義進(jìn)行進(jìn)一步的處理。   人心苦不足，在知道了上面的東 西之后，大家在想，可視的二維平面和三維立體空間中，為了研究向量的長度及向量和向量之間的角度，提出了內(nèi)積的概念，在線性空間中，人們也對內(nèi)積的概念作 了延拓，于是將原先的線性空間添油加醋改裝成了內(nèi)積空間（分為實數(shù)的歐式空間和復(fù)內(nèi)積空間），這里的油醋就是以下的四點：1、交換律；2、分配律；3、齊 次性；4、非負(fù)性。向量自身的內(nèi)積開二次根得到長度，兩個向量內(nèi)積除

7、以兩個向量的長度得到角度的余弦。所有這些都是與可視空間中的性質(zhì)是一致的（可以參閱 由相容性想到的）。這里要注意的是，它只給出了內(nèi)積的約束，但在具體的向量空間中內(nèi)積的計算形式卻沒有硬性規(guī)定，要想量化內(nèi)積，很自然地就是要知道， 量化的標(biāo)準(zhǔn)是什么，這就引出了度量矩陣（結(jié)合具體的內(nèi)積計算式，計算得到的基的內(nèi)積構(gòu)成的矩陣）的概念?？紤]到內(nèi)積的非負(fù)性和交換律，度量矩陣必須是對稱 正定矩陣。這里也和前面一樣，度量矩陣是在一定基下定義的，當(dāng)基變化了，度量矩陣也會發(fā)生改變，相同的內(nèi)積定義式在不同的基下得到的度量矩陣是合同的，呵 呵，又多了一個概念。而且，對稱變換、正交性也在內(nèi)積這找到了家。老是待在線性代數(shù)的視野

8、范圍內(nèi)，終歸有些不爽，下面就正式進(jìn)入了分析的領(lǐng)域，既然是矩陣分析，首先就是什么是矩陣函數(shù)，該如何定義，當(dāng)然書中是先從矩陣級數(shù)出發(fā)的，既然是級數(shù)，就會牽涉到部分和的收斂問題，收斂就是極限問題，如何定義矩陣的極限？   最原始的就是按坐標(biāo)收斂，不過 那么多的元素要收斂，太累了！怎么辦呢？其實這從本質(zhì)上來說是多元衡量尺度一元化的問題，于是就找出了范數(shù)的概念，用一個范數(shù)來代替多個元素的收斂問題的 討論。不同矩陣范數(shù)的等價性保證了函數(shù)極限的一致性。在某種程度上范數(shù)成了距離的代名詞，但要注意的是范數(shù)的概念要比距離強得多（主要是增加了絕對齊次 性），我們會用范數(shù)去表示不同樣本之

9、間的距離，用范數(shù)去表示誤差程度，用范數(shù)去衡量許許多多的表示某種程度的量。其實總結(jié)到此本來可以宣告結(jié)束，但是隨著計算技術(shù)的發(fā)展，諸如線性方程組求解、矩陣求逆等問題都需要一些補充內(nèi)容：1、矩陣分解（簡化方程求解）2、廣義逆（病態(tài)矩陣和一般矩陣的求逆問題）不過其最小二乘性質(zhì)還真好使。3、特征值估計（求高階的多項式方程可是要命的事，大概知道特征值和特征空間的位置對于一定的應(yīng)用場合就可以了）這就是我暫時對矩陣論的理解，呵呵，相對于一年前對線性代數(shù)的理解要深刻得多了，在以后的研究實踐中會進(jìn)一步豐富的。   什么是范數(shù)矩陣論及矩陣計算 在介紹主題之前，先來談一個非常重

