大學物理2運動定律與力學中的守恒定律

1、自然和自然規(guī)律隱藏在黑暗之中，自然和自然規(guī)律隱藏在黑暗之中，上帝說上帝說“讓牛頓降生吧讓牛頓降生吧”，一切就有了光明；一切就有了光明；但是，光明并不久長，魔鬼又出現(xiàn)了，但是，光明并不久長，魔鬼又出現(xiàn)了，上帝咆哮說：上帝咆哮說：“讓愛因斯坦降生吧讓愛因斯坦降生吧”，就恢復到現(xiàn)在這個樣子。就恢復到現(xiàn)在這個樣子。 三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，建立了動力學三大定律和萬有引力定律。建立了動力學三大定律和萬有引力定律。其實，沒有后者，就不能充分顯示前者其實，沒有后者，就不能充分顯示前者的光輝。海王星的發(fā)現(xiàn)，把牛頓力學推的光輝。海王星的發(fā)現(xiàn)，把牛頓力學推上榮耀的頂峰。上榮

2、耀的頂峰。 魔鬼的烏云并沒有把牛頓力學推跨，魔鬼的烏云并沒有把牛頓力學推跨，她在更加堅實的基礎(chǔ)上確立了自己的使她在更加堅實的基礎(chǔ)上確立了自己的使用范圍。宇宙時代，給牛頓力學帶來了用范圍。宇宙時代，給牛頓力學帶來了又一個繁花似錦的春天。又一個繁花似錦的春天。一、慣性定律一、慣性定律 慣性參考系慣性參考系 1 1、慣性定律、慣性定律（Newton first law） 任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，直到受到力的作用迫使它改變這種狀態(tài)為止。直到受到力的作用迫使它改變這種狀態(tài)為止。(2). . 定義了定義了慣性參考系慣性參考系 (1). . 包含兩個重

3、要概念：包含兩個重要概念：慣性慣性和和力力 2-1 牛頓運動定律牛頓運動定律固有特性固有特性問問題題a=0時時人人和小球的狀態(tài)符合牛頓定律和小球的狀態(tài)符合牛頓定律結(jié)論結(jié)論：牛頓定律成立的參照系稱為牛頓定律成立的參照系稱為慣性系慣性系。相對慣性。相對慣性系作加速運動的參照系是非慣性系。而相對慣性系作系作加速運動的參照系是非慣性系。而相對慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。勻速直線運動的參照系也是慣性系。a0時時人人和小球的狀態(tài)為什麼不符合牛頓定律？和小球的狀態(tài)為什麼不符合牛頓定律？2、慣性系與非慣性系、慣性系與非慣性系根據(jù)天文觀察，以太陽系作為參照系研究行星運動時發(fā)現(xiàn)根據(jù)天文觀察，以太陽系作

4、為參照系研究行星運動時發(fā)現(xiàn)行星運動遵守牛頓定律，行星運動遵守牛頓定律，所以太陽系是一個慣性系。所以太陽系是一個慣性系。二、牛頓二、牛頓第二定律第二定律（Newton second law） 在受到外力作用時，物體所獲得的加速度的大小在受到外力作用時，物體所獲得的加速度的大小與外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與外力的矢量和的方向相同。與外力的矢量和的方向相同。2、迭加性：、迭加性： iNiNFFFFF121特點特點： 瞬時性；迭加性；矢量性；定量的量度了慣性瞬時性；迭加性；矢量性；定量的量度了慣性 1、瞬時性：、瞬時性：aF、之間一一對應(yīng)

5、之間一一對應(yīng)amF 3、矢量性：、矢量性：具體運算時應(yīng)寫成分量式具體運算時應(yīng)寫成分量式dtdvmmaFyyy dtdvmmaFxxx dtdvmmaFzzz 直角坐標系中：直角坐標系中：dtdvmF 2vmFn 自然坐標系中：自然坐標系中：4、定量的量度了慣性定量的量度了慣性 ABBAaamm 慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量：牛頓第二定律中的質(zhì)量常被稱為慣性質(zhì)量牛頓第二定律中的質(zhì)量常被稱為慣性質(zhì)量引力質(zhì)量引力質(zhì)量：0221rrmmGF式中式中21mm 、被稱為引力質(zhì)量被稱為引力質(zhì)量經(jīng)典力學中經(jīng)典力學中不區(qū)分不區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量三、第三定律三、第三定律（Newton third law）

