數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想實(shí)用教案

1、3.3.轉(zhuǎn)化具有多樣性、層次性和重復(fù)性的特點(diǎn), ,為了實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化, ,既可以變更問(wèn)題的條件, ,也可以變更問(wèn)題的結(jié)論; ;既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu), ,又可以變換問(wèn)題的外部形式, ,這就是多樣性. .轉(zhuǎn)化原則既可以應(yīng)用于溝通數(shù)學(xué)與各分支學(xué)科的聯(lián)系, ,從宏觀上實(shí)現(xiàn)(shxin)(shxin)學(xué)科間的轉(zhuǎn)化, ,又能調(diào)動(dòng)各種方法與技術(shù), ,從微觀上解決多種具體問(wèn)題, ,這是轉(zhuǎn)化的層次. .而解決問(wèn)題時(shí)可以多次的使用轉(zhuǎn)化, ,使問(wèn)題逐次達(dá)到規(guī)范化, ,這是轉(zhuǎn)化原則應(yīng)用的重復(fù)性. .問(wèn)題(wnt)規(guī)范(gufn)問(wèn)題原問(wèn)題的解答解答問(wèn)題轉(zhuǎn)化已知理論、方法、技巧問(wèn)題還原第1頁(yè)/共40頁(yè)第一頁(yè)，共40

2、頁(yè)。1.1.函數(shù)(hnsh)y=sin4x+cos2x(hnsh)y=sin4x+cos2x的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析.874cos8142cos322cos1)22cos1(22xxxxy4B B22第2頁(yè)/共40頁(yè)第二頁(yè)，共40頁(yè)。2.2.在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中,O,O是坐標(biāo)原點(diǎn), , 動(dòng)點(diǎn)P P在直線x=3x=3上運(yùn) 動(dòng), ,若從動(dòng)點(diǎn)P P向Q Q點(diǎn)的軌跡引切線, ,則所引切線長(zhǎng)的最小值為 （ ） A.4 B.5 C. D. A.4 B.5 C. D.解析 點(diǎn)Q Q的軌跡是以(-2,-2

3、)(-2,-2)為圓心, ,半徑為1 1的圓, , 要使所求切線長(zhǎng)最小, ,只要使圓心到直線x=3x=3的距 離最短即可. .62C C26)(sin2,cos2(ROQ第3頁(yè)/共40頁(yè)第三頁(yè)，共40頁(yè)。3.3.設(shè)橢圓 (a (ab b0)0)的半焦距為c,c,直線l l過(guò)（0,a)0,a)和(b,0),(b,0),已知原點(diǎn)到l l的距離等于(dngy) ,(dngy) ,則橢 圓的離心率為 （ ）A. B. C. D.A. B. C. D.解析 直線方程為l:ax+by-ab=0,l:ax+by-ab=0, 所以 ， 變形為12e4-31e2+7=0,12e4-31e2+7=0,再解出 .

4、.12222bxayc7212227212bacab21eB B41213322第4頁(yè)/共40頁(yè)第四頁(yè)，共40頁(yè)。4.4.設(shè)O O是坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,1),A(1,1),若B(x,y)B(x,y)滿足(mnz)(mnz) ，則 取最小值時(shí), , 點(diǎn)B B的個(gè)數(shù) （ ） A.1 B.2 C.3 D. A.1 B.2 C.3 D.無(wú)數(shù)個(gè)解析 點(diǎn)B B（x,yx,y）滿足(mnz)(mnz)畫(huà)出可行域如圖陰影部分, ,又A(1,1),A(1,1),B(x,y),B(x,y),令 =x+y=t =x+y=t，則由t t得幾何意義可知，當(dāng)過(guò)圓中B1B1、B2B2兩點(diǎn)時(shí)，t t的值最小，此時(shí)tmin=3,

5、tmin=3,所以 取最小值時(shí), ,點(diǎn)B B的個(gè)數(shù)為2.2.2121012222yxyxyxOBOAOBOAOBOA2121012222yxyxyxB B第5頁(yè)/共40頁(yè)第五頁(yè)，共40頁(yè)。題型一 等與不等的轉(zhuǎn)化(zhunhu)(zhunhu)與化歸【例1 1】若a a、b b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3ab=a+b+3，求abab的取 值范圍. .解 方法一（看成函數(shù)的值域）ab=a+b+3ab=a+b+3，即a a1 1或a a-3,-3,又a a0,0,aa1,1,故a-1a-10.0.當(dāng)且僅當(dāng) , ,即a=3a=3時(shí)取等號(hào). .NoImage,013,0, 13aabaab而9514)

