第六章萬(wàn)有引力定律

1、太陽(yáng)太陽(yáng)行星行星l開(kāi)普勒定律開(kāi)普勒定律l萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律l引力勢(shì)能引力勢(shì)能l牛頓萬(wàn)有引力定律的適用范圍牛頓萬(wàn)有引力定律的適用范圍 l公元公元2世紀(jì)世紀(jì), , 埃及人埃及人托勒密托勒密提出提出地心說(shuō)地心說(shuō)：地球是靜止不動(dòng)的宇宙中心，其它天體地球是靜止不動(dòng)的宇宙中心，其它天體都圍繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。都圍繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。l從從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看，地心說(shuō)與日心說(shuō)都具有其正確性，其看，地心說(shuō)與日心說(shuō)都具有其正確性，其間的差別僅在于選取的基本參考系不同。但從間的差別僅在于選取的基本參考系不同。但從動(dòng)力學(xué)角動(dòng)力學(xué)角度度看，由于行星的運(yùn)動(dòng)是在太陽(yáng)引力的作用下進(jìn)行的，看，由于行星的運(yùn)動(dòng)是在太

2、陽(yáng)引力的作用下進(jìn)行的，因而日心說(shuō)更為科學(xué)，它對(duì)天體運(yùn)行的描述更為簡(jiǎn)潔。因而日心說(shuō)更為科學(xué)，它對(duì)天體運(yùn)行的描述更為簡(jiǎn)潔。l1616世紀(jì)，波蘭天文學(xué)家世紀(jì)，波蘭天文學(xué)家哥白尼哥白尼提出提出日心日心說(shuō)說(shuō)：太陽(yáng)是靜止不動(dòng)的宇宙中心，其它：太陽(yáng)是靜止不動(dòng)的宇宙中心，其它天體圍繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。天體圍繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。l但日心說(shuō)中的但日心說(shuō)中的“勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)”是否正確呢？是否正確呢？l丹麥天文觀測(cè)大師丹麥天文觀測(cè)大師第谷第谷的助手德國(guó)天文學(xué)家的助手德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒開(kāi)普勒整理整理第谷第谷的大量精密觀測(cè)資料發(fā)現(xiàn)，火星軌道的觀測(cè)值與的大量精密觀測(cè)資料發(fā)現(xiàn)，火星軌道的觀測(cè)值與哥哥白尼白尼的行

3、星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的計(jì)算有的行星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的計(jì)算有8 8之差。之差。l開(kāi)普勒開(kāi)普勒忠實(shí)于忠實(shí)于第谷第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)多種擬合、反復(fù)核算，的觀測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)多種擬合、反復(fù)核算，認(rèn)為圓的軌跡不符合，蛋狀的卵形線也不符合，只有橢認(rèn)為圓的軌跡不符合，蛋狀的卵形線也不符合，只有橢圓才符合圓才符合第谷第谷的資料，因此總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的三大定的資料，因此總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律律開(kāi)普勒定律開(kāi)普勒定律。l16091609年年開(kāi)普勒開(kāi)普勒在在新天文學(xué)新天文學(xué)一書中公布了開(kāi)普勒第一、一書中公布了開(kāi)普勒第一、第二定律，第二定律，16191619年又公布了開(kāi)普勒第三定律。年又公布了開(kāi)普勒第三定律。 開(kāi)普勒開(kāi)普勒第谷第

4、谷l第一定律（橢圓軌道定律第一定律（橢圓軌道定律, ,ellipse law） 行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。行星軌道的偏心率焦點(diǎn)上。行星軌道的偏心率e 都比較小。如地球軌道的都比較小。如地球軌道的偏心率為偏心率為0.0167，很接近圓。，很接近圓。a太陽(yáng)太陽(yáng)bc行星行星cea偏心率偏心率l第二定律（面積速度定律第二定律（面積速度定律, ,area law） 對(duì)任一行星，它的位置矢量（以太陽(yáng)中心為參考點(diǎn)）對(duì)任一行星，它的位置矢量（以太陽(yáng)中心為參考點(diǎn)）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。太陽(yáng)太陽(yáng)行星行星思考