6、 兩個物體之間對各自對方的相互作用總是相等兩個物體之間對各自對方的相互作用總是相等的，而且指向相反的方向。的，而且指向相反的方向。作用力與反作用力作用力與反作用力：1、它們總是成對出現(xiàn)，它們之間一一對應(yīng)。、它們總是成對出現(xiàn)，它們之間一一對應(yīng)。2、它們分別作用在兩個物體上，絕不是平衡力。、它們分別作用在兩個物體上，絕不是平衡力。3、它們一定是屬于同一性質(zhì)的力。、它們一定是屬于同一性質(zhì)的力。21FF 例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為m的小球，在水中受的浮力為常力的小球，在水中受的浮力為常力F，當，當它從靜止開始沉降時，受到水的粘滯阻力為它從靜止開始沉降時，受到水的粘滯阻力為f=kv(k為為常數(shù)），證明小球在水

7、中豎直沉降的速度常數(shù)），證明小球在水中豎直沉降的速度v與時間與時間t的的關(guān)系為關(guān)系為fFmgax)1 (mktekFmgv式中式中t為從沉降開始計算的時間為從沉降開始計算的時間證明：取坐標，作受力圖。證明：取坐標，作受力圖。dtdvmmaFkvmg根據(jù)牛頓第二定律，有根據(jù)牛頓第二定律，有四、牛頓定律的應(yīng)用四、牛頓定律的應(yīng)用初始條件：初始條件：t=0 時時 v=0dtdvmmaFkvmg tvdtm)Fkvmg(dv00 tvdt)Fkvmg()Fkvmg(dkm00mkt)Fkvmgln(v 0)1 (mktekFmgv運動描述具有相對性運動描述具有相對性車上的人觀察車上的人觀察地面上的人觀察

8、地面上的人觀察2-2 力學相對性原理力學相對性原理 非慣性系中的力學非慣性系中的力學一、一、 伽利略變換、經(jīng)典力學時空觀伽利略變換、經(jīng)典力學時空觀時間、長度、質(zhì)量時間、長度、質(zhì)量“同時性同時性”和力學定律的形式和力學定律的形式是是絕對的絕對的物體的坐標和速度、物體的坐標和速度、“同一地點同一地點”是是相對的相對的ttzzyyutxx 坐標變換坐標變換方程方程ttzzyyutxx或或經(jīng)典時空觀經(jīng)典時空觀 根據(jù)伽利略變換，我們可得出牛頓的絕對時空觀，根據(jù)伽利略變換，我們可得出牛頓的絕對時空觀，也稱之為經(jīng)典時空觀。也稱之為經(jīng)典時空觀。在在S系內(nèi)，米尺的長度為系內(nèi)，米尺的長度為212212212)()

9、()(zzyyxxL在在S系內(nèi)，米尺的長度為系內(nèi)，米尺的長度為212212212)()()(zzyyxxL利用伽利略變換式得利用伽利略變換式得LL結(jié)論結(jié)論：空間空間任意兩點之間的距離對于任何的慣性系而言任意兩點之間的距離對于任何的慣性系而言都是相等的，都是相等的，與與慣性系的選擇或觀察者的慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關(guān)相對運動無關(guān)。即：長度是即：長度是“絕對的絕對的”，或稱之為，或稱之為“絕對空間絕對空間”。tt再有再有時間時間也也與與慣性系的選擇或觀察者的慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關(guān)相對運動無關(guān) “ “絕對空間絕對空間”、“絕對時間絕對時間”和和“絕對質(zhì)量絕對質(zhì)量”這三個概念的總和

10、構(gòu)成了經(jīng)典力學的所謂這三個概念的總和構(gòu)成了經(jīng)典力學的所謂“絕對時絕對時空觀空觀”： 空間、時間和物質(zhì)的質(zhì)量與物質(zhì)的運動無空間、時間和物質(zhì)的質(zhì)量與物質(zhì)的運動無關(guān)而獨立存在關(guān)而獨立存在，空間永遠是靜止的、同一的，時間，空間永遠是靜止的、同一的，時間永遠是均勻地流逝著的。永遠是均勻地流逝著的。如果把如果把隨慣性系而變隨慣性系而變的看成是的看成是“相對相對”的，的，那么經(jīng)典力學中：那么經(jīng)典力學中：時間、長度、質(zhì)量時間、長度、質(zhì)量“同時性同時性”和力學定律的形式和力學定律的形式物體的坐標和速度物體的坐標和速度“同一地點同一地點”是相對的是相對的是絕對的是絕對的把把不不隨慣性系而變隨慣性系而變的看成是的看

