目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

1、目標(biāo)規(guī)劃（目標(biāo)規(guī)劃（Goal ProgrammingGoal Programming，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為GP)GP)是在線性規(guī)劃是在線性規(guī)劃 的基礎(chǔ)的基礎(chǔ) 上，為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理中上，為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理中多目標(biāo)決策多目標(biāo)決策的需要而逐步發(fā)展起來(lái)的一個(gè)運(yùn)籌學(xué)分的需要而逐步發(fā)展起來(lái)的一個(gè)運(yùn)籌學(xué)分支，是實(shí)行目標(biāo)管理這種現(xiàn)代化管理技術(shù)的一個(gè)有支，是實(shí)行目標(biāo)管理這種現(xiàn)代化管理技術(shù)的一個(gè)有效工具效工具. .目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念和模型最早在目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念和模型最早在19611961年由美國(guó)學(xué)年由美國(guó)學(xué)者查恩斯（者查恩斯（A.CharnesA.Charnes）和庫(kù)伯（）和庫(kù)伯（W.W.CooporW.W.Coopor）

2、在）在他們合著的他們合著的管理模型和性規(guī)劃的工業(yè)應(yīng)用管理模型和性規(guī)劃的工業(yè)應(yīng)用一書(shū)一書(shū)中提出，以后這種模型又先后經(jīng)尤吉中提出，以后這種模型又先后經(jīng)尤吉艾吉里艾吉里（ Yuji.IjiriYuji.Ijiri）等人的不斷完善改進(jìn)，）等人的不斷完善改進(jìn)，19761976年伊格尼年伊格尼齊奧（齊奧（J.P.IgnizioJ.P.Ignizio）發(fā)表了）發(fā)表了目標(biāo)規(guī)劃及其擴(kuò)展目標(biāo)規(guī)劃及其擴(kuò)展一一書(shū)，書(shū)， 系統(tǒng)歸納總結(jié)了目標(biāo)規(guī)劃的理論和方法系統(tǒng)歸納總結(jié)了目標(biāo)規(guī)劃的理論和方法目前研究較多的有目前研究較多的有線性目標(biāo)規(guī)劃線性目標(biāo)規(guī)劃、非線性目標(biāo)規(guī)劃、非線性目標(biāo)規(guī)劃、線性整數(shù)目標(biāo)規(guī)劃和線性整數(shù)目標(biāo)規(guī)劃和0 0

3、1 1目標(biāo)規(guī)劃等目標(biāo)規(guī)劃等. .本章主要研究本章主要研究線性目標(biāo)規(guī)劃線性目標(biāo)規(guī)劃 某生物藥廠需在市場(chǎng)上采購(gòu)某種原料，某生物藥廠需在市場(chǎng)上采購(gòu)某種原料，現(xiàn)市場(chǎng)上有甲、乙兩個(gè)等級(jí)，現(xiàn)市場(chǎng)上有甲、乙兩個(gè)等級(jí)，單價(jià)分別為單價(jià)分別為 2 2 千元千元/kg/kg和和 1 1 千元千元/kg/kg，要求采購(gòu)的總費(fèi)用不得超過(guò)要求采購(gòu)的總費(fèi)用不得超過(guò) 2020 萬(wàn)元，萬(wàn)元，購(gòu)得原料的總重量不少于購(gòu)得原料的總重量不少于 100100 kg kg，而甲級(jí)原料又不得少于而甲級(jí)原料又不得少于 5050 kg kg，問(wèn)如何確定最好的采購(gòu)方案問(wèn)如何確定最好的采購(gòu)方案? ?（即用（即用最少的錢最少的錢、采購(gòu)、采購(gòu)最多數(shù)量最

4、多數(shù)量的原料）的原料） 目標(biāo)函數(shù)為：目標(biāo)函數(shù)為： 2xxyMax1xx2yMin212211 121211222031004505,06xxxxxxx 這是一個(gè)含有兩個(gè)目標(biāo)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題這是一個(gè)含有兩個(gè)目標(biāo)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題 設(shè)設(shè) x x1 1 ,x ,x2 2分別為采購(gòu)甲級(jí)、乙級(jí)原材料的數(shù)量分別為采購(gòu)甲級(jí)、乙級(jí)原材料的數(shù)量（單位：（單位：kgkg）y y1 1 為花掉的資金，為花掉的資金， y y2 2為所購(gòu)原料總量則為所購(gòu)原料總量則：某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大？