10、要的數(shù)學(xué)思維方法：幾何方法。在大 學(xué)之前，我們學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，方程則是求函數(shù)的零點；到了大學(xué)，我們學(xué)微積分、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函等。 我們一直都在學(xué)習(xí)和研究各種函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)是數(shù)學(xué)一條重要線索，另一條重要線索幾何，在函數(shù)的研究中發(fā)揮著不可替代的作用，幾何是函數(shù)形象表達(dá)， 函數(shù)是幾何抽象描述，幾何研究“形”，函數(shù)研究“數(shù)”，它們交織在一起推動數(shù)學(xué)向更深更抽象的方向發(fā)展。  函數(shù)圖象聯(lián)系了函數(shù)和幾何，表達(dá)兩個數(shù)之間的變化關(guān)系，映射推廣了函 數(shù)的概念，使得自變量不再僅僅局限于一個數(shù)，也不再局限于一維，任何事物都可以拿來作映射，維數(shù)

11、可以是任意維，傳統(tǒng)的函數(shù)圖象已無法直觀地表達(dá)高維對象之 間的映射關(guān)系，這就要求我們在觀念中，把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。  由于映射的對象可以是任何事物，為了便于研究映射的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)表 達(dá)，我們首先需要對映射的對象進(jìn)行“量化”，取定一組“基”，確定事物在這組基下的坐標(biāo)，事物同構(gòu)于我們所熟悉的抽象幾何空間中的點，事物的映射可以理解 為從一個空間中的點到另一個空間的點的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象為映射空間中的一個點，這就是泛函中需要研究的對象函數(shù)。  從一個線性空間到另一個線性空間的線性映射，可以用一個矩陣來表達(dá)， 矩陣被看作線性映

12、射，線性映射的性質(zhì)可以通過研究矩陣的性質(zhì)來獲得，比如矩陣的秩反映了線性映射值域空間的維數(shù)，可逆矩陣反映了線性映射的可逆，而矩陣的 范數(shù)又反映了線性映射的哪些方面的性質(zhì)呢？矩陣范數(shù)反映了線性映射把一個向量映射為另一個向量，向量的“長度”縮放的比例。  范數(shù)是把一個事物映射到非負(fù)實數(shù)，且滿足非負(fù)性、齊次性、三角不等 式，符合以上定義的都可以稱之為范數(shù)，所以，范數(shù)的具體形式有很多種（由內(nèi)積定義可以導(dǎo)出范數(shù)，范數(shù)還也可以有其他定義，或其他方式導(dǎo)出），要理解矩陣的 算子范數(shù)，首先要理解向量范數(shù)的內(nèi)涵。矩陣的算子范數(shù)，是由向量范數(shù)導(dǎo)出的，由形式可以知： 由矩陣算子范數(shù)的定義形

13、式可知，矩陣A把向量x映射成向量Ax，取其 在向量x范數(shù)為1所構(gòu)成的閉集下的向量Ax范數(shù)最大值作為矩陣A的范數(shù)，即矩陣對向量縮放的比例的上界，矩陣的算子范數(shù)是相容的。由幾何意義可知，矩陣的 算子范數(shù)必然大于等于矩陣譜半徑（最大特征值的絕對值），矩陣算子范數(shù)對應(yīng)一個取到向量Ax范數(shù)最大時的向量x方向，譜半徑對應(yīng)最大特征值下的特征向量的 方向。而矩陣的奇異值分解SVD，分解成左右各一個酉陣，和擬對角矩陣，可以理解為對向量先作旋轉(zhuǎn)、再縮放、最后再旋轉(zhuǎn)，奇異值，就是縮放的比例，最大奇 異值就是譜半徑的推廣，所以，矩陣算子范數(shù)大于等于矩陣的最大奇異值，酉陣在此算子范數(shù)的意義下，范數(shù)大于等于1。此外，不同

14、的矩陣范數(shù)是等價的。 范數(shù)理論是矩陣分析的基礎(chǔ)，度量向量之間的距離、求極限等都會用到范數(shù)，范數(shù)還在機器學(xué)習(xí)、模式識別領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 首先說說空間(space)，這個概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓 撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就 成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間?？傊臻g有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然后滿足某些性質(zhì)”，就可以被稱為