11、成是“絕對絕對”的，的， 近代物理學發(fā)展表明：經(jīng)典的、與物近代物理學發(fā)展表明：經(jīng)典的、與物質(zhì)運動無關(guān)的絕對時空觀是錯誤的，并揭質(zhì)運動無關(guān)的絕對時空觀是錯誤的，并揭示出時間、空間與物質(zhì)運動密切相關(guān)的相示出時間、空間與物質(zhì)運動密切相關(guān)的相對性時空觀；而力學相對性原理則得到改對性時空觀；而力學相對性原理則得到改造發(fā)展為物理學中更為普遍的相對性原理造發(fā)展為物理學中更為普遍的相對性原理速度變換速度變換法則法則zzyyxxvvvvuvv zzyyxxaaaadtduaa 加速度變換加速度變換法則法則在所有慣性系中，在所有慣性系中，0 dtduaa 加速度是不變量。加速度是不變量。二、力學的相對性原理二、力

12、學的相對性原理在在S系中：系中：amF 在在S 系中：系中：amF 在任何一個慣性系中牛頓定律都有完全相同的形式在任何一個慣性系中牛頓定律都有完全相同的形式即：伽利略相對性原理即：伽利略相對性原理 或經(jīng)典相對性原理或經(jīng)典相對性原理力學規(guī)律對一切慣性系都是等價的力學規(guī)律對一切慣性系都是等價的力學的相對性原理：力學的相對性原理：*三、非慣性系中的力學三、非慣性系中的力學1、在變速直線運動參考系中的慣性力：在變速直線運動參考系中的慣性力：samFaamF amam aamamFss地地samF慣慣令令：2、在勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的慣性力：在勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的慣性力：-慣性離心力慣性離心力3、

13、科里奧利力科里奧利力*kf 相相umf*k2在轉(zhuǎn)動的非慣性系，還須引入科里奧利力，在轉(zhuǎn)動的非慣性系，還須引入科里奧利力，才可沿用牛頓定律的形式才可沿用牛頓定律的形式地球是個勻角速轉(zhuǎn)動的參考系，但由于自轉(zhuǎn)角速地球是個勻角速轉(zhuǎn)動的參考系，但由于自轉(zhuǎn)角速度很小，地球上運動的物體往往察覺不到科里奧度很小，地球上運動的物體往往察覺不到科里奧利力的存在。利力的存在。2-3 動量守恒定律動量守恒定律 和能量守恒和能量守恒物理學大廈物理學大廈的基石的基石三大三大守恒定律守恒定律動量守恒定律動量守恒定律動能轉(zhuǎn)換與守恒定律動能轉(zhuǎn)換與守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律一、質(zhì)點的動量定理一、質(zhì)點的動量定理amF由由

14、可得：可得：dtpdF pptpppddtF0000ppI 作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理xxttxmvmvdtF1221 yyttymvmvdtF1221 zzttzmvmvdtF1221 分量表示式分量表示式二、質(zhì)點系的動量定理二、質(zhì)點系的動量定理第第i個質(zhì)點受到的合外力為個質(zhì)點受到的合外力為 11njjiifF外外對第對第i個質(zhì)點個質(zhì)點運用動量定理有：運用動量定理有：121121iiiittnjjiivmvmdtfF 外外 niiiniiittninjijttniivmvmdtfdtF111211112

15、121外外因為：因為：0111 ninjijf niiiniiittniivmvmdtF1112121外外三、動量守恒定律三、動量守恒定律01112 niiiniiivmvm則則有有若若外外0iF 一個孤立的力學系統(tǒng)（系統(tǒng)不受外力作用）或合一個孤立的力學系統(tǒng)（系統(tǒng)不受外力作用）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間動量可以交換，但外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。即：系統(tǒng)的總動量保持不變。即：動量守恒定律動量守恒定律。xvo l0vumM例一例一、如圖，車在光滑水平面上運動。已知、如圖，車在光滑水平面上運動。已知m、M、l0v人逆車運動方向從車頭經(jīng)人逆車運動方向從

