《統(tǒng)計學(xué)》第9章 時間序列分析和預(yù)測

1、1第9章 時間序列分析和預(yù)測9.1 導(dǎo)言 對于企業(yè)來說，有關(guān)經(jīng)營管理的各種問題都需要作出預(yù)測，然后才能根據(jù)預(yù)測結(jié)果對生產(chǎn)活動進行決策。而預(yù)測的一個重要方法就是對未來情況進行推測，其原因是企業(yè)的生產(chǎn)或經(jīng)營狀況常常隨著時間推移而發(fā)生變化。 例如，材料和備用件的庫存、產(chǎn)品的銷售、工人的工資與產(chǎn)品的價格水平、生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制，乃至整個企業(yè)的變化等，都會因時間的變化而呈現(xiàn)出動態(tài)變化的過程。因此有必要也完全有可能對現(xiàn)象發(fā)展變化的歷史資料進行分析，找出現(xiàn)象的發(fā)展趨勢和變動規(guī)律并據(jù)以預(yù)測未來。 時間序列指在相以的時間間隔觀測，記錄一個變量或過程的值并按時間先后順序排列的數(shù)列： X1,X2,X3,Xt,Xn

2、(t=1,2,n) 其中的下標t代表與觀測時間t對應(yīng)的觀測值。 時間序列按時間變量的性質(zhì)，可分為離散時間序列和連續(xù)時間序列。醫(yī)院每天早上為病人測體溫所得病人的體溫記錄是離散時間序列，而心電圖測是連續(xù)時間序列。由于離散時間序列存在與應(yīng)用的普遍性，本書主要討論離散時間序列，并簡稱為時間序列。 時間序列按數(shù)據(jù)生產(chǎn)特點的不同，又可分為時點序列和時期序列。時點序列數(shù)據(jù)描述所研究對象在時間間隔點時的狀態(tài)及變化，如人口總數(shù)序列，股票收盤價格序列是時點序列。時期序列數(shù)據(jù)描述在一定時間間隔內(nèi)所研究對象的積累量及變化，和國民生產(chǎn)總值和某天的股票交易量是時期序列。9.2 時間序列分析 一、時間序列的分解一、時間序列

3、的分解 時間序列反映某一過程或變量隨機時間的推移而呈現(xiàn)的變動。影響這種變動的因素很多，有自然的、經(jīng)濟的、社會的和文化的，所起的推動或制約作用也不同。在諸多影響因素中，有些因素對事物的發(fā)展或?qū)^程的變化起著長期的、決定性的作用，使序列變動呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性；有些則對事物或過程的發(fā)展變?nèi)似鹬唐诘?、非決定性的作用，致使序列變動呈現(xiàn)波動性、周期性和不規(guī)則性。 所以，時間序列的各個觀測值（Xi）所反映的變化正是多種影響因素共同作用結(jié)果的綜合體現(xiàn)。但作為基本分析，通常把時間序列在形式上的變動歸納為四種因素所引起的變動，即長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)波動和不規(guī)則波動，有時也把它們稱為構(gòu)成時間序列變動的趨勢分量

4、、季節(jié)分量、循環(huán)分量和不規(guī)則分量并分別用T、S、C和I來表示。 長期趨勢（T）代表著序列變動中的方向性趨勢，受根本性因素的作用和制約。就經(jīng)濟系統(tǒng)而言，它反映基本經(jīng)濟力量的作用，如人口變動、人們消費習(xí)慣變化，通貨膨脹或重大技術(shù)進步等對經(jīng)濟變量的影響。 季節(jié)變動（S）是指一年以內(nèi)的，具有一定周期性且每年重復(fù)出現(xiàn)的變動。如服裝銷售、汽油消費、旅游服務(wù)等受季節(jié)的影響而形成的按季或月甚至周的規(guī)律性變化。 循環(huán)波動（C）是一種圍繞長期趨勢出現(xiàn)的具有一定起伏形態(tài)的周期波動。循環(huán)周期時間間隔在一年以上。循環(huán)周期的持續(xù)時間和振幅的大小不一定相等，無一定方式，這使它很難預(yù)測。經(jīng)濟系統(tǒng)的循環(huán)變動主要是由基本經(jīng)濟條件

5、、政府政策、人們消費口味或習(xí)慣的變化所引起。 不規(guī)則波動（I）是由上述三類以外的其他因素的作用而形成的變動。其誘發(fā)因素可能是許多不可預(yù)見的隨機因素的綜合作用或一些突發(fā)事件，如戰(zhàn)爭、罷工、自然災(zāi)害、惡劣的氣候或政府立法、選舉等。這種變動具有無規(guī)律性和不可預(yù)見性。二、時間序列模型二、時間序列模型 時間序列分析首先就是對這四種影響因素進行分析，量度不同因素對時間序列影響的大小和規(guī)律，進而了解一個時間序列是如何綜合這些因素的變動而體現(xiàn)它本身的運動的。為了研究分析經(jīng)濟和管理問題中出現(xiàn)的時間序列，經(jīng)濟學(xué)者按時間序列中四個主要因素間關(guān)系，建立了兩類時間序列模型。 加法模型是指時間序列的觀測值是趨勢值、季節(jié)變

6、動、循環(huán)波動和不規(guī)則波動的和。按加法模型，一定時期的時間序列觀測值Y與同時期的四種分量的關(guān)系Y=T+S+C+I （9.1） 加法模型假定，四種因素變動的原因各不相關(guān)，因而對Y的影響是相互獨立的，且具有與Y同樣的度量單位。 乘法模型是把時間序列的觀測值看作四種因素之乘積。 Y=TSCI （9.2） 其中，Y代表所觀測的時間序列，除趨勢分量使用與原時間序列觀測值Y相同的量度單位以外，其余各分量都用相對數(shù)或百分數(shù)表示。 乘法模型又稱為經(jīng)典時間序列模型，它是一種描述性的模型，并滿足各分量對時間序列的影響是相互獨立的假設(shè)。可以很方便地將影響時間序列的四種因素分離出來，再進一步研究時間序列各影響因素對時間