5、試制定生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大？同時(shí)同時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè):甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴(kuò)大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使產(chǎn)量達(dá)到最大?？梢詳U(kuò)大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使產(chǎn)量達(dá)到最大。試建立此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。試建立此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。12070單件利潤(rùn)單件利潤(rùn)3000103設(shè)備臺(tái)時(shí)設(shè)備臺(tái)時(shí)200054煤炭煤炭360049鋼材鋼材資源限制資源限制乙乙甲甲 單位單位 產(chǎn)品產(chǎn)品資源資源 消耗消耗 設(shè)：甲，乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為設(shè)：甲，乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為X1 , , X2一般有：一般有：maxZmaxZ=70 =70 x x1 1 + 120

6、+ 120 x x2 2 9 9 x x1 1 +4 +4 x x2 2 3600 3600 4 4 x x1 1 +5 +5 x x2 2 2000 2000 3 3 x x1 1 +10 +10 x x2 2 3000 3000 x x1 1 ， x x2 2 00同時(shí)：同時(shí)：maxZmaxZ1 1=70 =70 x x1 1 + 120+ 120 x x2 2 maxZ maxZ2 2= = x x1 1 maxZ maxZ3 3= = x x2 2 9 9 x x1 1 +4 +4 x x2 2 3600 3600 4 4 x x1 1 +5 +5 x x2 2 2000 2000 3

7、 3 x x1 1 +10 +10 x x2 2 3000 3000 x x1 1 ， x x2 2 00 顯然，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，用線性規(guī)劃顯然，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，用線性規(guī)劃方法很難找到最優(yōu)解。方法很難找到最優(yōu)解。 對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題，線性規(guī)劃很難為其找到對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題，線性規(guī)劃很難為其找到最優(yōu)方案極有可能出現(xiàn)：最優(yōu)方案極有可能出現(xiàn)：就是說(shuō)很難找到一個(gè)方案使就是說(shuō)很難找到一個(gè)方案使所有目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，特別當(dāng)約束條件中有矛所有目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，特別當(dāng)約束條件中有矛盾方程時(shí)，線性規(guī)劃方法是無(wú)法解決的實(shí)踐中，盾方程時(shí)，線性規(guī)劃方法是無(wú)法解決的實(shí)踐中，人們轉(zhuǎn)而采取人們轉(zhuǎn)而采取“不求最好，但

8、求不求最好，但求滿意滿意”的策略，的策略，在在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立一種新的數(shù)學(xué)規(guī)劃方線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立一種新的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法法目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃 目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理中多目標(biāo)決策的需要而逐步發(fā)展起來(lái)的一個(gè)分支。中多目標(biāo)決策的需要而逐步發(fā)展起來(lái)的一個(gè)分支。 線性規(guī)劃求線性規(guī)劃求最優(yōu)解最優(yōu)解； 目標(biāo)規(guī)劃是找到一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃是找到一個(gè)滿意解滿意解。 線性規(guī)劃只討論線性規(guī)劃只討論一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)在一組線性約在一組線性約束條件下的極值問(wèn)題；束條件下的極值問(wèn)題；而目標(biāo)規(guī)劃是而目標(biāo)規(guī)劃是多個(gè)目標(biāo)決策多個(gè)目標(biāo)決策，可求得更切合實(shí)際

9、的解。，可求得更切合實(shí)際的解。 線性規(guī)劃中的線性規(guī)劃中的約束條件是同等重要約束條件是同等重要的，是的，是硬約束硬約束；而目標(biāo)規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分，即而目標(biāo)規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分，即有優(yōu)先權(quán)有優(yōu)先權(quán)是是軟約束軟約束。 線性規(guī)劃的最優(yōu)解是線性規(guī)劃的最優(yōu)解是絕對(duì)意義下的最優(yōu)絕對(duì)意義下的最優(yōu)，但，但需花去大量的人力、物力、財(cái)力才能得到；需花去大量的人力、物力、財(cái)力才能得到；實(shí)際過(guò)程中，只要求得滿意解，就能實(shí)際過(guò)程中，只要求得滿意解，就能滿足需要滿足需要（或更能滿足需要）。（或更能滿足需要）。 因此，目前，目標(biāo)規(guī)劃已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、生產(chǎn)管理、因此，目前，目標(biāo)規(guī)劃已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、生產(chǎn)管理、經(jīng)營(yíng)管理

10、、市場(chǎng)分析、財(cái)務(wù)管理等方面得到了廣泛經(jīng)營(yíng)管理、市場(chǎng)分析、財(cái)務(wù)管理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。的應(yīng)用。多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一般形式如下多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一般形式如下( (簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：GP1)GP1)1111122112211222221122MaxMax Maxnnnnmmmmnnmyc xc xc xC Xyc xc xcxC XycxcxcxC X11112211211222221122120s.t ,nnnnkkknnkna xaxaxbaxaxaxbaxcxcxbxxx矩陣表示為：矩陣表示為：0Max,: (GP1)YCXAXBX約束條件約束條件 其他情況：如目標(biāo)函數(shù)為其他情況：如目標(biāo)函數(shù)為