16、車頭經(jīng)t 到達車尾。到達車尾。求求：1、若人勻速運動，他到達車尾時車的速度；若人勻速運動，他到達車尾時車的速度； 2、車的運動路程；車的運動路程； 3、若人以變速率運動，若人以變速率運動， 上述結(jié)論如何？上述結(jié)論如何？ 解解：以人和車為研究系統(tǒng)，：以人和車為研究系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動量守恒。向系統(tǒng)動量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM vo l0vumMxtlmMmvumMmvv 001、2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3、umMmvv 0lmMmtvdtmMmuvvdtstt 0000)(例二、例二、 質(zhì)量為質(zhì)量為2

17、.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率飛來，被板推擋后，又的速率飛來，被板推擋后，又以以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為板面法線的夾角分別為45o和和30o，求：求：（1）乒乓球得到的沖量；乒乓球得到的沖量；（2）若若撞擊時間為撞擊時間為0.01s，求板施于球的平求板施于球的平均沖力的大小和方向均沖力的大小和方向。45o 30o nv2v1解：取擋板和球為研究對象，由于解：取擋板和球為研究對象，由于作用時間很短，忽略重力影響。設(shè)作用時間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對球的沖力為擋板對球的沖

18、力為 則有則有：F12vmvmdtFI 45o 30o nv2v1Oxy取坐標系，將上式投影，有：取坐標系，將上式投影，有：tFmvmvdtFIxxx )45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy 45sin30sin122.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvt N14.6 N7 .0 N1 .622 yxyxFFFFFsNjijIiIIyx 007. 0061. 0 為平均沖力為平均沖力與與x方向的夾角方向的夾角。6.54 tan 1148.0 xyFF用矢量法解用矢量法解45o 30o nv2v1Oxy105cos2212222212vvmvmvmtFI Ns

19、1014. 62 N14. 6 tIF 105sinsin2tFmv 51.86 0.7866sin 86. 64551.86 v2v1v1tFx 例三、例三、 一質(zhì)量均勻分布的柔軟細繩一質(zhì)量均勻分布的柔軟細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。在桌面上。試證明試證明：在繩下落的過程中，：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。到桌面上的繩重量的三倍。ox證明：證明：取如圖坐標，設(shè)取如圖坐標，設(shè)t時刻已有時刻已有x長

20、的柔繩落至桌面，長的柔繩落至桌面，隨后的隨后的dt時間內(nèi)將有質(zhì)量為時間內(nèi)將有質(zhì)量為 dx（Mdx/L)的柔繩以的柔繩以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動量變化率為：的速率碰到桌面而停止，它的動量變化率為：dtdtdxdxdtdp 根據(jù)動量定理，桌面對柔繩的沖力為：根據(jù)動量定理，桌面對柔繩的沖力為：2vdtdtdxdxdtdpF 柔繩對桌面的沖力柔繩對桌面的沖力FF即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222 而而 而已落到桌面上的柔繩的重量為而已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/L所以所以F總總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg2-4 動量守恒和能量守恒動量守恒和能量守

21、恒一、功、功率一、功、功率1 1、功、功力的空間積累力的空間積累外力作功是外界對系統(tǒng)過程的一個作用量外力作功是外界對系統(tǒng)過程的一個作用量riFiAB 21rrrdFdAA kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd dsFrdFdA cos 微分形式微分形式直角坐標系中直角坐標系中 xxzzzyyyxbazyxzdFydFdxFdzFdyFdxFA000例例1 作用在質(zhì)點上的力為作用在質(zhì)點上的力為)(42Nji yF 在下列情況下求質(zhì)點從在下列情況下求質(zhì)點從)(21mx 處運動到處運動到)(32mx 處該力作的功：處該力作的功：1. 質(zhì)點的運動軌道為拋物線質(zhì)點的運動軌道為拋物線yx42 2.