7、序列的單獨作用。 本章首先應(yīng)用乘法模型進行對時間序列的構(gòu)成分析。 圖9-1為用經(jīng)典乘法模型描述的某貨物發(fā)貨批量及時間序列分量。 時間序列分析的目的不僅在于對時間序列的變動有所了解和分析，而且還要能對未來長期發(fā)展的前景進行預(yù)測，這就是要進行時間序列的趨勢分析和測定。 圖圖9-1 用經(jīng)典模型描述的某貨物發(fā)貨批量及時用經(jīng)典模型描述的某貨物發(fā)貨批量及時間序列分量間序列分量三、長期發(fā)展趨勢分析三、長期發(fā)展趨勢分析 （一）長期趨勢的內(nèi)在與外在影響因素（一）長期趨勢的內(nèi)在與外在影響因素 社會經(jīng)濟現(xiàn)象隨著時間的推移所呈現(xiàn)的發(fā)展變化，是由于許多錯綜復(fù)雜的因素共同作用的結(jié)果，從而形成四種變動，即長期趨勢、循環(huán)變動

8、、季節(jié)變動及不規(guī)劃變動。 長期趨勢是指客觀現(xiàn)象在某一個相當長的時期持續(xù)發(fā)展變化的趨勢。 例如：隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，生產(chǎn)量總是按一定速度增長的趨勢；由于生產(chǎn)力水平的提高，人民生活水平隨之不斷提高的趨勢等。 長期趨勢是由客觀事物內(nèi)在因素所決定的。內(nèi)在的必然因素對客觀事物的各個時期都是起著普遍的、長期的、決定性的作用。并且使各個時期的發(fā)展水平沿著一個方向，即上升或下降持續(xù)發(fā)展，由此形成客觀事物在較長時期比較穩(wěn)定發(fā)展變化線索和基本規(guī)律。 長期趨勢一方面由內(nèi)在因素所決定，呈現(xiàn)穩(wěn)定的發(fā)展變化線索和規(guī)律；另一方面在具體的時間條件下，它又受到外在的偶然因素的影響，表現(xiàn)為上下起伏波動，變化規(guī)律不明顯。正是由于這種

9、暫時的外在偶然因素的影響，在短時間內(nèi)難以認識與掌握客觀事物發(fā)展的基本線索與規(guī)律，需要從相當長的時期內(nèi)進行系統(tǒng)觀察和分析。因為在較長時期內(nèi)在的偶然因素影響會相互抵消。 研究長期趨勢的主要目的首先在于測定與分析過去一段相當長的時間內(nèi)客觀現(xiàn)象持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的趨勢，從而認識和掌握現(xiàn)象發(fā)展變化的規(guī)律；其次，通過分析現(xiàn)象發(fā)展的長期趨勢，為統(tǒng)計預(yù)測提供條件；最后，測定長期趨勢可以消除原有時間數(shù)列中長期趨勢的影響，更好地研究季節(jié)變動等問題。 （二）長期趨勢的測定（二）長期趨勢的測定 長期趨勢是時間數(shù)列中最重要的動態(tài)變動因素。長期趨勢測定的方法較多，最簡單的是根據(jù)時間數(shù)列的圖形隨手確定一條直線。這種測定如果由經(jīng)驗

10、豐富的人進行操作，有時也能達到較好的效果，在此不加討論。下面主要介紹最常用的移動平均法和數(shù)學(xué)修勻法。 1移動平均法 由前面的分析可知，時間數(shù)列是由長期趨勢、循環(huán)變動、季節(jié)變動和不規(guī)則變動交織運動的綜合結(jié)果，如要測定出長期趨勢，就要將時間數(shù)列中的其他影響因素消除掉，以便使長期趨勢分離出來。 移動平均法是通過逐次移動的方法分別計算一系列序時平均數(shù)得到一個新的時間數(shù)列，實現(xiàn)對原數(shù)列的修勻。其基本思路是：不規(guī)則變動是由偶然的隨機因素所引起的。若從一個較長時期盾，則各種偶然因素所形成的偏差會相互抵消。對于季節(jié)變動與循環(huán)變動，若采用其相應(yīng)的周期進行移動平均，則也可將它們剔除，使剩下的結(jié)果表現(xiàn)為長期趨勢的影

11、響。 移動平均法有簡單移動平均法、加權(quán)移動平均法、趨勢移動平均法等等。現(xiàn)僅介紹簡單移動平均法。移動平均法根據(jù)所包含的項數(shù)又有奇數(shù)項移動平均法，如三項移動平均、五項移動平均、七項移動平均等。偶數(shù)項移動平均，如四項移動平均、八項移動平均、十二項移動平均等。 現(xiàn)以三項移動平均為例說明奇數(shù)項移動平均法。方法是先將時間數(shù)列中的第一項至第三項的數(shù)值加總，求它們平均數(shù)，將此平均數(shù)作為該三項的中間一項（即數(shù)列中的第二項）的長期趨勢值；隨后把第一項的數(shù)值去掉加上第四項的數(shù)值，求平均數(shù)，該平均數(shù)作為這三項中間一項的長期趨勢值，依次類推，直至把原數(shù)列中的最后一項加入計算為止。 如果對時間數(shù)列進行偶數(shù)項移動平均法，如