11、min y , min y , 約束條件約束條件為為“”，都可作適當(dāng)?shù)淖儞Q，調(diào)整為上面的形，都可作適當(dāng)?shù)淖儞Q，調(diào)整為上面的形式式. . 對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題中大多的情況是：對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題中大多的情況是：由于多目標(biāo)之間存在相互矛盾，由于多目標(biāo)之間存在相互矛盾，最優(yōu)解往往不可能存在，最優(yōu)解往往不可能存在，這就要求我們退而求其次，這就要求我們退而求其次，根據(jù)目標(biāo)之間的相對(duì)重要程度，根據(jù)目標(biāo)之間的相對(duì)重要程度，分等級(jí)和權(quán)重，分等級(jí)和權(quán)重，求出求出（），），為此引入以下概念，為此引入以下概念，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件作適當(dāng)處理對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件作適當(dāng)處理 v目標(biāo)值和偏差變量目標(biāo)值和偏差變量v目標(biāo)約束和絕對(duì)約束目

12、標(biāo)約束和絕對(duì)約束v達(dá)成函數(shù)（即目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)）達(dá)成函數(shù)（即目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)）v優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與優(yōu)先權(quán)系數(shù)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與優(yōu)先權(quán)系數(shù)v滿意解（具有層次意義的解）滿意解（具有層次意義的解） 目標(biāo)規(guī)劃通過(guò)引入目標(biāo)規(guī)劃通過(guò)引入目標(biāo)值和偏差變量目標(biāo)值和偏差變量，將原目標(biāo)函數(shù)和原約束條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。將原目標(biāo)函數(shù)和原約束條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。 目標(biāo)值目標(biāo)值：是指預(yù)先給定的某個(gè)目標(biāo)的一個(gè)期望值。：是指預(yù)先給定的某個(gè)目標(biāo)的一個(gè)期望值。 實(shí)際值或決策值實(shí)際值或決策值：是指當(dāng)決策變量：是指當(dāng)決策變量x xj j 選定以后，選定以后，目標(biāo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。目標(biāo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。 偏差變量偏差變量（事先

13、無(wú)法確定的未知數(shù)）：是指實(shí)際值（事先無(wú)法確定的未知數(shù)）：是指實(shí)際值和目標(biāo)值之間的差異和目標(biāo)值之間的差異, ,記為記為 d d （d0d0 ) )。 正偏差變量正偏差變量：表示實(shí)際值超過(guò)目標(biāo)值的部分，：表示實(shí)際值超過(guò)目標(biāo)值的部分，記為記為 d d。 負(fù)偏差變量負(fù)偏差變量：表示實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，：表示實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，記為記為 d d。當(dāng)當(dāng)完成或超額完成完成或超額完成規(guī)定的指標(biāo)則表示：規(guī)定的指標(biāo)則表示：d d0, d0, d0 0當(dāng)當(dāng)未完成未完成規(guī)定的指標(biāo)則表示：規(guī)定的指標(biāo)則表示： d d0, d0, d00當(dāng)當(dāng)恰好完成恰好完成指標(biāo)時(shí)則表示：指標(biāo)時(shí)則表示： d d0, d0, d0

14、 0在一次決策中，實(shí)際值不可能既超過(guò)目標(biāo)值又在一次決策中，實(shí)際值不可能既超過(guò)目標(biāo)值又未達(dá)到目標(biāo)值，故有未達(dá)到目標(biāo)值，故有 d d d d 0,0,并規(guī)定并規(guī)定d d0, d0, d00 d d d d 0 0 成立。成立。實(shí)際操作中，當(dāng)目標(biāo)值確定時(shí)，所做的決策只可實(shí)際操作中，當(dāng)目標(biāo)值確定時(shí)，所做的決策只可能出現(xiàn)以下三種情況（即由能出現(xiàn)以下三種情況（即由d d+ +和和d d- - 所構(gòu)成的所構(gòu)成的3 3種不種不同組合表示的含義）同組合表示的含義）：（1 1）目標(biāo)約束）目標(biāo)約束是目標(biāo)規(guī)劃中所特有的，是目標(biāo)規(guī)劃中所特有的，可把可把約束條件的右端項(xiàng)約束條件的右端項(xiàng)看作要追求的看作要追求的目標(biāo)值目標(biāo)值