22、 質(zhì)點的運動軌道為直線質(zhì)點的運動軌道為直線64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy做做功功與與路路徑徑有有關(guān)關(guān))(42Nji yF JdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx8104242491322121212211.)(, XYO23125. 2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx252146214249132221212211.)()(, bazyxBAdzFdyFdxFrdFA2、功率、功率 力在單位時間內(nèi)所作的功力在單位時間內(nèi)所作的功tWP平均功率：dtdWtWPt0lim瞬時功率：瞬時功率等與力與物體速度的標積瞬時功

23、率等與力與物體速度的標積單位：瓦特單位：瓦特 WrdFdW vFdtrdFP 二、保守力的功二、保守力的功1 1、保守力、保守力某些力對質(zhì)點做功的大小只某些力對質(zhì)點做功的大小只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而而與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)。這種力稱為保守力。這種力稱為保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、萬有引力、彈性力重力、萬有引力、彈性力與保守力相對應(yīng)的是與保守力相對應(yīng)的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力0 rdFA2、重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a運動到運動到b，取地面為坐標原點，取地面為坐標原點. baGrdgmA可見，可見，重力是保守

24、力重力是保守力。XYZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdyidx(k)mg(bamgzmgz 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量3、彈力的功彈力的功kxF可見，彈性力是保守力?？梢姡瑥椥粤κ潜Ｊ亓?。XOab 彈簧振子彈簧振子222121bakxkx 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量)(222121abxxkxkxkxdxAba 4、引力的功引力的功 兩個質(zhì)點之間在引力作用下相對運動時兩個質(zhì)點之間在引力作用下相對運動時 ，以，以M所在處為原點所在處為原點,M指向指向m的方向為矢徑的正方向。的方向為矢徑的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。受的引力方向與矢徑方向相反?？梢娙f有引力是保守力?？梢娙f

25、有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab rdrrdrrdr cos)1(1 1 2barrbarGMmrGMmdrrGMmrdfAba 例例2、一隕石從距地面高為、一隕石從距地面高為h處由靜止開始落向地面，處由靜止開始落向地面，忽略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力的功忽略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力的功是多少？是多少？解：取地心為原點，引力與矢徑方向相反解：取地心為原點，引力與矢徑方向相反abhRo RhRrdFA)(hRRGMmh 2 RhRdrrMmG hRRGMmrdrGMmRhR11 2例例3、質(zhì)量為質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在力的質(zhì)點在力i tF12(SI)的作用下，從靜止

26、出發(fā)，沿的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運動。軸正向作直線運動。求前三秒內(nèi)該力所作的功。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：（一維運動可以用標量）解：（一維運動可以用標量） vdttrdFA122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttA7299363124303302 例例4、一對作用力和反作用力的功一對作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2組成一個封閉系統(tǒng)組成一個封閉系統(tǒng)在在dt 時間內(nèi)時間內(nèi)2211rdfrdfdA 1111rdfrm 2112rrr )()(122122rrdfrdrdfdA 21ff 212rdfdA

27、2222rdfrm 三、動能定理三、動能定理 iiiikikvmEE221ni, 2 , 1 質(zhì)點的質(zhì)點的動能動能質(zhì)點系統(tǒng)的質(zhì)點系統(tǒng)的動能動能221mvEk AB rifi 質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理 合外力對質(zhì)點所合外力對質(zhì)點所做的功做的功等于質(zhì)點等于質(zhì)點動能的增量動能的增量。功功是質(zhì)點是質(zhì)點動能動能變化的量度變化的量度過程量過程量狀態(tài)量狀態(tài)量1221222212121212121KKvvEEmvmvmvdrdfA )(物體受外力作用物體受外力作用運動狀態(tài)變化運動狀態(tài)變化動能變化動能變化末態(tài)動能末態(tài)動能初態(tài)動能初態(tài)動能動能是動能是相對量相對量四、四、勢能、勢函數(shù)勢能、勢函數(shù) 在受保守力的作

28、用下，質(zhì)點在受保守力的作用下，質(zhì)點從從AB，所做的功與路徑無關(guān)，所做的功與路徑無關(guān)，而只與這兩點的位置有關(guān)?？梢慌c這兩點的位置有關(guān)?？梢胍粋€只入一個只與位置有關(guān)的函數(shù)與位置有關(guān)的函數(shù)，A點點的函數(shù)值減去的函數(shù)值減去B點的函數(shù)值，定義點的函數(shù)值，定義為從為從A B保守力所做的功，該函保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。數(shù)就是勢能函數(shù)。AB定義了勢能差定義了勢能差選參考點（勢能零點），設(shè)選參考點（勢能零點），設(shè)PBPAABEEA 0 PBEPAABEA )()(bafrMmGrMmGA 222121baskxkxA baGmgzmgzA pppbaEEErdFAba 保保保保保守力保守力做正