12、四項移動平均，則第一個平均數(shù)置于原數(shù)列的第二項與第三項之間，依此類推，得到一個新的數(shù)列；再采用二項移動平均法，將該平均數(shù)數(shù)列中的第一、二項的數(shù)值再求一項平均值，對準原數(shù)列中的第三項，依此下去，得到一個新的移動平均數(shù)列。由此可見，采用偶數(shù)項移動平均，需要兩次平均過程。 對于存在季節(jié)變動與循環(huán)變動的時間數(shù)列，為了消除季節(jié)變動與循環(huán)變動的影響，應(yīng)取相應(yīng)的時間長度進行移動平均。如季節(jié)變動一般取一年為時間長度，即進行12項移動平均（或4項移動平均）。 值得注意的是：通過移動平均后數(shù)列縮短了，如五項移動平均，前后各減少了兩次，從而會失掉一些信息。移動平均的項數(shù)愈多，喪失的信息會愈多。因此，應(yīng)根據(jù)情況適當選

13、擇移動平均的項數(shù)，使移動平均后的數(shù)列能較好地反映出現(xiàn)現(xiàn)象的發(fā)展趨勢。表9-1 五項移動平均、四項移動平均計算表 項數(shù) 數(shù)值 五項移動平均 四項移動平均 移動平均數(shù)二項移動平均 11521731316.015.2541616.216.2515.7551916.81616.12561618.417.7516.78572018.61918.37582118.618.519.591719.819.2520.175101920.619.7520.875112220.420.5122421.2513202數(shù)學(xué)修勻法 n數(shù)學(xué)修勻法又稱曲線配合法。它是根據(jù)時間數(shù)列中數(shù)據(jù)特點，擬合一條最佳的趨勢線來描述時間數(shù)列

14、也長期趨勢。n然而，究竟應(yīng)擬合怎樣的趨勢線，是直線還是曲線？是怎樣形式的曲線？總之，應(yīng)由時間數(shù)列的數(shù)據(jù)來決定。 n方法有二：n一是根據(jù)散點圖（即將時間數(shù)列的數(shù)據(jù)在直角坐標系中描繪的圖形）來判斷，即根據(jù)散點的走向來確定。n二是根據(jù)數(shù)據(jù)變化的特點來判斷。n一般采用下列標準：其一，如果時間數(shù)更中的數(shù)據(jù)的一級增長量即逐期增長量大體一致，宜擬合直線。其二，如果時間數(shù)列的二級增長量即逐期增長量數(shù)列的逐期增長量大體一致，宜擬合拋物線方程。其三，如果時間數(shù)列的環(huán)比發(fā)展速度大體一致，宜擬合指數(shù)曲線。 下面分別介紹擬合直線、拋物線與指數(shù)曲線的方法。（1）直線方程 方程式為：yc=a+bt 作這最佳趨勢線必須滿足：

15、(9.4) )(9.3) )(2最小值ccyyyyn在上述兩個條件中，關(guān)鍵是條件（9.4）。只要（9.4）滿足，則（9.3）必然滿足。因此從=最小值出發(fā)，利用最小二乘法，確定直線方程中的兩個特定參數(shù)a與b。n因為，將它代入（9.4）得：最小值2)(btay 要使Q為最小，根據(jù)極值原理，必須令它對a與b的偏導(dǎo)數(shù)為0，于是： 2)( btayQ令00bQaQ0)(20)(2tbtaybQbtayaQ將它整理得下列標準方程： 21tbtattbnay t byatntytntyb22)(11 解之得：t的平均值為的平均值為其中：t t y y 例9-1 試根據(jù)表9-2資料，擬合直線趨勢方程。 bta

16、yc 直線方程： 22)(11tntytntyb將表中計算所得數(shù)據(jù)代入上式得： 83.20 11662955. 111314.6 2955. 166111506666 .3141111 .20302t byab所以，所求的直線趨勢方程為：tyc2955. 183.20表9-2 1990-2000年某產(chǎn)品的年度銷售量 年度時間t銷售量yt2Ty1990121.2121.21991224.2448.41992325.7977.11993427.216108.81994525.925129.51995628.736172.21996729.349205.11997829.964239.2199893

17、2.281289.819991034.210034520001135.8121393.866314.65062030.1 對于上述經(jīng)最小二乘法求得的標準方程，如果通過對t值作一定處理，從而實現(xiàn)t=0，那么標準方程就簡化為如下形式： 顯然，這給計算帶來了很大的方便。 2tbtynay t的處理方法為：n當時間數(shù)列為奇數(shù)項時，取中間的t值為0，也即把它作為原點。原點以前的各項視其離原點的遠近而分別取-5、-4、-3、-2、-1。原點以后的各項也視其離原點的遠近分別取5、4、3、2、1。n當時間數(shù)列為偶數(shù)項時，則用位于中間兩項的中點作為原點，這時，與原點相鄰的前后兩項分別取-1、+1，然后按照3-+

18、3，-5、+5的取法分別取值。 在上例中，數(shù)列有11項，不奇數(shù)次項數(shù)列，如用簡捷法，則確定中間的1995年作為原點，得表9-3。 表9-3 年度銷售量的運算 年度時間t銷售量yt2Ty1990-521.225-1061991-424.216-96.81992-325.79-771993-227.24-54.41994-125.91-25.91995028.7001996129.3129.31997229.94239.21998332.2959.81999434.5161382000535.8251790314.8110142.5將表中計算結(jié)果代入標準方程得：所求直線趨勢方程為：ba1105 .