15、；也可以對(duì)也可以對(duì)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)規(guī)定一個(gè)規(guī)定一個(gè)目標(biāo)值目標(biāo)值。在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正或負(fù)偏差，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正或負(fù)偏差，因此可在這些約束或目標(biāo)函數(shù)中加入因此可在這些約束或目標(biāo)函數(shù)中加入正、負(fù)偏差變量；正、負(fù)偏差變量；引入引入目標(biāo)值和正、負(fù)偏差變量目標(biāo)值和正、負(fù)偏差變量后，后，把把原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù)和和原約束條件原約束條件轉(zhuǎn)化成約束方程，轉(zhuǎn)化成約束方程，都并入到約束條件中，都并入到約束條件中，我們稱這類我們稱這類具有機(jī)動(dòng)余地的約束為目標(biāo)約束具有機(jī)動(dòng)余地的約束為目標(biāo)約束 。也稱為也稱為軟約束軟約束。（2 2）絕對(duì)約束（系統(tǒng)約束）絕對(duì)約束（系統(tǒng)約束）是指必須嚴(yán)格滿足的等式或不等式約

16、束。是指必須嚴(yán)格滿足的等式或不等式約束。如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對(duì)約束，如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對(duì)約束，否則無(wú)可行解。否則無(wú)可行解。所以，絕對(duì)約束是所以，絕對(duì)約束是硬約束硬約束。 ：在下例中，規(guī)定在下例中，規(guī)定Z Z1 1 的目標(biāo)值為的目標(biāo)值為 50000, 50000, 正、負(fù)偏差為正、負(fù)偏差為d d、d d , ,則目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為目標(biāo)約則目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為目標(biāo)約 束，即束，即70 x1 + 120 x2 50000， 同樣，若規(guī)定產(chǎn)品甲期望值是同樣，若規(guī)定產(chǎn)品甲期望值是 200200件，產(chǎn)品乙期望件，產(chǎn)品乙期望值是值是 250250件件, ,則有：則有： 11dd200

17、221ddx250332ddx)3 . 2 . 1( 0,jddjj若規(guī)定若規(guī)定36003600的鋼材必須用完，的鋼材必須用完，原式原式9 x1 +4 x2 3600則變?yōu)閯t變?yōu)?, 360049444421ddddxx將將原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束：轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束：（需引入目標(biāo)值和正、負(fù)偏差變量需引入目標(biāo)值和正、負(fù)偏差變量）maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0將將原約束條件原約束條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。maxZ1

18、=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題常常有若干目標(biāo)。一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題常常有若干目標(biāo)。但決策者在要求達(dá)到這些目標(biāo)時(shí)，但決策者在要求達(dá)到這些目標(biāo)時(shí)，是有主次或輕重緩急的不同。是有主次或輕重緩急的不同。 優(yōu)先因子優(yōu)先因子P Pk k 是將決策目標(biāo)按其重要程度排序是將決策目標(biāo)按其重要程度排序并表示出來(lái)。并表示出來(lái)。要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子P P1 1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子P P2

19、2，并規(guī)定并規(guī)定P Pk kPPk+1k+1，表示表示P Pk k比比P Pk+1k+1有更大的優(yōu)先權(quán)。有更大的優(yōu)先權(quán)。即首先保證即首先保證P P1 1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可不考慮次級(jí)目標(biāo)；這時(shí)可不考慮次級(jí)目標(biāo)；而而P P2 2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)P P1 1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。依此類推。即不管即不管P Pk+1k+1乘以一個(gè)多大的正數(shù)乘以一個(gè)多大的正數(shù)MM，總成立總成立P Pk kMPMPk+1k+1, ,表示表示P Pk k比比P Pk+1k+1具有絕對(duì)的優(yōu)先權(quán)具有絕對(duì)的優(yōu)先權(quán)因此，不同的優(yōu)先因子代表著不同的優(yōu)先等級(jí)因此，不同的優(yōu)先因子

20、代表著不同的優(yōu)先等級(jí)若要進(jìn)一步若要進(jìn)一步區(qū)別具有相同優(yōu)先級(jí)的多個(gè)目標(biāo)區(qū)別具有相同優(yōu)先級(jí)的多個(gè)目標(biāo)，則可分別賦予它們不同的則可分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)j j ( (j j 可取一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)可取一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)) )，根據(jù)目標(biāo)的重要程度而給它們賦值，根據(jù)目標(biāo)的重要程度而給它們賦值，重要的目標(biāo)，賦值較大，重要的目標(biāo)，賦值較大，反之反之j j 值就小值就小 對(duì)于這種解來(lái)說(shuō)，對(duì)于這種解來(lái)說(shuō)，前面的目標(biāo)可以保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn)，前面的目標(biāo)可以保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn)，而后面的目標(biāo)就不一定能保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn)，而后面的目標(biāo)就不一定能保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn)，有些可能就不能實(shí)現(xiàn)。有些可能就不能實(shí)現(xiàn)。 某廠生產(chǎn)某廠