29、功做正功等于相應(yīng)勢能的等于相應(yīng)勢能的減少減少；保守力保守力做負功做負功等于相應(yīng)勢能的等于相應(yīng)勢能的增加增加。KKAKBEEEmvmvA 21222121外力外力做正功做正功等于相應(yīng)動能的等于相應(yīng)動能的增加增加；外力外力做負功做負功等于相應(yīng)動能的等于相應(yīng)動能的減少減少。比比較較重力勢能重力勢能（以地面為零勢能點）（以地面為零勢能點）mgyymgmgdyEyP )0(0引力勢能引力勢能（以無窮遠為零勢能點）（以無窮遠為零勢能點）rGMmdrrMmGErP12彈性勢能彈性勢能（以彈簧原長為零勢能點）（以彈簧原長為零勢能點）22021210kxkxdxkxExp )(勢勢能能只只具具有有相相對對意意義

30、義系統(tǒng)的機械能系統(tǒng)的機械能pkEEE 質(zhì)點在某一點的質(zhì)點在某一點的勢能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用勢能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。注意：注意：1、計算勢能必須規(guī)定零勢能參考點。勢能是相對量，、計算勢能必須規(guī)定零勢能參考點。勢能是相對量，其量值與零勢能點的選取有關(guān)。其量值與零勢能點的選取有關(guān)。2、勢能函數(shù)的形式與保守力的性質(zhì)密切相關(guān)，對應(yīng)于、勢能函數(shù)的形式與保守力的性質(zhì)密切相關(guān)，對應(yīng)于一種保守力的函數(shù)就可以引進一種相關(guān)的勢能函數(shù)。一種保守力的函數(shù)就可以引進一種相關(guān)的勢能函數(shù)。3、勢能是屬于以保守力形式相互作用的

31、物體系統(tǒng)所共、勢能是屬于以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共有的。有的。4、一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負值。因此，、一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負值。因此，保守力做正功時，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負功時，系保守力做正功時，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負功時，系統(tǒng)勢能增加。統(tǒng)勢能增加。五、勢能曲線五、勢能曲線幾種典型的勢能曲線幾種典型的勢能曲線（d）原子相互作用）原子相互作用 勢能曲線勢能曲線勢能曲線勢能曲線:勢能隨勢能隨位置變化的曲線位置變化的曲線hEp（h）O21（a）lEp（l）O（b）rEp（r）OpE（c）r0Ep（r）Or2（d）（a）重力勢能曲線）重力勢能曲線（b）彈性勢能曲線）彈

32、性勢能曲線（c）引力勢能曲線）引力勢能曲線勢能曲線提供的信息勢能曲線提供的信息1、質(zhì)點在軌道上任意位置時，、質(zhì)點在軌道上任意位置時， 質(zhì)點系所具有的勢能值。質(zhì)點系所具有的勢能值。2、勢能曲線上任意一點的斜率、勢能曲線上任意一點的斜率 的負值，的負值，表示質(zhì)點在該處所受的保守力表示質(zhì)點在該處所受的保守力 dldEP平衡位置平衡位置勢能曲線有極值，質(zhì)點處于平衡位置。勢能曲線有極值，質(zhì)點處于平衡位置。 2002000)(21)()(21)()()(xxUxUxxUxxUxUxU 200)(21)()(xxUxUxUX)(xUabc ABCdxdUf xxUxUf )()(000 fdxdU)()(x

33、UxEp 勢勢能能函函數(shù)數(shù)xxUxUf )()(0勢能曲線取極小值的平衡點勢能曲線取極小值的平衡點0)(0 xU0000 fxxfxx力總是指向平衡位置力總是指向平衡位置勢能曲線取極大值的平衡點勢能曲線取極大值的平衡點0)(0 xU0000 fxxfxx力總是背離平衡位置力總是背離平衡位置X)(xUabc ABC穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡ca,不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡bX)(xUabc ABC圖中勢能曲線可分成圖中勢能曲線可分成勢阱勢阱A、勢阱勢阱C和勢壘和勢壘B三個區(qū)間三個區(qū)間。設(shè)系統(tǒng)機械能守恒，由此設(shè)系統(tǒng)機械能守恒，由此勢能曲線可分析系統(tǒng)狀態(tài)勢能曲線可分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化。的變化。1E2E3EE=E1 系