5、：思考：如何證明（提示：質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒）？如何證明（提示：質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒）？行星運(yùn)動(dòng)的掠面速度行星運(yùn)動(dòng)的掠面速度dd2SLtml第三定律（周期定律，第三定律（周期定律，harmonic law） 行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)周期行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)周期T 的平方和橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的平方和橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a 的立方成正比，即的立方成正比，即 T 2/a3 = = 恒量恒量 這一恒量對(duì)各行星都相同。這一恒量對(duì)各行星都相同。a太陽(yáng)太陽(yáng)行星行星例例 月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為地球半徑的月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為地球半徑的60倍，倍，運(yùn)行周期約為運(yùn)行周期約為27天。應(yīng)用天。應(yīng)用開(kāi)普勒定律開(kāi)普勒定

6、律計(jì)算：在赤道平面計(jì)算：在赤道平面內(nèi)離地面多少高度，人造地球衛(wèi)星可以隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)離地面多少高度，人造地球衛(wèi)星可以隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，就像停留在天空中不動(dòng)一樣（就像停留在天空中不動(dòng)一樣（開(kāi)普勒定律開(kāi)普勒定律不僅適用于行不僅適用于行星，也適用于衛(wèi)星）。星，也適用于衛(wèi)星）。230TRC解：解：人造地球衛(wèi)星和月球都是地球的衛(wèi)星，它們遵循開(kāi)人造地球衛(wèi)星和月球都是地球的衛(wèi)星，它們遵循開(kāi)普勒第三定律：普勒第三定律： （C0僅與地球性質(zhì)有僅與地球性質(zhì)有關(guān)）。關(guān)）。22123312TTRR解得：解得：6717176.37 103.62 10 m=36200 km33eHR23327160eeRHR即：即：思考

7、：思考：為什么同步衛(wèi)星一定在赤道上空？為什么同步衛(wèi)星一定在赤道上空？1717世紀(jì)前：世紀(jì)前： 行星理所應(yīng)當(dāng)?shù)淖鲞@種完美的圓周運(yùn)動(dòng)。行星理所應(yīng)當(dāng)?shù)淖鲞@種完美的圓周運(yùn)動(dòng)。伽利略：伽利略：一切物體都有合并的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)導(dǎo)致物一切物體都有合并的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)導(dǎo)致物體做圓周運(yùn)動(dòng)體做圓周運(yùn)動(dòng)。開(kāi)普勒：開(kāi)普勒：受到了來(lái)自太陽(yáng)的類似于磁力的作用。受到了來(lái)自太陽(yáng)的類似于磁力的作用。在行星的周圍有旋轉(zhuǎn)的物質(zhì)作用在行星上，使在行星的周圍有旋轉(zhuǎn)的物質(zhì)作用在行星上，使得行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。得行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。笛卡兒：笛卡兒：關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的各種動(dòng)力學(xué)解釋關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的各種動(dòng)力學(xué)解釋l開(kāi)普勒開(kāi)普勒總結(jié)出了行星繞日運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么

8、是什么原因使總結(jié)出了行星繞日運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么是什么原因使它們維持在各自軌道上運(yùn)動(dòng)？自古以來(lái)就有種種猜測(cè)：它們維持在各自軌道上運(yùn)動(dòng)？自古以來(lái)就有種種猜測(cè)：胡克、哈雷等：胡克、哈雷等：16791679年，胡克找到了引力的平方反比定律。他認(rèn)為行星年，胡克找到了引力的平方反比定律。他認(rèn)為行星受到了太陽(yáng)的引力。受到了太陽(yáng)的引力。關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的各種動(dòng)力學(xué)解釋關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的各種動(dòng)力學(xué)解釋.牛頓：牛頓：16861686年，在年，在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書中提出一書中提出萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律。胡克制造的顯微鏡胡克制造的顯微鏡萬(wàn)有引力定律的提出者萬(wàn)有引力定律的提出者究竟是誰(shuí)？究竟是誰(shuí)？胡克？牛頓