21、生產(chǎn)、兩兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。所示。擁有量擁有量原材料原材料2 21 111 11設(shè)備設(shè)備( (臺(tái)時(shí)臺(tái)時(shí)) )1 12 21010單件利潤(rùn)單件利潤(rùn)8 81010 這是求獲利最大的單目標(biāo)的規(guī)劃問(wèn)題，用這是求獲利最大的單目標(biāo)的規(guī)劃問(wèn)題，用x1，x2分別表示分別表示，產(chǎn)品的產(chǎn)量，其線性規(guī)劃產(chǎn)品的產(chǎn)量，其線性規(guī)劃模型表述為：模型表述為： 0 x,x10 x2x11xx2x10 x8zmax21212121滿滿足足約約束束條條件件：目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：(4,3) 0 x,x10 x2x11xx2x10 x8zmax21212121滿滿足足約約束束條條件件：目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)： 1、

22、產(chǎn)品產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量；的產(chǎn)量； 2 、 超過(guò)計(jì)劃供應(yīng)的原材料時(shí)，需要高價(jià)采購(gòu)，會(huì)超過(guò)計(jì)劃供應(yīng)的原材料時(shí)，需要高價(jià)采購(gòu)，會(huì) 使成本大幅度增加。使成本大幅度增加。(硬約束）硬約束） 3、充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，不加班；充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，不加班； 4、利潤(rùn)不小于利潤(rùn)不小于 56 元。元。設(shè)設(shè)x1， x2分別表示產(chǎn)品分別表示產(chǎn)品和產(chǎn)品和產(chǎn)品的產(chǎn)量。的產(chǎn)量。這樣在考慮產(chǎn)品決策時(shí)，便為多目標(biāo)決策問(wèn)題。這樣在考慮產(chǎn)品決策時(shí)，便為多目標(biāo)決策問(wèn)題。 目標(biāo)規(guī)劃方法是解這類決策問(wèn)題的方法之一。目標(biāo)規(guī)劃方法是解這類決策問(wèn)題的方法之一。 下面通過(guò)前面引入的概念建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。下面通過(guò)前面引入的

23、概念建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實(shí)際情況和市場(chǎng)需求，現(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實(shí)際情況和市場(chǎng)需求，需要重新制定經(jīng)營(yíng)目標(biāo)，需要重新制定經(jīng)營(yíng)目標(biāo)，其目標(biāo)的其目標(biāo)的優(yōu)先順序優(yōu)先順序如下：如下：v 引進(jìn)正、負(fù)偏差變量引進(jìn)正、負(fù)偏差變量d d+ +，d d- - 。正偏差變量正偏差變量d d表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分；表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分；負(fù)偏差變量負(fù)偏差變量d d- -表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。（1）.建立目標(biāo)約束和系統(tǒng)約束：建立目標(biāo)約束和系統(tǒng)約束：0ddx x1121 21x x 產(chǎn)品產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量的產(chǎn)量: :10ddx2 x222

24、1 56ddx10 x83321 11 x x221 充分充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，但不希望加班利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，但不希望加班: :利潤(rùn)利潤(rùn)不小于不小于 56 56 元元: :原材料原材料約束約束:10 x2 x21 56x10 x821 d d1 1- - : : X X1 1產(chǎn)量不足產(chǎn)量不足X X2 2 部分部分d d1 1+ + : : X X1 1產(chǎn)量超過(guò)產(chǎn)量超過(guò)X X2 2 部分部分d d2 2- - : : 設(shè)備使用不足設(shè)備使用不足1010 部分部分d d2 2+ + : :設(shè)備使用超過(guò)設(shè)備使用超過(guò)10 10 部分部分d d3 3- - : : 利潤(rùn)不足利潤(rùn)不足56 56 部分部分d

25、d3 3+ + : :利潤(rùn)超過(guò)利潤(rùn)超過(guò)56 56 部分部分2X X1 1+X+X2 2 11 11X X1 1 -X-X2 2 +d+d1 1- - -d-d1 1+ +=0=0X X1 1 +2X+2X2 2 +d+d2 2- - -d-d2 2+ +=10=108X8X1 1 +10X+10X2 2 +d+d3 3- - -d-d3 3+ +=56=56X X1 1 , , X X2 2 , , d di i- - , , d di i+ + 0 0 d di i- - . . d di i+ + =0=0 第一目標(biāo)：第一目標(biāo)： 即產(chǎn)品即產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量。的產(chǎn)量。 11d