34、統(tǒng)被限制在勢阱系統(tǒng)被限制在勢阱A中運動中運動E=E2 系統(tǒng)在勢阱系統(tǒng)在勢阱A或或C中運動，且二者只居其一中運動，且二者只居其一。E=E3 系統(tǒng)可在系統(tǒng)可在xxd的區(qū)域自由運動的區(qū)域自由運動。d 六、質(zhì)點系的動能定理與功能原理六、質(zhì)點系的動能定理與功能原理對第對第i質(zhì)點運用動能定理：質(zhì)點運用動能定理：212221212121iiiiiijiivmvmrdfrdF 外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外對所有質(zhì)點求和可得：對所有質(zhì)點求和可得：注意注意：不能先求合力，再求合力的功；不能先求合力，再求合力的功；只能先求每個力的功，再對這些功求和。

35、只能先求每個力的功，再對這些功求和。12KKEEAAA 內(nèi)內(nèi)保保內(nèi)內(nèi)非非外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)保守力質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)保守力的功和質(zhì)點系內(nèi)非保守力的功三者之和。的功和質(zhì)點系內(nèi)非保守力的功三者之和。質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理PPPEEEA )(12內(nèi)內(nèi)保保)()(1212PPKKEEEEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外12EEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。系統(tǒng)機械能的增量。0 內(nèi)內(nèi)非非外外A

36、A當外力對系統(tǒng)做功為零和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做當外力對系統(tǒng)做功為零和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功為零時，系統(tǒng)的機械能守恒。功為零時，系統(tǒng)的機械能守恒。七、機械能守恒定律七、機械能守恒定律0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA系統(tǒng)的機械能增加系統(tǒng)的機械能增加系統(tǒng)的機械能減少系統(tǒng)的機械能減少系統(tǒng)的機械能保持不變系統(tǒng)的機械能保持不變:時時當當外外0 A0 內(nèi)內(nèi)非非若若A系統(tǒng)的機械能增加系統(tǒng)的機械能增加0 內(nèi)內(nèi)非非若若A系統(tǒng)的機械能減少系統(tǒng)的機械能減少0 內(nèi)內(nèi)非非若若A系統(tǒng)的機械能保持不變系統(tǒng)的機械能保持不變例例 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為、半徑為、半徑為的定滑的定滑輪（當作均勻圓盤）上面

37、繞有細繩，輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體由靜止下落高度由靜止下落高度時時的速度和此時滑輪的角速度。的速度和此時滑輪的角速度。解：據(jù)機械能守恒定律：解：據(jù)機械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 取滑輪、物體、地球為系統(tǒng)取滑輪、物體、地球為系統(tǒng)第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 3-1 3-1 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量一、質(zhì)點的角動量OL dvm 質(zhì)點相對質(zhì)點相對O點的矢徑點的矢徑 與

38、質(zhì)點與質(zhì)點的動量的動量 的矢積定義為該時的矢積定義為該時刻質(zhì)點相對于刻質(zhì)點相對于O點的角動量，點的角動量，用用 表示。表示。rvmLvmrL sinrmvL 2mrrmvL 直角坐標系中角直角坐標系中角動量的分量表示動量的分量表示yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL 二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理1 1、力矩、力矩OMrp FrM sinFrM 力矩的分量式力矩的分量式: :yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 對軸的力矩對軸的力矩單位：牛單位：牛米米（N m）2、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理（2）力力 的作用線與矢徑的作用線與矢徑 共線即共線即

39、( )( )。Fr0 sin有心力：有心力： 物體所受的力始終指向（或背離）某一物體所受的力始終指向（或背離）某一固定點固定點力心力心力矩為零的情況力矩為零的情況: :（1）力力 等于零等于零；FFrM vmrL )(vmrdtddtLd vmdtrddtvmdr )(vmdtrddtvmdrdtLd )(dtvmdF)( dtrdv vmvFrdtLd 0 vmvMdtLd MFr 120 LLdtMtt 作用在質(zhì)點上的力矩等于角動量對時間的變化率。作用在質(zhì)點上的力矩等于角動量對時間的變化率。外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動量的增量。外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動量的增量。角動

40、量定理的微分形式角動量定理的微分形式角動量定理的積分形式角動量定理的積分形式dtLdM 0 M若若常常矢矢量量 vmrL三、質(zhì)點角動量守恒定律三、質(zhì)點角動量守恒定律 質(zhì)點所受外力對固定點的力矩為零，則質(zhì)點質(zhì)點所受外力對固定點的力矩為零，則質(zhì)點對該固定點的角動量守恒。對該固定點的角動量守恒。 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律。3-2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、質(zhì)點系的角動量定理一、質(zhì)點系的角動量定理1、質(zhì)點系對固定點的角動量定理、質(zhì)點系對固定點的角動量定理對由對由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系中第個質(zhì)點組成的質(zhì)點系中第i個質(zhì)點，有：個質(zhì)點，有：)()(11iiinjjiiivmrdtdfFr