15、空間。這未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。我 們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多， 先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點。仔細(xì)想想我們就會知道，這個三維的空間：1.由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2. 這些點之間存在相對的關(guān)系；3. 可以在空間中定義長度、角度；4.這個空間可以容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運 動，上 面的這些性質(zhì)中，最最關(guān)鍵的是第4

16、條。第1、2條只能說是空間的基礎(chǔ)，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學(xué)問題，都得有一個集合，大多數(shù)還得在這個集合上 定義一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關(guān)鍵的性質(zhì)。只有第4條是空間的本質(zhì)，也就是說，容納 運動是空間的本質(zhì)特征。認(rèn) 識到了這些，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認(rèn)識擴(kuò)展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運動（變換）。你會 發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會存在一種相對應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應(yīng)空 間中允許的運動形式而已

17、。因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規(guī)定了對應(yīng)空間的運動。下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認(rèn)線性空間是個空間，那么有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：1.空間是一個對象集合，線性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什么共同點嗎？2.線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式。通常的向量空間我就不

18、說了，舉兩個不那么平凡的例子：L1.最高次項不大于n次的多項式的全體構(gòu)成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0,x1, .,xn為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關(guān)就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。L2. 閉區(qū)間a,b上的n階連續(xù)可微函數(shù)的全體，構(gòu)成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每一個對象是一個連續(xù)函數(shù)。對于其中任何一個連續(xù)函數(shù)，根據(jù)魏 爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大

19、于n的多項式函數(shù)，使之與該連續(xù)函數(shù)的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結(jié)為L1了。后面就不用再重 復(fù)了。所以說，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線性空 間里任何一個對象。這里頭大有文章，因為向量表面上只是一列數(shù)，但是其實由于它的有序性，所以除了這些數(shù)本身攜帶的信息之外，還可以在每個數(shù)的對應(yīng)位置上 攜帶信息。為什么在程序設(shè)計中數(shù)組最簡單，卻又威力無窮呢？根本原因就在于此。這是另一個問題了，這里就不說了。下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數(shù)的一個最根本的問題。線 性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以

20、通過一個線性變化來完成。那么，線性變換如何表示呢？ 很有意思，在線性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而 使某個對象發(fā)生對應(yīng)運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。簡而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。是的，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。（chensh，說你呢?。┛墒嵌嗝从幸馑及。蛄勘旧聿皇且部梢钥闯墒莕 x1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和

21、運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均與這個巧合有直接的關(guān)系。   上一篇里說“矩陣是運動的描 述”，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因為運動這個概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我 們學(xué)習(xí)微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)，是研究運動的數(shù)學(xué)。大家口口相傳， 差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗

22、里，運動是一個連續(xù)過程，從A點到B點，就算走得 最快的光，也是需要一個時間來逐點地經(jīng)過AB之間的路徑，這就帶來了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不 了。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜?shù)人膫€悖論）搞得死去活 來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的重溫微積分。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數(shù) 學(xué)是研究運動的數(shù)學(xué)”這句話的道理。     不過在我這個理解矩陣的文章里，“運動”的概

23、念不是微積分中的連續(xù)性的運動，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個時刻在A點，經(jīng)過一個“運動”，一下子就“躍遷” 到了B點，其中不需要經(jīng)過A點與B點之間的任何一個點。這樣的“運動”，或者說“躍遷”，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗的。不過了解一點量子物理常識的人，就會立 刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級軌道上跳躍，就是瞬間發(fā)生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說，自然界中并不是沒有這種運動現(xiàn)象，只不過宏觀上我們 觀察不到。但是不管怎么說，“運動”這個詞用在這里，還是容易產(chǎn)生歧義的，說得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”。因此這句話可以改成：“矩陣是線性空間里躍遷的描述”。可是這樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也

24、就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語變換， 來描述這個事情。這樣一說，大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實就是空間里從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷。比如說，拓?fù)渥儞Q，就是 在拓?fù)淇臻g里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。 做計算機圖形學(xué)的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學(xué)變換矩陣都是4x4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方 便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關(guān)。真正的原因，是因為在計算機圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實際上是在仿射空