6、 1(14) 1( 5) 1(132aaaaaaaaab141aa第6頁(yè)/共40頁(yè)第六頁(yè)，共40頁(yè)。又a a3 3時(shí)， 是關(guān)于a a的單調(diào)增函數(shù). .abab的取值范圍是9 9，+）. .方法(fngf)(fngf)二（看成不等式的解集） a a，b b為正數(shù)， ab9.ab9.【探究拓展】將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化成不等式，是求變量取值范圍的重要方法(fngf)(fngf)，通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類(lèi)問(wèn)題，或者利用基本不等式解答這類(lèi)問(wèn)題. ., )( 13,032)(.32,3,22舍去或解得即又ababababababbaababba514)1(aa第7頁(yè)/共40頁(yè)第七頁(yè)，共40頁(yè)。變式訓(xùn)練1 1

7、已知三實(shí)數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列(dn b sh li),(dn b sh li),且a+b+c=ma+b+c=m(m(m是正常數(shù)) )，求b b的取值范圍. .解 方法一 設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)為 由a+b+c=m,a+b+c=m,得 ,bxbxb.3, 00 ,030, 0,111311,21,0; 21,0.11,)11 (mmbbmmbmxxxxxxxxxxxxmbmxxb即或所以又或從而時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)從而第8頁(yè)/共40頁(yè)第八頁(yè)，共40頁(yè)。方法二 因?yàn)閍,b,ca,b,c成等比數(shù)列，所以(suy)b2=ac,(suy)b2=ac,又a+b+c=m,a+b+c=m,所以(suy)(suy)則a a

8、、c c是關(guān)于x x的方程x2-(m-b)x+b2=0 x2-(m-b)x+b2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, ,所以(suy)=(suy)=-(m-b)-(m-b)2-4b20,2-4b20,2bacbmca3, 00 ,0),0(3,mmbbmmbm所以又解之得第9頁(yè)/共40頁(yè)第九頁(yè)，共40頁(yè)。題型二 正與反的轉(zhuǎn)化與化歸【例2 2】試求常數(shù)m m的范圍, ,使曲線y=x2y=x2的所有弦都不 能被直線(zhxin)y=m(x-3)(zhxin)y=m(x-3)垂直平分. .解 由題意可知，m0m0，所以設(shè)拋物線上兩點(diǎn) 關(guān)于直線(zhxin)y=m(x-3)(zhxin)y=m(x-3)對(duì)稱(chēng)，于是有：)

9、,( , ),(222211xxxx:,1613)(21)(21221212221212221212221得消去所以xmxxxxmxxmxxxxxxmxx第10頁(yè)/共40頁(yè)第十頁(yè)，共40頁(yè)。因?yàn)?yn wi)(yn wi)存在x1Rx1R使上式恒成立，即12m3+2m2+112m3+2m2+10,0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)(2m+1)(6m2-2m+1)0.0.因?yàn)?yn wi)6m2-2m+1(yn wi)6m2-2m+10 0恒成立, ,所以2m+12m+10,0,所以 . .即當(dāng) 時(shí), ,拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=m(x-3)y=m(x-3)對(duì)稱(chēng). .所以當(dāng) 時(shí), ,曲線

10、y=x2y=x2的所有弦都不能被直線y=m(x-3)y=m(x-3)垂直平分. .0) 161(24)2(22mmm21m21m21m.0161222121mmxmx第11頁(yè)/共40頁(yè)第十一頁(yè)，共40頁(yè)。【探究拓展】在進(jìn)行正與反的轉(zhuǎn)化時(shí), ,一定要搞清楚 問(wèn)題的反面是什么, ,就本題(bnt)(bnt)而言, ,它的反面是“至少 存在一條弦能被直線y=m(x-3)y=m(x-3)垂直平分”,”,進(jìn)而將 問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)稱(chēng)問(wèn)題, ,在解答問(wèn)題時(shí), ,正難則反是轉(zhuǎn) 化的一種有效手段. .變式訓(xùn)練2 2 已知a a、b b、c(0,1),c(0,1),求證:(1-a)b,:(1-a)b, (1-b)c,