19、142118 .3142955. 16182.28 ba于是：tyc2955. 16182.28（2）拋物線方程（二次曲線） 方程式為： 與直線趨勢方程的參數(shù)估計一樣，從第二個基本條件出發(fā)，用最小二乘法，可得到以下標準方程： 4322322tctbtayttctbtatytctbnay 對于上述標準方程，仍按前面所討論的對t的處理方法使t=0，則上述方程簡化為：42222tctayttbtytcnay【例9.2】設(shè)有某產(chǎn)品的銷售資料如表9-4，試擬合長期趨勢方程。 年份時間t銷售量tyt2t2yt41992-47-2816112561993-39-27981811994-213-2645216

20、1995-116-161161199601800001997120201201199821632464161999313499117812000412481619225601244260654708 根據(jù)銷售量的數(shù)據(jù)特點，宜擬合拋物線： 將上表計算得到的數(shù)據(jù)代入簡化后的材料方程式中得： 2ctbtayccabca708606546042609124所以，所求的二次曲線方程式：56. 07 . 0508.17 cba解之得：256. 07 . 0508.17ttyc（3）指數(shù)曲線方程 方程式為： 先將指數(shù)曲線化成直線形式，即將上式兩邊取對數(shù)，則： btaylglglgabyc 設(shè) ，于是有： 對

21、于轉(zhuǎn)換后所得的直線方程，仍用前面介紹的最小二乘法求出待定參數(shù)A、B，然后求反對數(shù)而得a、b的值。lgbB lga,A ,lgyyBtAy 【例9.3】設(shè)有某產(chǎn)品產(chǎn)量資料如下表（見表9-5），試擬合長期趨勢方程。 從表中可以看出，產(chǎn)量的環(huán)比發(fā)展速度大體一致，故擬合指數(shù)曲線yc=ab2轉(zhuǎn)化后的直線形式為yt=A+Bt根據(jù)最小二乘法 385. 0105508. 01025. 808. 0551013855525. 810175.51)(11222 tByAtntytny tB表9-5 指數(shù)曲線計算表 年度時間t 常量（萬噸）y 環(huán)比發(fā)展速度t2tyt1991-424.216-96.81992-325

22、.79-771993-227.24-54.41994-125.91-25.91995028.7001996129.3129.31997229.94239.21998332.2959.81999434.5161382000535.8251790314.8110142.5yylg 得直線方程為： 將直線方程還原成指數(shù)曲線形式：所以長期趨勢方程為： ty08. 0385. 020. 1lg43. 2lgBantibAantiatcy20. 143. 2四、季節(jié)變動的測定與分析四、季節(jié)變動的測定與分析 一些經(jīng)濟變量往往由于風(fēng)俗習(xí)慣、天時節(jié)氣候等因素的影響呈現(xiàn)季節(jié)性波動。因此，研究不同變量的季節(jié)性變動的

23、規(guī)律，摸清季節(jié)變動的幅度，對于一年內(nèi)的生產(chǎn)計劃的制訂或銷量的預(yù)測起著十分重要的作用。此外，消除序列中季節(jié)因素的影響不僅是分析研究探討其他影響因素的作用的基礎(chǔ)，也是比較不同季節(jié)某些變量（如銷售量）的真正變化的前提。 在時間序列分析中季節(jié)變動的概念是廣義的，它不僅僅指按季度的變化，而是泛指其變動周期小于一年的周期性變動，如以月、周或其他小于一年的時間間隔為周期、可在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的變動。季節(jié)變動產(chǎn)生的原因很多，有自然界的規(guī)律性變化如氣候，也有經(jīng)濟領(lǐng)域中人們的消費習(xí)慣、文化習(xí)俗、社會活動特點等。 季節(jié)變動分析的目的是分析季節(jié)變動的規(guī)律及其對所研究事物的影響和作用。測定季節(jié)變動就是要把季節(jié)變動因素從序

24、列中分離出來分析，并測定其對序列影響的方向和強度，通常稱這個分離出來的季節(jié)影響為季節(jié)指數(shù)。要從一個時間序列中把季節(jié)性變動分離出來并計算其季節(jié)指數(shù)，有許多方法，這里介紹兩種方法：按月（季）平均法和滑動平均趨勢剔除法。 （一）平均法 按月（季）平均法是通過簡單平均來計算季節(jié)指數(shù)的一種方法。它的具體作法是：（1）將原始序列中同季節(jié)數(shù)據(jù)相加后求平均數(shù)；（2）將各季或月的平均數(shù)除以該序列的總月（季）平均數(shù)，所得到的便是季節(jié)指數(shù)。其計算公式是 平均數(shù)季總月平均數(shù)季同月季節(jié)指數(shù))(S 【例9.4】表9-6為某商品1997秋季至2000夏各季度的銷售量，請用按月平均方法計算各月的季節(jié)指數(shù)。 此例所提供的時間序

25、列是分季度的數(shù)據(jù)，我們用按季平均方法計算季節(jié)指數(shù)。表9-6第三橫欄第二行概括了4個年度的同季平均數(shù)和5年中的16個季節(jié)的總季平均數(shù)，再應(yīng)用上畫公式求得的四個季節(jié)的季節(jié)指數(shù)，列在表9-6第三欄的最后一行中。 表9-6 季節(jié)指數(shù)計算 年度一季度二季度三季度四季度合計1997 131730199846141539199978162051200081019256220011612-7728合計35366219.25210季(總)平均8.75915.5146.67 (13.125)季節(jié)指數(shù)67.0068.57118.00146.67400 按月（季）平均法應(yīng)用的基本假設(shè)是原時間序列沒有明顯的長期趨勢和循

26、環(huán)波動，因而若干年的同期數(shù)據(jù)的平均可消除不規(guī)則波動的影響，當平均的期間與循環(huán)波動周期一致時也可消除循環(huán)波動因素的作用。 但是，現(xiàn)實中許多數(shù)據(jù)序列存在明顯的長期趨勢和循環(huán)波動，它們很難通過平均法加以清除。因此，對有明顯長期趨勢的數(shù)據(jù)序列，應(yīng)用按月或季平均法計算的季節(jié)指數(shù)不夠準確，需采用其他測定季節(jié)趨勢的方法，如滑動平均趨勢剔除法。 （二）滑動平均趨勢剔除法 滑動平均趨勢剔除法又稱滑動平均比率法，它假定時間序列各因素間存在乘法關(guān)系，且各年度的不規(guī)則波動彼此獨立。這樣以一年12個月或4季度為平滑長度的滑動平均就可以消除季節(jié)變動（S）和不規(guī)則波動（I）的影響，使滑動平均數(shù)列成為只包含長期趨勢（T）和循