9、？胡克？牛頓？l 將行星繞日運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由開(kāi)普勒第三定將行星繞日運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由開(kāi)普勒第三定 律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)證明律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)證明萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律( (Newtons law of universal gravitation) )。則行星的向心加速度為：則行星的向心加速度為：222122024()nCaRRTC RR（假設(shè)（假設(shè)C0僅與太陽(yáng)性質(zhì)有關(guān)）僅與太陽(yáng)性質(zhì)有關(guān)）太陽(yáng)太陽(yáng)行星行星203TCRl 設(shè)行星的軌道半徑為設(shè)行星的軌道半徑為R，周期為，周期為T，由，由開(kāi)普勒第三定開(kāi)普勒第三定 律律，有：，有：l 行星的向心加速度都是由相互作用力引起且與該力成

10、正行星的向心加速度都是由相互作用力引起且與該力成正 比（根據(jù)比（根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律），則該力可表示為：），則該力可表示為：（C與太陽(yáng)有關(guān)）與太陽(yáng)有關(guān)）2CfRl 引入比例常數(shù)引入比例常數(shù)G（稱為（稱為引力常量引力常量( (gravitational constant) )）。）。122m mfGR萬(wàn)萬(wàn)有有引引力力定定律律l 由由牛頓第三定律牛頓第三定律，太陽(yáng)要受到大小與，太陽(yáng)要受到大小與 f 相等的反作用相等的反作用 力，則力，則C 應(yīng)與行星的性質(zhì)有關(guān)，即應(yīng)與行星的性質(zhì)有關(guān)，即C應(yīng)與施力物體和受應(yīng)與施力物體和受 力物體的性質(zhì)有關(guān)，以力物體的性質(zhì)有關(guān)，以m1、m2表示，則：表示，則：1

11、22m mfR（m1，m2稱為稱為引力質(zhì)量引力質(zhì)量( (gravitational mass) )，反映吸引反映吸引其它物體的能力其它物體的能力）l 任何二物體間均存在相互吸引力。若物體可視為質(zhì)點(diǎn)，任何二物體間均存在相互吸引力。若物體可視為質(zhì)點(diǎn)， 則二質(zhì)點(diǎn)間的相互吸引力沿著二質(zhì)點(diǎn)的連線作用，與二則二質(zhì)點(diǎn)間的相互吸引力沿著二質(zhì)點(diǎn)的連線作用，與二 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m1和和m2成正比，與它們之間距離成正比，與它們之間距離r 的平方成的平方成 反比。反比。122m mfGr問(wèn)：?jiǎn)枺寒?dāng)物體不可視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，能直接應(yīng)用萬(wàn)有引力定律計(jì)當(dāng)物體不可視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，能直接應(yīng)用萬(wàn)有引力定律計(jì) 算它們之間的相互吸引力嗎

12、？例如均勻球殼外放置一算它們之間的相互吸引力嗎？例如均勻球殼外放置一 質(zhì)點(diǎn)，它們之間的萬(wàn)有引力如何計(jì)算？若質(zhì)點(diǎn)放在球質(zhì)點(diǎn)，它們之間的萬(wàn)有引力如何計(jì)算？若質(zhì)點(diǎn)放在球 殼內(nèi)，情況又如何？殼內(nèi)，情況又如何？1221 ddd xmfGLdxGMxLLdx 解：解：如圖建立坐標(biāo)軸如圖建立坐標(biāo)軸Ox，在桿上，在桿上x 位置處取質(zhì)元位置處取質(zhì)元dm=(M/L)dx。它對(duì)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力為：。它對(duì)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力為： xdxOLdl 教材例題教材例題6.2.66.2.6討論：討論：1、若、若Ld，情況如何？，情況如何？2、若、若d接近于零，情況又如何？接近于零，情況又如何？桿對(duì)桿對(duì)單位質(zhì)量的單位質(zhì)量的