26、P第二目標(biāo)：第二目標(biāo)：即充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，不加班即充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，不加班)dd(P222 第三目標(biāo)：第三目標(biāo)：即利潤(rùn)不小于即利潤(rùn)不小于 56 56 元元 33dP（2 2）確定優(yōu)先等級(jí)）確定優(yōu)先等級(jí): :（3）達(dá)成函數(shù)：）達(dá)成函數(shù)： 3322211dP)dd(PdPZmin目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 先滿足先滿足 minminZ Z1 1 = d= d1 1+ + 再滿足再滿足 minminZ Z2 2 = d= d2 2- - +d+d2 2+ + 后滿足后滿足 minminZ Z3 3 = d= d3 3- - 或或 minminZ Z=P=P1 1d d1 1+ +P+P2 2( (d

27、d2 2- -+d+d2 2+ +) )+P+P3 3( (d d3 3- -) ) min minP P1 1d d1 1+ + , , P P2 2( (d d2 2- -+d+d2 2+ +) ), P, P3 3( (d d3 3- -) )一般記作：一般記作： )3,2,1i ( 0d ,d,0 x,x11 x x256ddx10 x810ddx2 x 0ddx x dP)dd(PdPZminii21213321222111213322211目標(biāo)規(guī)劃模型：目標(biāo)規(guī)劃模型：例例 ： 常山機(jī)器廠生產(chǎn)常山機(jī)器廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品兩種產(chǎn)品. .這兩種產(chǎn)品都要分別在這兩種產(chǎn)品都要分別在A A、B B

28、、C C三種不同設(shè)備上加工三種不同設(shè)備上加工. .按工藝資料規(guī)定，按工藝資料規(guī)定，生產(chǎn)每件產(chǎn)品生產(chǎn)每件產(chǎn)品需占用各設(shè)備分別為需占用各設(shè)備分別為2h2h、4h4h、0h0h，生產(chǎn)每件產(chǎn)品生產(chǎn)每件產(chǎn)品，需占用各設(shè)備分別為，需占用各設(shè)備分別為2h2h、0h0h、5h5h. .已知各設(shè)備計(jì)劃期內(nèi)用于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的能力分別為已知各設(shè)備計(jì)劃期內(nèi)用于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的能力分別為12h12h、16h16h、15h15h，又知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品又知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品企業(yè)能獲得企業(yè)能獲得2 2元利潤(rùn)，元利潤(rùn)，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品每生產(chǎn)一件產(chǎn)品企業(yè)能獲得企業(yè)能獲得3 3元利潤(rùn)，元利潤(rùn)，問(wèn)該企業(yè)應(yīng)安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少件，問(wèn)該企業(yè)

29、應(yīng)安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少件，使總的利潤(rùn)收入為最大使總的利潤(rùn)收入為最大. . 產(chǎn)產(chǎn)品品 設(shè)設(shè)備備 生生產(chǎn)產(chǎn)能能力力 A 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 利利潤(rùn)潤(rùn)(元元) 2 3 0 x,x15x516x412x2x2. t . sx3x2zmax21212121最優(yōu)解為最優(yōu)解為x x1 1=3=3， x x2 2=3=3，z z* *=15=15元元. . 產(chǎn)產(chǎn)品品 設(shè)設(shè)備備 生生產(chǎn)產(chǎn)能能力力 A 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 利利潤(rùn)潤(rùn)(元元) 2 3 解：解：設(shè)設(shè)x x1 1和和x x2 2分別為分別為、兩種產(chǎn)品在計(jì)劃期內(nèi)兩種產(chǎn)品在計(jì)劃期內(nèi) 的產(chǎn)量的產(chǎn)量.

30、 .(1)(1)力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場(chǎng)需求，考慮到市場(chǎng)需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需 保持保持1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（硬約束）為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（硬約束）(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當(dāng)加班，但要控制；可以適當(dāng)加班，但要控制； 設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班，既要求充分利用，又盡可能不加班， 又在重要性上設(shè)備又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. .但企業(yè)的經(jīng)營(yíng)不僅僅是利潤(rùn)，而是考慮如下但企業(yè)的經(jīng)營(yíng)不僅僅是利潤(rùn)，而是考慮如下 多方面