27、環(huán)波動（C）兩方面的因素。 再將原時間序列值Y除以TC，便可獲得只包含季節(jié)變動和不規(guī)則波動的新序列SI，又稱為季節(jié)變動與不規(guī)則波動相對數(shù)；然后再通過平均去掉不規(guī)則波動I而將季節(jié)變動分量分離出來。 利用滑動平均趨勢剔除法計算季節(jié)指數(shù)的步驟可歸納如下：（1）對原序列數(shù)據(jù)進行12月或4季度的滑動平均得出TC；（2）用TC除Y，得出 ；（3）通過平均方法從SI中消除I的影響得出S的估計值。 CTYIS 下面以例題說明應(yīng)用滑動平均趨勢消除法求季節(jié)指數(shù)的具體作法。 【例9.5】某種商品10年來各季度銷售量將表9-7的第一列，試用滑動平均趨勢消除法求季節(jié)指數(shù)。n計算季節(jié)指數(shù)第一步的過程和結(jié)果分別表示在表9-

28、7的第二、三列，第二步的計算及結(jié)果反映在第四列。表9-7 滑動平均趨勢剔除法計算季節(jié)指數(shù) 年一季 （1）實際銷售量Y （2）4季度滑動平均 （3）2季度中心化滑動 TC （4）=(1)/(3) 滑動平均比率 SI 1-1257-1-2288-1-3263279.75284.092.61-4311288.25298.2104.32-1291308.25318.091.52-2368327.75339.9108.32-3341352.00355.595.92-4408359.00373.6109.23-1319388.25386.282.63-2485384.25380.9127.33-33253

29、77.50375.886.53-4381374.00358.9106.24-1305343.75345.188.44-2364346.50346.8105.04-3336347.00350.495.94-4383353.75362.6105.65-1332371.50380.887.25-2435390.00398.2109.25-3410406.50411.099.85-4449415.50426.1105.46-1368436.75437.484.16-2520438.00437.4118.96-3415436.75432.296.06-4444427.75420.8105.57-1332

30、413.75412.580.57-2464411.25414.2112.07-3405417.25419.696.57-4468422.00419.0111.78-1351416.00416.884.28-2440417.50442.599.48-3411467.50468.087.88-4668468.50476.5140.29-1355484.50489.272.69-2504494.00476.4105.89-3449458.75465.496.59-4527472.00470.2112.110-1408468.50504.880.810-2490541.25556.588.110-37

31、40571.75-10-4649- 計算季節(jié)指數(shù)的最后步驟是：在滑動平均比率或相對數(shù)（上表中第4列數(shù)據(jù)）的基礎(chǔ)上應(yīng)用平均法求出季節(jié)指數(shù)，其計算過程和結(jié)果見表9-8。表9-8 季節(jié)性指數(shù)的計算年季度一季度二季度三季度四季度第1年-92.6104.3第2年91.5108.395.9109.2第3年82.6127.386.5106.2第4年88.4105.095.9105.6第5年87.2109.299.8105.4第6年84.1118.996.0105.5第7年80.5112.096.5111.7第8年84.299.487.8140.2第9年72.6105.896.5112.1第10年80.888

32、.1-平均數(shù)83.5108.294.1111.1平均數(shù)總和369.9季節(jié)指數(shù)84.2109.094.8112.0總計400.0（三）季節(jié)影響的調(diào)整 在許多管理工作的決策如制訂失業(yè)社會保障計劃時，需要確定真正的失業(yè)狀況，即除開季節(jié)影響的失業(yè)數(shù)量分布序列及發(fā)展趨勢。這就要求季節(jié)影響進行調(diào)整。測定了季節(jié)變動之后，可以將它們從原時間序列中剔除而得到的調(diào)整的時間序列。 用乘法模型，將原序列除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，便得到調(diào)整后的時間序列 它反映在沒有季節(jié)因素影響的情況下，時間序列的變化。 ）（ 5 . 9 ICTSISCTSY 表9-9描述了某產(chǎn)品1999-2001年每月的銷售額及應(yīng)用滑動平均趨勢剔除法所求得

33、的季節(jié)指數(shù)。應(yīng)用式（9.5）求得相應(yīng)的除去了季節(jié)影響的銷售額新序列在第六列。根據(jù)第六列不含季節(jié)影響的序列進行趨勢擬合得到的趨勢值見第七列，用它來作的趨勢分析已經(jīng)剔除了季節(jié)因素的作用。 見表9-9。 表9-9 利用滑動平均趨勢剔除法對某產(chǎn)品用銷售量的歷史時間序列數(shù)據(jù)的分析 月份 yiTC中心滑動平均 SI=Y1/(TC)S Di=Y1/S=TCIT* CI 11890.493383.37389.652192.1022290.596384.23399.141237.8932490.595418.49408.630243.1342890.680425418.119284.3252600.564460

34、.99427.608241.1764310.986437.12437.097430.987660450.11.4661.467449.9446.586655.148777455.21.7071.693458.95456.075772.139915460.91.9851.990459.79465.564926.4710613467.21.3121.307469.01475.053620.8911485472.81.0261.029471.33489.542498.5912277480.20.5770.600461.67494.031296.4213244492.50.4950.493494.97