41、 外外質(zhì)點質(zhì)點i受力受力對對i求和有：求和有：)(11111iiinininjjiiniivmrdtdfrFr 外外因內(nèi)力成對出現(xiàn)故該項為零因內(nèi)力成對出現(xiàn)故該項為零)(11iiiniiniivmrdtdFr 外外得：得： 作用于質(zhì)點系的作用于質(zhì)點系的外力矩的矢量和外力矩的矢量和等于等于質(zhì)點系質(zhì)點系角動量的增量角動量的增量。 質(zhì)點系對固定點的質(zhì)點系對固定點的角動量定理角動量定理2、質(zhì)點系對軸的角動量定理、質(zhì)點系對軸的角動量定理)sin(11iiiininiizvmrdtdM )(121 niiiniizrmdtdMdtdLIdtdMzniiz )(1 iirv 2 i因有：因有：設(shè)質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點

42、均在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞同一軸轉(zhuǎn)動設(shè)質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點均在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞同一軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量I i iivimirO質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量單位為千克單位為千克米米2（kgm2）3、轉(zhuǎn)動慣量的計算、轉(zhuǎn)動慣量的計算與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素因素： 質(zhì)量分布質(zhì)量分布與與轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置。2mrI niiirmI12)(單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量 mdmrI2dldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別分別為質(zhì)量的線密度、為質(zhì)量的線密度

43、、面密度和體密度。面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布面分布面分布注注意意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。例例1、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解解: dmrI2I是可加的，所以若為薄圓筒是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。（不計厚度）結(jié)果相同。ROdm222mRdmRdmR 例例2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤

44、的轉(zhuǎn)的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdIIR403212 可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。2221mRIlRm lrdr 2例例3、求長為、求長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標，解：取如圖坐標，dm= dx dmrIC2 dmrIA23202/m

45、LdxxL 122222/mLdxxLL 平行軸定理平行軸定理前例中前例中IC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量， IA表表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2。可見：?？梢姡?22231411212mLmLmLLmIICA 推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為I，則有：，則有：IICmd2。這個結(jié)論稱為這個結(jié)論稱為平行軸定理平行軸定理。3/2mLIA 12/2mLIC 練習練習：右圖所示，剛體對經(jīng)過：右圖所

46、示，剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？量如何計算？( (棒長為棒長為L、球、球半徑為半徑為R）2131LmILL 252RmIoo 2002002)(RLmIdmIIL 222)(5231RLmRmLmIooL LmOm二、剛體的轉(zhuǎn)動定律二、剛體的轉(zhuǎn)動定律 IdtdIMniiz 1剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。成反比。dtdLIdtdMzniiz )(1 剛體轉(zhuǎn)動定

47、律可由牛頓第二定律直接導出剛體轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律直接導出dmddafF 和和 為合外力和合內(nèi)力為合外力和合內(nèi)力FdfddmadfdFdmadfdFnnndmrrdfrdF2將切向分量式兩邊同乘以將切向分量式兩邊同乘以r，變換得變換得ZMdf dFO rdFd dm dFn轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 z分解為作用在質(zhì)量元分解為作用在質(zhì)量元dm上的上的切向力切向力和和法向力法向力：MrdFrdfrdF對等式左邊積分得到外力矩對等式左邊積分得到外力矩角加速度對所有質(zhì)量元都相等角加速度對所有質(zhì)量元都相等于是有于是有 IdtdIM 所以所以 Idmrdmrmm )(22其中其中 mdmrI2寫成矢量形式寫成矢量形式dtdIIM m反映質(zhì)點的反映質(zhì)點的平動慣性平動慣性，I反映剛體的反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性轉(zhuǎn)動慣性力矩力矩是使剛體是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生發(fā)生改變改變而產(chǎn)生而產(chǎn)生角加速度角加速度的原因。的原因。MI 與與地位相當?shù)匚幌喈攁mF 剛體繞定軸剛體繞定軸Z的的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量(moment of inertia)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例例1、一個質(zhì)量為、一個質(zhì)量為