31、：多方面：1. 1.設(shè)置偏差變量，用來(lái)表明實(shí)際值同目標(biāo)值之間設(shè)置偏差變量，用來(lái)表明實(shí)際值同目標(biāo)值之間 的差異的差異. .d d+ + 超出目標(biāo)的差值，稱正偏差變量超出目標(biāo)的差值，稱正偏差變量d d 未達(dá)到目標(biāo)的差值，稱負(fù)偏差變量未達(dá)到目標(biāo)的差值，稱負(fù)偏差變量d d+ +和和d d 兩者中必有一個(gè)為零兩者中必有一個(gè)為零. .2.2.統(tǒng)一處理目標(biāo)函數(shù)和約束條件統(tǒng)一處理目標(biāo)函數(shù)和約束條件設(shè)備設(shè)備A A嚴(yán)格嚴(yán)格禁止超時(shí)使用（禁止超時(shí)使用（硬約束硬約束） 2x2x1 1+2x+2x2 2 12 12 要求要求、兩種產(chǎn)品保持兩種產(chǎn)品保持1 1：2 2的比例的比例x x1 1/x/x2 2=1/2=1/2或

32、或2x2x1 1-x-x2 2=0=0 0ddxx2ddmin21(1)(1)力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場(chǎng)需求，考慮到市場(chǎng)需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需 保持保持1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（硬約束）為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（硬約束）(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當(dāng)加班，但要控制；可以適當(dāng)加班，但要控制； 設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班，既要求充分利用，又盡可能不加班， 又在重要性上設(shè)備又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. . 0 x,x15x51

33、6x412x2x2. t . sx3x2zmax21212121力求力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1515元元 15ddx3x2dmin21設(shè)備設(shè)備C C可以適當(dāng)加班，但要控制可以適當(dāng)加班，但要控制 15ddx5dmin2設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班既要求充分利用，又盡可能不加班 16ddx4ddmin1(1)(1)力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場(chǎng)需求，考慮到市場(chǎng)需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需 保持保持1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（硬約束）為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)

34、使用；（硬約束）(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當(dāng)加班，但要控制；可以適當(dāng)加班，但要控制； 設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班，既要求充分利用，又盡可能不加班， 又在重要性上設(shè)備又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. . 0 x,x15x516x412x2x2. t . sx3x2zmax212121213.3.目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù)目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù)優(yōu)先因子優(yōu)先因子用用P P1 1，P P2 2，表示，并規(guī)定表示，并規(guī)定P Pk k P Pk+1k+1權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)該廠必須滿足設(shè)備該廠必須滿足設(shè)備A A的硬性約束（不在目標(biāo)約束中）的硬性約束（不在目標(biāo)約束中）第一優(yōu)先級(jí)：利潤(rùn)

35、第一優(yōu)先級(jí)：利潤(rùn)第二優(yōu)先級(jí)：第二優(yōu)先級(jí)： 、產(chǎn)品的產(chǎn)量盡可能保持產(chǎn)品的產(chǎn)量盡可能保持1 1：2 2 的比例的比例第三優(yōu)先級(jí)：設(shè)備第三優(yōu)先級(jí)：設(shè)備C C、B B的工作時(shí)間所控制的工作時(shí)間所控制第三優(yōu)先級(jí)：設(shè)備第三優(yōu)先級(jí)：設(shè)備B B的重要性比設(shè)備的重要性比設(shè)備C C大三倍大三倍目標(biāo)函數(shù)中在設(shè)備目標(biāo)函數(shù)中在設(shè)備B B的偏差變量前冠以權(quán)系數(shù)的偏差變量前冠以權(quán)系數(shù)3 3 )4 , 1i (0d,d,x,x15ddx516ddx40ddxx215ddx3x212x2x2. t . sdPddP3ddPdPzminii2144233122211121214333322211(1)(1)力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于力

36、求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場(chǎng)需求，考慮到市場(chǎng)需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需保持兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需保持 1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備B B既要求充分利用，既要求充分利用， 又盡可能不加班，又在重要性上設(shè)備又盡可能不加班，又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. . 0 x,x15x516x412x2x2. t . sx3x2zmax21212121目標(biāo)規(guī)劃的一般數(shù)學(xué)模型目標(biāo)規(guī)劃的一般數(shù)學(xué)模型 L, 1l0

37、d,dn, 1j0 xL, 1lgddxcm, 1ibxa. t . sddPzminlljllln1jjljin1jjijL1llkllklK1kk，P Pk k為第為第k k級(jí)優(yōu)先因子，級(jí)優(yōu)先因子，k=1, k=1, ,K;,K; - -kl kl， + +kl kl為分別賦予第為分別賦予第l l個(gè)目標(biāo)約束的正負(fù)偏差變量個(gè)目標(biāo)約束的正負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)的權(quán)系數(shù)g gl l為第為第l l個(gè)目標(biāo)的預(yù)期目標(biāo)值，個(gè)目標(biāo)的預(yù)期目標(biāo)值，l=1, l=1, ,L.,L. 某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、 乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表