35、503.520248.2414296507.30.5830.596496.64513.009305.7515319524.80.6080.595536.13522.498310.8916370540.90.6840.680544.12531.987361.7517313551.90.5670.564554.97541.476305.3918556560.90.9910.986563.89550.965543.2519831567.11.4651.467566.46560.454822.1920960572.71.6761.693567.04569.943964.91211152578.41.9

36、921.990578.89579.4321153.0722759583.71.3001.307580.72588.921769.7223607589.31.0301.209589.89598.410615.7624371596.20.6220.600618.33607.899364.7425298607.70.4900.493604.46617.388304.3726378623.00.6070.596634.23626.877373.6227373640.80.5820.595626.89636.366378.6428443656.70.6570.680651.47645.855439.18

37、29374667.30.5610.564663.12566.344369.6130660674.70.9780.986669.37664.833655.533110041.467684.39674.322989.233211531.693681.04683.8111157.693313881.990697.49693.3001379.67349041.307691.66702.789981.55357151.029694.85712.278732.93364410.600715.00721.707433.06 * T=Y的線性回歸估計值，應(yīng)用去除了季節(jié)影響的數(shù)據(jù)所擬合的回歸方程如下： tY48

38、9. 9163.380五、循環(huán)波動的測定與分析五、循環(huán)波動的測定與分析 許多工程和物理學(xué)中的時間序列呈現(xiàn)有規(guī)律性的周期性變動成分，可用數(shù)學(xué)上的周期函數(shù)來描述。但是，在管理和經(jīng)濟活動時間序列中的循環(huán)波動是對序列持續(xù)時間大于一年的相對膨脹和收縮的交替活動的描述，是由周期地變化的幅度及變化的時間所組成的。 其循環(huán)波動從上一個循環(huán)到下一個循環(huán)的持續(xù)時間和幅度變化很大，不能用某個數(shù)學(xué)上的周期函數(shù)來表達。另外，它有時又與不規(guī)則變動混在一起，很難單獨被測定。一般采用剩余法將趨勢分量、季節(jié)分量和不規(guī)則分量從原時間序列中分離出來之后，就得到該時間的循環(huán)分量。 用剩余法測定循環(huán)波動的步驟如下：（1）求出季節(jié)變動指

39、數(shù)S；（2）對原時間序列進行季節(jié)調(diào)整以季消除季節(jié)因素的影響，計算公式見式（9.5）；（3）應(yīng)用上一步結(jié)果，計算不含季節(jié)因素的長期趨勢T，并進一步消除長期趨勢的影響，得到循環(huán)一不規(guī)則趨勢百分數(shù)CI，其計算公式為（4）用滑動平均法對時間序列CI進行滑動平均，消除不規(guī)則波動的影響后得到循環(huán)波動分量C，通常用百分數(shù)表示。ICTICT 運用剩余法測定循環(huán)波動的實例見表9-10。表9-10概括了某廠近4年來各季度冷飲銷售量序列及趨勢回歸值、季節(jié)調(diào)整后的趨勢值，運用三步滑動平均去掉不規(guī)則波動I，便得到循環(huán)波動相對數(shù)。 圖9-2是這個序列循環(huán)波動的散點圖。 表9-10 循環(huán)一不規(guī)則趨勢百分數(shù)的估計 年一季ty

40、tTt=22.61+0.59tSTS CI=Y/(YS)3-滑動平均 C I=CI1-111023.200.4610.670.941-223123.791.2229.021.071.021.051-334324.381.6840.961.051.041.011-441624.970.6415.981.001.001.002-151125.560.4611.760.940.990.952-263326.151.2231.901.030.991.042-374526.741.6844.921.001.001.002-481727.330.6417.490.970.990.983-191327.92

41、0.4612.841.010.991511.2234.780.980.990.993-3114829.101.6848.890.980.990.993-4121926.690.6419.001.001.020.984-1133730.280.4613.931.081.021871.2237.660.981.011461.6852.850.960.990.974-4162132.050.6420.511.029.3 時間序列預(yù)測模型 時間序列分析的主要目的就是根據(jù)歷史資料的發(fā)展與變化規(guī)律的伸延進行外推預(yù)測。但是由于時間

42、序列中存在著隨機影響因素，因此僅僅把時間序列進行分解，然后根據(jù)各影響因素的趨勢和周期的延伸去預(yù)測未來，是十分不夠的。必須考慮各種隨機因素的影響，如市場前景、購買者行為的變化和新產(chǎn)品的研制等。而時間序列預(yù)測模型就是基本這種思考，在時間序列修勻的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。一、自回歸預(yù)測模型一、自回歸預(yù)測模型 企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營狀態(tài)常常具有時間上的延續(xù)性，即今年的水平與去年的水平有密切關(guān)系，而去年又與前年有密切的關(guān)系。因此，我們可把反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營狀況的某一方面的時間序列數(shù)據(jù)作為因變量，而把該序列后推一期或若干期形成的一個新的時間序列作為自變量進行回歸分析，然后用以預(yù)測未來，這樣的預(yù)測模型就稱作自回歸預(yù)測模型（

43、簡稱MA模型）。（一）自回歸預(yù)測模型的定義 一般來說，當時間序列中的長期趨勢和季節(jié)因素被剔除后，剩下的部分就很明顯地呈現(xiàn)出忽強忽弱地循環(huán)波動的規(guī)律。尤其是長期趨勢表現(xiàn)為簡單線性趨勢且被從時間序列中剔除后，這種現(xiàn)象更為顯著。 假定(Xt)是一個已經(jīng)剔除了長期趨勢和季節(jié)因素的時間序列。 (Xt)并不一定是完全隨機，但要求有規(guī)律性的變動。這樣所得的時間序列，稱為平穩(wěn)時間序列。嚴格講，平穩(wěn)隨機序列是隨機變量Xt (t=1,2,T)的序列。不要求相互獨立，但要求有密切的自相關(guān)關(guān)系，即：（1）概率分布函數(shù)不隨時間的遷移而變化。（2）平穩(wěn)過程的期望值、方差、協(xié)方差是不依賴于時間的常數(shù)。),(),(2121z