25、間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量 空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現(xiàn)實世界等長的兩個平行線段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個東西，所以計算機圖形學(xué)的生存空間實際上是仿射空 間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4x 4的。又扯遠(yuǎn)了，有興趣的讀者可以去看計算機圖形學(xué)幾何工具算法詳解。一旦我們理解了“變換”這個概念，矩陣的定義就變成：“矩陣是線性空間里的變換的描述。”到這里為止，我們終于得到了一個看上去比較數(shù)學(xué)的定義。不過還要多說 幾句。教材上一般是這么說的，在一個線性空間V里的一個線性變換T，當(dāng)選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是 基，什么叫選定

26、一組基。線性變換的定義是很簡單的，設(shè)有一種變換T，使得對于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數(shù)a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就稱T為線性變換。    定 義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說了，變換是從空間的一個點躍遷到另一個點，而線性變換，就 是從一個線性空間V的某一個點躍遷到另一個線性空間W的另一個點的運動。這句話里蘊含著一層意思，就是說一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個 點，而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。不管你怎么

27、變，只要變換前后都是線性空間中的對象，這個變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個非奇 異矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變換，一定是一個線性變換。有的人可能要問，這里為什么要強調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對方陣有意義， 那么非方陣的情況怎么樣？這個說起來就會比較冗長了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我 覺得這個不算是重點，如果確實有時間的話，以后寫一點。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說，下面所 說的矩陣，不作說明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。學(xué)習(xí)一門學(xué)問，最重要的

28、是把握主干內(nèi)容，迅速建立對于這門學(xué)問的整體概念，不必一開始就考慮所有的 細(xì)枝末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳。    接著往下說，什么是基呢？這個問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個“對立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標(biāo)系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述?！崩斫膺@句話的關(guān)鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的

29、一個描述”區(qū)別開。一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?，一個對象可以有多個引用，每個引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個對象。如果還不形象，那就干脆來個很俗的類比。    比如有一頭豬，你 打算給它拍照片，只要你給照相機選定了一個鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個照片可以看成是這頭豬的一個描述，但只是一個片面的的描述，因為 換一個鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本 身。   同樣

30、的，對于一個線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。    但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個矩陣，我怎么知道這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？如果是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認(rèn)識，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質(zhì)，那就是：若矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之所以會不同，是因為選定了

31、不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系），則一定能找到一個非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關(guān)系：A =P-1BP     線性代數(shù)稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯，所謂相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣。按照這個定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點，不過能讓人明白。而在上面式子里那個矩陣P，其實就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個變換關(guān)系。關(guān)于這個結(jié)論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時間的話，我以后在blog里補充這個證明

32、。    這個發(fā)現(xiàn)太重要 了。原來一族相似矩陣都是同一個線性變換的描述啊！難怪這么重要！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似 標(biāo)準(zhǔn)型，對角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個矩陣與先前的那個矩陣式相似的，為什么這么要求？因為只有這樣要求，才能保證變換前后的兩個矩陣是描 述同一個線性變換的。當(dāng)然，同一個線性變換的不同矩陣描述，從實際運算性質(zhì)來看并不是不分好環(huán)的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易理解， 同一頭豬的照片也有美丑之分嘛。所以矩陣的相似變換可以把一個比較丑的矩陣變成一個比較美的矩陣，而保

33、證這兩個矩陣都是描述了同一個線性變換。這 樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡單，或者說，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變 換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標(biāo)系（基）表 換到另一個坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理 和規(guī)則會變得更加清晰、直覺首先來總結(jié)一下前面兩部分的一些主要結(jié)論：1. 首先有空間，空間可以容納對象運動的。一種空間對應(yīng)一類對象。2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對象運動的。3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。6. 同一個變換，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以本征值相同。言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關(guān)的話，那么它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個坐標(biāo)系體系，其中每一個向量都躺在一根坐標(biāo)軸上，并且成為那根坐標(biāo)軸上的基本度量單位（長度1）。    &#