38、所示。試制定生產(chǎn) 計(jì)劃，使獲得的計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大？同時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，？同時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)， 甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴(kuò)大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使可以擴(kuò)大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使產(chǎn)量達(dá)到最大產(chǎn)量達(dá)到最大，試建立，試建立此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。12070單件利潤(rùn)單件利潤(rùn)3000103設(shè)備臺(tái)時(shí)設(shè)備臺(tái)時(shí)200054煤炭煤炭360049鋼材鋼材資源限制資源限制乙乙甲甲 單位單位 產(chǎn)產(chǎn)品品資源資源 消耗消耗maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 360

39、0 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 若在引例中提出下列要求：若在引例中提出下列要求： 1 1、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo)、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo) 5000050000元；元； 2 2、產(chǎn)品甲不超過(guò)、產(chǎn)品甲不超過(guò) 200200件，產(chǎn)品乙不低于件，產(chǎn)品乙不低于 250250件；件； 3 3、現(xiàn)有鋼材、現(xiàn)有鋼材 36003600噸必須用完。噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。 系統(tǒng)約束與目標(biāo)約束系統(tǒng)約束與目標(biāo)約束maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1

40、+5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 )4 . 3 . 2 . 1j ( 0d .d, 0 x3000 x10 x3 2000 x5 x4 3600ddx4 x9 250ddx 200dd x 50000ddx120 x70jj21212144213322211121設(shè)設(shè)x x1 1， x x2 2分別表示產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的產(chǎn)量。分別表示產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的產(chǎn)量。 d di i+ +, d, di i- - 分別為第分別為第i i個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量 優(yōu)先等級(jí)：優(yōu)先等級(jí)： 題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含四個(gè)目標(biāo)值。題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含四個(gè)目

41、標(biāo)值。 第一目標(biāo)：第一目標(biāo)： 第二目標(biāo)：有兩個(gè)要求即甲第二目標(biāo)：有兩個(gè)要求即甲 ，乙，乙 ，但兩個(gè)具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定但兩個(gè)具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤(rùn)比作為權(quán)系數(shù)即本題可用單件利潤(rùn)比作為權(quán)系數(shù)即 70 :12070 :120，化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為7:127:12。 11dP 32d d)d12d7(P 322 第三目標(biāo)：第三目標(biāo)：)dd(P443 達(dá)成函數(shù)：達(dá)成函數(shù)：)dd(P)d12d7(PdPZmin44332211 若在引例中提出下列要求：若在引例中提出下列要求： 1 1、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo)、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo) 5000050000元；元；

42、 2 2、產(chǎn)品甲不超過(guò)、產(chǎn)品甲不超過(guò) 200200件，產(chǎn)品乙不低于件，產(chǎn)品乙不低于 250250件；件； 3 3、現(xiàn)有鋼材、現(xiàn)有鋼材 36003600噸必須用完。噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。 )4 . 3 . 2 . 1j ( 0d .d, 0 x3000 x10 x3 2000 x5 x4 3600ddx4 x9 250ddx 200dd x 50000ddx120 x70)dd(P)d12d7(PdPZminjj2121214421332221112144332211目標(biāo)規(guī)劃模型為：目標(biāo)規(guī)劃模型為：maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 max

43、Z3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 )L2 .1l ( 0d .dn)1.2(j 0 x)m2 .1i ( b).(xa)L2 .1l ( qddxc)dd(PZminlljn1jijijn1jllljkjK1kL1llkllklk 1 1、根據(jù)要研究的問(wèn)題所提出的各目標(biāo)與條件，根據(jù)要研究的問(wèn)題所提出的各目標(biāo)與條件， 確定目標(biāo)值，列出目標(biāo)約束與絕對(duì)約束；確定目標(biāo)值，列出目標(biāo)約束與絕對(duì)約束； klkl和和 4 4、對(duì)同一優(yōu)先等級(jí)中的各偏差變量，對(duì)同一優(yōu)先等級(jí)中的各偏差變量， 若需要可按其重要程度的不同，若需要可按其重要程度的不同， 賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù)賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù) 。 3 3、給各目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子給各目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子 P Pk k（k=1.2k=1.2K K）。）。 2 2、可根據(jù)決策者的需要，可根據(jù)決策者的需要， 將某些或全部絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。將某些或全部絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。 這時(shí)只需要給絕對(duì)約束加上負(fù)偏差變量這時(shí)只需要給絕對(duì)約束加上負(fù)偏差變量 和減去正偏差變量即可。和減去正偏差變量即可。 5 5、根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一 構(gòu)造一個(gè)由