44、tzztXXXPXXXP)()()()()()(ztCODtCODzttzttXXXEXVXEXE 如果時間序列滿足上述規(guī)定，那么可定義自回歸預(yù)測模型為： 其中： 當tS時， 當z 0時，tptpttiUXbXbXbbX221100)UE(U ,VU , 0st2ttEU0)(zttXUE（二）自回歸預(yù)測模型的相關(guān)分析 自回歸模型實際上是把原時間序列作因變量，把原序推前一期或幾期形成的時間序列作為自變量建立起來的模型。但是作為自變量的時間序列必同原序列具有較為密切的相關(guān)關(guān)系，如果與原時間序列沒有相關(guān)關(guān)系或者相關(guān)關(guān)系不密切，那么由此建立起來的模型就沒有多大意義。因此在配合模型之前，還須對原序列同

45、各階滯后序列作自相關(guān)系分析，以便確定自回歸的階數(shù)。 如果X1，X2，Xt是某一時間序列中n個連續(xù)時期的數(shù)值，那么被k個時期所隔開的數(shù)值之間的自相關(guān)系數(shù)被定義為：)7 . 9( ), 2 , 1()()()()(11221nkXXXXXXXXrkntkntktktttkntktktttk11kr 式中，n為樣本容量，k為滯后期，Xt為樣本數(shù)據(jù)平均值，Xt-k為滯后k期的樣本平均值，k為滯后期。 自相系數(shù)，表示時間序列滯后期的兩項之間的相關(guān)程度。 【例9.6】某企業(yè)連續(xù)30年的利潤總額的序列如表9-11。 表9-11 時間序列的觀察值 單位：萬元 t196819691970197119721973

46、197419751976197719781979Xt706969707170696864657278t19801981198219831984198519861987198819891990Xt7575757075757478868275t19911992199319941995199619971998199920002001Xt7372737277838181858584 按照資料可編制原序列的滯后一期、二期、三期、四期的自相關(guān)序列Xt-1、 Xt-2 、 Xt-3 、 Xt-4 如表9-12： 對于公式（9.7），現(xiàn)設(shè)：）（, 3 , 2 11111kXXnXXLLkttkttkk), 4

47、 , 3 , 1( 12222kXXnXXLLkttkttkk22)(1ktktkkXnXL)(11111ttttttXXnXXLL表9-12 自相關(guān)序列表 單位：萬元 序號t(年)XtXt-1Xt-2Xt-3Xt-41197271(70)(69)(69)(70)219737071(70)(69)(69)31974697071(70)(69)4197568697071(70)519766468697071619776564686970719787265646869819797872656468919807578726564101981757578726511198275757578721219

48、837075757578131984757075757514198575757075751519867475757075161987787475757017198886787475751819898286787475191990758286787420199173758286782119927273758286221993737273758223199472737273752419957772737273251996837772737226199781837772732719988181837772281999858181837729200085858581833020018485858581

49、222222)(11 )(1tttkttkttkktttttttXnXLttXXnXXLLXXnXXLL(9.8) )1,2,3,(k kkttktkLLLr那么自相關(guān)系數(shù)與簡單相關(guān)系數(shù)一樣，取值范圍為：-1rk1。 |rk|越接近1，說明序列自相關(guān)程度越高。按照表9-12可計算 ：k=1時，K=2時， （萬元） 43.789)22632249(3011704391tL（萬元） 97.960)2249(30116956211L（萬元） 37.887)2233(301167097222L（萬元） 37.505)22632233(3011689482tLK=3時，K=4時，（萬元） 7 .796)

50、2217(301164633233L（萬元） 3 .356)22632217(3011675923tL（萬元） 47.757)2217(301162972244L（萬元） 07.244)22632206(3011666504tL（萬元） 37.1011)2263(3011717172ttL代入公式（9.8）得：2789. 037.101147.75707.2443969. 037.10117 .7963 .3565335. 037.101137.88737.5058008. 037.101197.96043.7894321rrrr 把上述結(jié)果繪制成圖9-3。 由圖9-3可見，r1、r2的值均在

51、0.5以上，面r3、r4較小，可以認為原序列Xt與滯后一期序列Xt-1和滯后二期序列Xt-2有較強的關(guān)系。 因此，可由Xt與Xt-1 、 Xt-2建立二階自回歸模型： 23121tttXbXbbX（三）參數(shù)估計 預(yù)測模型的參數(shù)估計主要是利用有關(guān)的樣本數(shù)據(jù)，對已確定預(yù)測模型的參數(shù)作出估計，對于自回歸模型而言，就是要估計出各個自回歸系數(shù)bi，(i=1,2,p)。 回歸系數(shù)可由最小平方法來估計。其估計過程表述如下： 自回歸方程為： ptptttXbXbXbbX22110 式中， 為常數(shù)， 為對 的回歸系數(shù)，如果樣本容量為n，則選取這樣的 ，使殘差平方和 達到最小 。obpbbb 21、ptttXXX

52、 21、pbbb 10、QbbbbXntpt21tp,- tt2,- t2t1,- t10)XX -X-(根據(jù)多元微分學(xué)， 滿足：pbbb 10、nttpttptptttpnttttptptttnttptptttXXbXbbXbQXXbXbbXbQXbXbbXbQ1, 1101, 1, 11011, 11000)( 0)(0)(將上述方程組化簡，可得： ptppppptpptppLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL22112222212111212111ptkktktXbXb10 以例9.6提供的資料，根據(jù)自相關(guān)分析建立二階自回歸方程，該方程的回歸系數(shù)的估計值按正規(guī)方程求解可得： 28.