11、(1-c)a (1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于 . .證明 “ “不能同時(shí)大于 ” ”包含多種情形, ,不易直 接證明, ,可用反證法證明. . 假設(shè)三式同時(shí)大于 ， 414141,41)1 ( ,41)1 ( ,41)1 (accbba第12頁(yè)/共40頁(yè)第十二頁(yè)，共40頁(yè)。aa、b b、c(0,1),c(0,1),三式同向相乘(xin chn)(xin chn)得(1-a)b(1-b)c(1-c)a(1-a)b(1-b)c(1-c)a . .這與假設(shè)矛盾，故原命題正確. . 641,641)1()1()1(,41)1( ,41)1(,41)21()1(2ccbbaaccbbaaaa同理

12、又第13頁(yè)/共40頁(yè)第十三頁(yè)，共40頁(yè)。題型三 以換元為手段的轉(zhuǎn)化(zhunhu)(zhunhu)與化歸【例3 3】已知函數(shù)f(x)=1-2a-2acos x-2sin2xf(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值為g(a).g(a).(1)(1)求g(a)g(a)的表達(dá)式；(2)(2)若g(a)= ,g(a)= ,求實(shí)數(shù)a a的值, ,并求此時(shí)f(x)f(x)的最大值. .解（1 1）因f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 令t=cos x,t=cos x,則-1t1, -1t1, 21,122)2(cos222a

13、aax.)2(41)22( 122)2( 1)()1 , 1( 122)2(2)(222aaaaaaagtaaatth則且原函數(shù)為第14頁(yè)/共40頁(yè)第十四頁(yè)，共40頁(yè)。(2)(2)由題意分析得: :只有 一種情況，所以(suy)(suy)令 , ,其中-2-2a a2,2,解得a=-1,a=-1,此時(shí) , ,所以(suy)(suy)當(dāng)cos x=1,cos x=1,即x=2k (kZ)x=2k (kZ)時(shí)，函數(shù)f(x)f(x)的最大值為5.5.【探究拓展】通過(guò)換元將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成較為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題, ,應(yīng)特別注意換元后t-1,1,t-1,1,應(yīng)討論二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間-1,1-1,1的位

14、置關(guān)系, ,才能快速、準(zhǔn)確解答此題. .211222aa211222aa21)21(cos2)(2xxf第15頁(yè)/共40頁(yè)第十五頁(yè)，共40頁(yè)。變式訓(xùn)練(xnlin)3 (xnlin)3 求函數(shù) 的最大值和最小值. .解 設(shè)t=sin x+cos xt=sin x+cos x Z ZZ Zxxxxxfcossin1cossin)(.212)(,)(432;212)(,)(42,. ) 12,2(21121)(,21cossin,2,2)4sin(2minmax22xfkkxxfkkxttttttgtxxx時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)解得且則原函數(shù)可化為則第16頁(yè)/共40頁(yè)第十六頁(yè)，共40頁(yè)。題型四 常量與變量的轉(zhuǎn)化

15、與化歸【例4 4】設(shè)f(x)f(x)是定義(dngy)(dngy)在R R上的單調(diào)遞增函數(shù)，若 f(-1-ax-x2)f(-2-a) f(-1-ax-x2)f(-2-a)對(duì)任意a-1,1a-1,1恒成立， 求實(shí)數(shù)x x的取值范圍. . 解 由題意知,-1-ax-x2-2-a,-1-ax-x2-2-a, 即(1-x)a-x2+10,(1-x)a-x2+10,令g(a)=(1-x)a-x2+1,g(a)=(1-x)a-x2+1, 所以原不等式等價(jià)于 解得x(-,-21,+)x(-,-21,+)， 所以實(shí)數(shù)x x的取值范圍是(-,-21,+). (-,-21,+). ,0)1 (0)1(gg,020

16、22xxxx即第17頁(yè)/共40頁(yè)第十七頁(yè)，共40頁(yè)?！咎骄客卣埂?在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí), ,往往是通過(guò)變換主元的方式(fngsh)(fngsh)，轉(zhuǎn)換思維方式(fngsh)(fngsh)從而使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)潔、明快. .變式訓(xùn)練4 4 已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a a為正整數(shù)，問(wèn)a a取何值時(shí)此方程至少有一個(gè)整數(shù)根. .解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7(x2+4x+4)a=2x+7，x=-2x=-2不是原方程的解，又aa為正整數(shù)， 即x2+2x-30 x2+2x-30，.)2(722xxa,1)2(722xx第18頁(yè)/