13、質(zhì)點(diǎn)的引力為：質(zhì)點(diǎn)的引力為： 20d()LxGMxGMfLd dLLdx xdxOLd負(fù)號(hào)表明負(fù)號(hào)表明桿對(duì)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的桿對(duì)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力方向沿引力方向沿x 軸負(fù)方向。軸負(fù)方向。 （這種方法在（這種方法在電磁學(xué)電磁學(xué)中計(jì)算靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)也用到）中計(jì)算靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)也用到）l 均勻的薄球殼質(zhì)量為均勻的薄球殼質(zhì)量為M，計(jì)算一下離球心的距離為，計(jì)算一下離球心的距離為R、 質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力。的質(zhì)點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力。l 兩種情況：兩種情況：質(zhì)點(diǎn)在薄球殼外；質(zhì)點(diǎn)在薄球殼內(nèi)。質(zhì)點(diǎn)在薄球殼外；質(zhì)點(diǎn)在薄球殼內(nèi)。ROmMROmMl 分析：分析：從從引力勢(shì)能引力勢(shì)能的角度出發(fā)比直接分析的角度

14、出發(fā)比直接分析力力要更簡(jiǎn)單，要更簡(jiǎn)單， 因?yàn)閯?shì)能是標(biāo)量，計(jì)算時(shí)可避免角度的麻煩。因?yàn)閯?shì)能是標(biāo)量，計(jì)算時(shí)可避免角度的麻煩。 MROml 先分析先分析第一種情況：第一種情況：質(zhì)點(diǎn)在薄球殼外。將薄球殼分為若質(zhì)點(diǎn)在薄球殼外。將薄球殼分為若 干環(huán)狀質(zhì)元干環(huán)狀質(zhì)元dm。位于距。位于距O點(diǎn)點(diǎn)x處、高度為處、高度為dx、半徑為、半徑為y的的 環(huán)的質(zhì)量為：環(huán)的質(zhì)量為：d2dmy s dsxdxyq qad2sin d2sin2dsinxasaa x q q ql 質(zhì)元質(zhì)元dm與與m共同的萬(wàn)有引力勢(shì)能為：共同的萬(wàn)有引力勢(shì)能為：MROmq qxdxadsyd2ddPGm mGma xErr rMROmq qxdxa

15、dsyr22222222()22ryRxyxRRxaRRx2 d2 dr rR x 微分后有：微分后有： ddrxrR 2ddPGma rER 那么：那么：MROmq qxdxadsyr整個(gè)薄球殼與質(zhì)點(diǎn)共有的萬(wàn)有引力勢(shì)能為：整個(gè)薄球殼與質(zhì)點(diǎn)共有的萬(wàn)有引力勢(shì)能為：2d2d2R aPPR aGma rGmaGmMEEaRRR PGmMER 由此看出，整個(gè)薄球殼與其外面的質(zhì)點(diǎn)共有的由此看出，整個(gè)薄球殼與其外面的質(zhì)點(diǎn)共有的萬(wàn)有萬(wàn)有引力勢(shì)能引力勢(shì)能與薄球殼質(zhì)量全部集中在球心時(shí)的情況完全相與薄球殼質(zhì)量全部集中在球心時(shí)的情況完全相同。同。 因此（參考教材因此（參考教材P134P134公式公式4.4.114.

16、4.11），在計(jì)算薄球殼），在計(jì)算薄球殼對(duì)其對(duì)其外面外面的質(zhì)點(diǎn)的的質(zhì)點(diǎn)的作用力作用力時(shí)，可以將它的質(zhì)量都集中在時(shí)，可以將它的質(zhì)量都集中在其球心！其球心！l 再分析再分析第二種情況：第二種情況：質(zhì)點(diǎn)在薄球殼內(nèi)。質(zhì)點(diǎn)在薄球殼內(nèi)。2dda RPPa RGma rEER 發(fā)生變化了！發(fā)生變化了！GmMa yMROmq qxdxadsr 由此看出，不論質(zhì)點(diǎn)在均勻薄球殼內(nèi)什么地方，其由此看出，不論質(zhì)點(diǎn)在均勻薄球殼內(nèi)什么地方，其與均勻薄球殼共有的與均勻薄球殼共有的萬(wàn)有引力勢(shì)能萬(wàn)有引力勢(shì)能都相同。都相同。 因此因此均勻薄球殼內(nèi)不存在萬(wàn)有引力！均勻薄球殼內(nèi)不存在萬(wàn)有引力！ 前面分析的是均勻薄球殼，換成前面分析的