53、 003. 174.18210bbb則自回歸擬合方程為：根據(jù)上述模型可計算不同t時的 值（見表9-13）。2128. 003. 174.18tttXXXtX表9-13 二階自回歸擬合值及其誤差19727171.52-5.2019737072.27-2.2719746970.96-1.9619756870.21-2.2119766469.46-5.4619776565.62-0.6219787267.774.3219797874.703.3019807578.92-3.9219817574.150.85tXtttXXetXt19827574.99-0.0119837074.99-4.991984

54、7569.845.1619857576.39-1.3919867474.99-9.0919877873.964.0419888678.367.6419898285.48-3.4819907579.12-4.1219917373.03-0.0319927272.93-0.9319937372.46-0.5419947273.77-1.7719957772.464.5419968377.895.1119978182.621.6219988178.932.0719998579.492.5120008582.491.5120018482.491.51-5.05 上述計算結(jié)果可用圖形表示（見圖9-4）。

55、 圖9-4顯示出極為明顯的滯后一期影響。 就是說預(yù)測值同前一期的觀察值基本上是一致的，這也恰恰反映了自回歸預(yù)測模型的特點。（四）模型檢驗 1擬合優(yōu)度檢驗 為了反映回歸效果的有效性，即個滯后序列作為一個整體與原序列之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，還需要通過擬合優(yōu)度檢驗。如果檢驗的結(jié)果是否定的，那么求得的回歸模型也是無效的，不能用于預(yù)測。擬合優(yōu)度R2由下式計算：按表9-13，而 22222)()(1)()(ttttttttXXXXXXXXR5025.25)05. 5()(22ttXX37.1011)(2ttttLXX 所以 當 ， 時，查相關(guān)系數(shù)臨界值表得： ，所以自回歸模型線性關(guān)系顯著，模型可以用于預(yù)

56、測。9748. 037.10115025.25120R9873. 00R05. 027330mn446. 0RRR 0 2偏回歸系數(shù)檢驗 擬合優(yōu)度檢驗僅僅反映了若干個滯后序列作為自變量整體同因變量（原序列）的相關(guān)關(guān)系，還不能說明每個自變量序列同因變量序列之間是否存在線性關(guān)系。所以還要進行回歸系數(shù)檢驗。如果某個自變量序列經(jīng)檢驗與原序列不存在顯著的線性關(guān)關(guān)系，則要被刪去，重新建立模型。 回歸系數(shù)的顯著性檢驗一般采用t檢驗。各回歸系數(shù)的t值可由下式計算： 式中， 為估計標準誤差，kkXkbCSbtkmnXXSttX2)(XS把表9-13，資料代入： 其中9719. 0330)05. 5(2XS002

57、75. 068.32212537.887)43.728(37.88797.96037.887221222112211LLLLC43.72822492233301168129 )(301212112ttttXXXXL所以 又則21.2000275. 09719. 003. 11111CSbtXb00298. 068.32212597.96021222111122LLLLC28. 505306. 028. 000298. 09719. 028. 02222CSbtXb 當 ， 時，查t相分分表得 由于 所以，Xt-1、 Xt-1分別與Xt的線性相關(guān)顯著。052. 221.202/1ttb052.

58、22t05. 027 mn052. 228. 52/2ttb（五）預(yù)測 1點估計 由于 ，當 時：本例中，如果t=2001，則t=2002，所以：22110tttXbXbbX1 tT1210ttTXbXbbX)(46.818528. 08403. 174.18199021991101992萬元XbXbbX2區(qū)間估計 由于 ，當 ， 時 ， ，則預(yù)測區(qū)間為：（注：X0=X1991=84），因而9719. 0XS052. 22t05. 027 mn2202/)()(11tttXaTXXXXnStX（注： ）0973. 237.1011)43.7584(30119719. 0052. 2)()(11

59、22202/tttXaXXXXnSt37.1011)-(X ,43.753022632ttttttLXnXX 預(yù)測區(qū)間為：81.462.0973，即（79.3627萬元，83.55738萬元）。 該企業(yè)按二階自回預(yù)測模型，在95%的概率保證下，2002年的利潤總額可達79.3627萬元至83.557萬元之間。二、指數(shù)修勻預(yù)測模型二、指數(shù)修勻預(yù)測模型 長期趨勢的修勻主要作用是剔除“隨機”波動的影響。移動平均修勻只利用時間序列中一部分數(shù)據(jù)（步長n個數(shù)據(jù)），而數(shù)據(jù)平滑修勻則充分利用過去所有的歷史數(shù)據(jù)。正由于指數(shù)平滑修勻有這樣的特點，R. G. Brown將其發(fā)展為預(yù)測模型，即所謂多重指數(shù)平滑修勻與預(yù)

60、測模型。n設(shè)時間序列的觀察值X1,X2,XT，則可據(jù)其預(yù)測T+Z期的數(shù)值。n如果時間序列發(fā)展較穩(wěn)定，一般可采取一次指數(shù)平?jīng)]模型預(yù)測。一次指數(shù)平滑修勻的原理我們已在本章第二節(jié)有過介紹，其預(yù)測公式為： )()1()1()1(1ttttXXXX 上式表明， 的預(yù)測值 等于 Xt 的平滑值 加上 t 時刻的預(yù)測誤差（ ）的倍。如果 t 時刻的預(yù)測值過低，則 ， t1時刻的預(yù)測值增大；反之則減小?？梢娺@種方法具有“自適應(yīng)”的功能。它通過一定的修正措施自動適應(yīng)即期的預(yù)測誤差，以縮小下一期的預(yù)測誤差，并通過來調(diào)整修正幅度。 )1(1tX)1(1tX)1(ttXX 0)()1(ttXX)1(1tXn如果時間序