17、共40頁(yè)第十八頁(yè)，共40頁(yè)。解得-3x1.-3x1.又xx是整數(shù)且x-2,x-2,x=-3,-1,0,1,x=-3,-1,0,1,把它們分別代入原方程得又因?yàn)?yn wi)a(yn wi)a為正常數(shù)，故當(dāng)a=1a=1或a=5a=5時(shí), ,原方程至少有一個(gè)整數(shù)根. .,11,470,51,13axaxaxax第19頁(yè)/共40頁(yè)第十九頁(yè)，共40頁(yè)。【考題再現(xiàn)】 已知奇函數(shù)f(x)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,R,且f(x)f(x)在0,0, +) +)上是增函數(shù), ,當(dāng) 時(shí), ,是否存在這樣(zhyng)(zhyng)的實(shí) 數(shù) m, m,使 對(duì)所有 的 均成立? ?若存在, ,求出所有適合條件的實(shí)

18、數(shù)m;m;若不存在, ,請(qǐng)說(shuō)明理由. .202, 0)0()cos24()32(cosfmmff第20頁(yè)/共40頁(yè)第二十頁(yè)，共40頁(yè)?！窘忸}(ji t)(ji t)示范】 解 由f(x)f(x)是R R上的奇函數(shù)可得f(0)=0,f(0)=0,再利用f(x)f(x)的單 調(diào)性, ,則可把原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的三角不等式. . f(x) f(x)在R R上為奇函數(shù), ,又在0,+)0,+)上是增函數(shù), ,故 f(x) f(x)在R R上為增函數(shù), ,且f(0)=0.f(0)=0. 2 2分由題設(shè)條件可得, ,又由f(x)f(x)為奇函數(shù), ,可得 4 4分f(x)f(x)在R R上為增函數(shù), 6

19、 6分.0)cos24()32(cosmmff,4cos232cosmm.022coscos2mm即. )4cos2() 32(cosmmff第21頁(yè)/共40頁(yè)第二十一頁(yè)，共40頁(yè)。令 0t1. 0t1.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)一切0t1,0t1,不等式t2-mt+2m-2t2-mt+2m-20 0恒成立(chngl).(chngl). 8 8分t2-2t2-2m(t-2),m(t-2),即又 10 10分 11 11分存在實(shí)數(shù)m m滿足題設(shè)的條件, 12, 12分.222恒成立ttm,224422) 2(222tttt224m.224m,20,cost第22頁(yè)/共40頁(yè)第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。轉(zhuǎn)化思想

20、方法包含三個(gè)基本要素：1.1.把什么東西轉(zhuǎn)化, ,即轉(zhuǎn)化的對(duì)象；2.2.轉(zhuǎn)化到何處去, ,即轉(zhuǎn)化的目標(biāo)；3.3.如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化, ,即轉(zhuǎn)化的方法. .轉(zhuǎn)化思想方法應(yīng)遵循以下五條原則：1.1.熟悉化原則: :將陌生(mshng)(mshng)等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題, ,以利 于我們運(yùn)用熟悉的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決. .2.2.簡(jiǎn)單化原則: :將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題, ,通過(guò)對(duì)簡(jiǎn) 單問(wèn)題的解決, ,達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的, ,或獲得某 種解題的啟示和依據(jù). .第23頁(yè)/共40頁(yè)第二十三頁(yè)，共40頁(yè)。3.3.和諧化原則: :轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論, ,使其表現(xiàn)形式 更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示和諧統(tǒng)一的形式

21、, ,或者轉(zhuǎn)化 命題, ,使其推演(tuyn)(tuyn)有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們 的思維規(guī)律. .4.4.直觀化原則: :將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的 問(wèn)題來(lái)解決. .5.5.正難則反原則: :當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí), ,應(yīng)想到 考慮問(wèn)題的反面, ,設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求, ,是問(wèn)題 獲得解決，或證明問(wèn)題的可能性. . 第24頁(yè)/共40頁(yè)第二十四頁(yè)，共40頁(yè)。一、選擇題1.1.已知向量a=(1,1),b=(x,-1),a=(1,1),b=(x,-1),若a a與b b所成的角不是 銳角，則x x的取值范圍是 （ ） A.(-,1) B.(-,1 A.(-,1) B.(-,1 C