17、是均勻薄球殼，換成均勻厚球殼均勻厚球殼或者或者均均勻?qū)嵭那蝮w勻?qū)嵭那蝮w（如（如地球）地球）呢？呢？PGmMEa ROmMpGMmEr 此時(shí)引力勢(shì)能為負(fù)值。此時(shí)引力勢(shì)能為負(fù)值。l 設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為M和和m，相距，相距r。選擇它們相距無(wú)。選擇它們相距無(wú) 窮遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)引力勢(shì)能為零，則系統(tǒng)的引力勢(shì)能為：窮遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)引力勢(shì)能為零，則系統(tǒng)的引力勢(shì)能為：rMml 若無(wú)系統(tǒng)外力做功，且無(wú)系統(tǒng)內(nèi)非保守力做功，則系統(tǒng)若無(wú)系統(tǒng)外力做功，且無(wú)系統(tǒng)內(nèi)非保守力做功，則系統(tǒng) 機(jī)械能守恒。討論機(jī)械能守恒。討論第二宇宙速度（第二宇宙速度（拋射體和地球組成質(zhì)拋射體和地球組成質(zhì) 點(diǎn)系）、點(diǎn)系）、第三宇宙速度（第三宇

18、宙速度（拋射體、地球、太陽(yáng)組成質(zhì)點(diǎn)拋射體、地球、太陽(yáng)組成質(zhì)點(diǎn) 系）時(shí)可應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。系）時(shí)可應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。l 第一宇宙速度（環(huán)繞速度，第一宇宙速度（環(huán)繞速度，circular velocity）0v1vR地orR地 人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑近似等于地球半徑徑近似等于地球半徑R地地，向心力為地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引，向心力為地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力，向心加速度近似等于地面處的重力加速度力，向心加速度近似等于地面處的重力加速度g。2GM mmgR地地212GM mvmRR地地地1vgR地166.37 109.817.91 km

19、 s物體擺脫物體擺脫地球引力地球引力時(shí)，動(dòng)能消耗殆盡，引力勢(shì)能為零，時(shí)，動(dòng)能消耗殆盡，引力勢(shì)能為零，則系統(tǒng)機(jī)械能則系統(tǒng)機(jī)械能 E2=0 。l 第二宇宙速度（脫離速度第二宇宙速度（脫離速度，escape velocity）選擇選擇地心參考系地心參考系，物體與地球組成質(zhì)點(diǎn)系。，物體與地球組成質(zhì)點(diǎn)系。物體在地面發(fā)射時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為：物體在地面發(fā)射時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為：21212M mEmvGR地地1211.2 ,22GMvR gkm sR地地地22102M mmvGR地地根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：212vvl 第三宇宙速度（逃逸速度，第三宇宙速度（逃逸速度，escape veloc

20、ity）3113011122 6.67 102 10 42.2 1.49 10GMvRkm s 太日地物體（從物體（從地球表面地球表面）脫離）脫離太陽(yáng)引力太陽(yáng)引力所需的最小速率所需的最小速率 （物體相對(duì)太陽(yáng)的速率物體相對(duì)太陽(yáng)的速率）應(yīng)滿足）應(yīng)滿足:3v地球相對(duì)太陽(yáng)的速率（公轉(zhuǎn)速率）地球相對(duì)太陽(yáng)的速率（公轉(zhuǎn)速率）1 29.8 vkm s充分利用地球公轉(zhuǎn)的速率，物體在離開(kāi)地球時(shí)只需要有充分利用地球公轉(zhuǎn)的速率，物體在離開(kāi)地球時(shí)只需要有相對(duì)于地球?yàn)橄鄬?duì)于地球?yàn)?的速率即可擺脫的速率即可擺脫太陽(yáng)系。太陽(yáng)系。13312.4 vvvkm s116.7 km s第三宇第三宇宙速度宙速度222232323()vvvvvvl 從地面發(fā)射物體要飛出太陽(yáng)系，既要克服從地面發(fā)射物體要飛出太陽(yáng)系，既要克服太陽(yáng)引力太陽(yáng)引力，又，又 要克服要克服地球引力地球引力，所以發(fā)射時(shí)物體的動(dòng)能必須滿足：，所以發(fā)射時(shí)物體的動(dòng)能必須滿足：222332111222mvmvmv第二宇第二