22、.(-1,1 D.(1,+) C.(-1,1 D.(1,+)解析 假設(shè)(jish)a(jish)a與b b所成的角是銳角， 則 得x x1,1, 所以a a與b b所成的角不是銳角時(shí)， x x的取值范圍是（-,1-,1. . , 0121|cos2xxbabaB B第25頁(yè)/共40頁(yè)第二十五頁(yè)，共40頁(yè)。2.2.已知a ab bc,a+b+c=0,c,a+b+c=0,當(dāng)0 0 x x1 1時(shí), ,代數(shù)式ax2+bxax2+bx+c+c的值是 （ ） A. A.正數(shù) B. B.負(fù)數(shù)(fsh)(fsh) C.0 D. C.0 D.介于-1-1到0 0之間解析 由a ab bc,a+b+c=0c,a

23、+b+c=0知a a0,c0,c0,0,令f(x)=ax2+bx+c,f(x)=ax2+bx+c, 則f(0)=cf(0)=c0,f(1)=a+b+c=0,0,f(1)=a+b+c=0, 設(shè)m m是f(x)=0f(x)=0的另一根， 則 所以在區(qū)間(0,1)(0,1)上,f(x)=ax2+bx+c0. ,f(x)=ax2+bx+cb0) (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別(fnbi)(fnbi)為 F1 F1、F2,PF2,P為橢圓上的一點(diǎn), ,且|PF1|PF2|PF1|PF2|的最大值 的取值范圍是2c2,3c2,2c2,3c2,其中 則橢圓的離心 率的取值范圍為 （ ） A. B. A. B.

24、C. D. C. D. 12222byax22bac22,331 ,221 ,3321,31第31頁(yè)/共40頁(yè)第三十一頁(yè)，共40頁(yè)。解析 因?yàn)?yn wi)|PF1|+|PF2|=2a(yn wi)|PF1|+|PF2|=2a， 即(|PF1|PF2|)max=a2(|PF1|PF2|)max=a2，所以2c2a23c2,2c2a23c2, 答案 A A,)2|(|222121aPFPFPFPF.2233,213122aceac則第32頁(yè)/共40頁(yè)第三十二頁(yè)，共40頁(yè)。二、填空題7. =_.7. =_.解析(ji x) (ji x) 原式= =。20cos40cos20sin40sin)103

25、0(cos)1030(cos)1030sin()1030sin(。.310sin30sin210sin30cos2。3第33頁(yè)/共40頁(yè)第三十三頁(yè)，共40頁(yè)。8.8.已知a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,則x2+y2x2+y2的最小 值為_(kāi)._.解析 由題意(t y)(t y)可設(shè) 則 所以 即x2+y2=r2=x2+y2=r2=,sincos,sin2cos2ryrxba,)cos(3r.9)(cos929,6sinsin2coscos2rr第34頁(yè)/共40頁(yè)第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。9.9.直線y=x-3y=x-3與拋物線y2=

26、4xy2=4x交于A A、B B兩點(diǎn)并向拋物線 的準(zhǔn)線作垂線. .垂足分別為D D、C C，則梯形ABCDABCD的面 積為_(kāi)._.解析(ji x) (ji x) 由 得x2-10 x+9=0,x2-10 x+9=0, 解得x1=9,x2=1,x1=9,x2=1,如圖， 梯形面積 S= (|AD|+|BC|)|CD| S= (|AD|+|BC|)|CD| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (9+1+2)2(3+1)=48. = (9+1+2)2(3+1)=48. ,432xyxy2121214848第35頁(yè)/共40頁(yè)第三十五頁(yè)，共40頁(yè)。10.10.已知函數(shù)f(x)f(x)滿足(mnz)f(1)=2, (mnz)f(1)=2, 則f(1)ff(1)f（2 2）ff（2 0092 009）=_.=_.解析 由題意得， 所以f(x)f(x)是以4 4為周期的函數(shù)， 且f(1)f(2)f(3)f(4)=1f(1)f(2)f(3)f(4)=1， 所以f(1)f(2)f(2 009)f(1)f(2)f(2 009) =1502f(2 009) =1502f(2 009) =f(502 =f(5024+1)=f(1)=2. 4+1)=f(1)=2. ,)(1)(1) 1(xfxfxf,213131) 3 (, 32121) 2(