同濟大學固體物理課件20

1、第二十講第二十講 等離子體等離子體 維格納晶格維格納晶格 6 6. .5 5 等等離離子子體體本本章章中中，我我們們用用“量量子子力力學學的的理理想想自自由由電電子子氣氣模模型型”描描述述金金屬屬中中的的導導電電電電子子，效效果果看看似似很很好好。闡闡明明了了費費密密能能、電電子子比比熱熱、電電導導率率、磁磁致致電電阻阻、霍霍爾爾效效應應、電電子子熱熱發(fā)發(fā)射射、光光電電效效應應、場場致致發(fā)發(fā)射射、接接觸觸電電勢勢差差等等一一系系列列物物理理現現象象。但但這這個個模模型型有有二二點點局局限限：（1 1） 沒沒有有考考慮慮晶晶格格正正離離子子的的周周期期性性勢勢場場，即即認認為為所所有有金金屬屬的

2、的結結構構都都相相同同，只只是是電電子子數數密密度度n n不不同同。這這個個局局限限在在第第七七章章討討論論。( (2 2) ) 沒沒有有考考慮慮電電子子之之間間的的相相互互作作用用。這這個個局局限限在在本本節(jié)節(jié)和和下下一一節(jié)節(jié)討討論論。 當當然然，第第七七章章中中精精確確求求解解金金屬屬中中電電子子系系統(tǒng)統(tǒng)的的薛薛定定諤諤方方程程時時，必必 須須更更仔仔細細地地考考慮慮電電子子之之間間的的相相互互作作用用。當當考考慮慮了了電電子子之之間間的的相相互互作作用用后后，系系統(tǒng)統(tǒng)就就不不再再是是理理想想自自由由電電子子氣氣了了，各各個個電電子子的的運運動動不不再再是是獨獨立立的的、而而是是相相互互關

3、關聯聯的的。本本節(jié)節(jié)用用下下述述“正正電電荷荷凝凝膠膠加加電電子子氣氣”模模型型討討論論電電子子系系統(tǒng)統(tǒng)： “金金屬屬被被簡簡化化為為含含 N N 個個正正電電荷荷和和 N N 個個電電子子的的中中性性系系統(tǒng)統(tǒng)。但但 N N 個個正正電電荷荷被被看看成成固固定定的的均均勻勻帶帶正正電電凝凝膠膠，充充滿滿電電子子所所在在的的全全空空間間，提提供供一一個個均均勻勻恒恒定定的的背背景景勢勢場場。N N 個個電電子子除除了了受受到到均均勻勻恒恒定定正正電電荷荷背背景景的的庫庫侖侖吸吸引引作作用用以以外外，電電子子之之間間還還存存在在相相互互庫庫侖侖排排斥斥作作用用。電電子子服服從從量量子子統(tǒng)統(tǒng)計計的的

4、費費密密- -狄狄喇喇克克分分布布。金金屬屬的的邊邊界界為為一一定定高高度度的的勢勢壘壘” 。電子之間的相互作用使各個電子的運動不再是獨立的。這意味著電子之間的相互作用使各個電子的運動不再是獨立的。這意味著我們不能再求解單電子薛定諤方程，而必需求解整個電子氣系統(tǒng)的多我們不能再求解單電子薛定諤方程，而必需求解整個電子氣系統(tǒng)的多電子薛定諤方程電子薛定諤方程（取均勻恒定正電荷背景庫侖勢為零） ：（取均勻恒定正電荷背景庫侖勢為零） ： ),(),(|81)2(21212221NNjiNjioiNiXXXEXXXrrem上式中上式中 X Xi i代表了第代表了第 i i 個電子的空間坐標和自旋。哈密頓中

5、電子之間的個電子的空間坐標和自旋。哈密頓中電子之間的庫侖相互作用項是所有麻煩的根源，至今仍困擾著物理學家們。一個庫侖相互作用項是所有麻煩的根源，至今仍困擾著物理學家們。一個直接后果是，該項耦合了所有直接后果是，該項耦合了所有 N N 個電子的坐標，使方程無法分離變量，個電子的坐標，使方程無法分離變量，因而也無法求解。因而也無法求解。 以下我們不從波函數著手，而從電子數密度著手討論，因為等離以下我們不從波函數著手，而從電子數密度著手討論，因為等離子體振蕩實際上是電荷密度的起伏。所用工具不是量子力學的，而是子體振蕩實際上是電荷密度的起伏。所用工具不是量子力學的，而是電動力學的。電動力學的。一一 等

6、離子體振蕩等離子體振蕩1 1沒有振蕩的平衡態(tài)沒有振蕩的平衡態(tài)設設 n n 是電子的平均數密度，則電子平均電荷密度是電子的平均數密度，則電子平均電荷密度 o o = - en = - en，正電荷的電荷密度正電荷的電荷密度 o o+ + = en = en。假定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時沒有振蕩，。假定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時沒有振蕩，則電子電荷密度等于平均電荷密度則電子電荷密度等于平均電荷密度o o，系統(tǒng)內處處保持電中性，系統(tǒng)內處處保持電中性，沒有電場、磁場，從電磁學觀點看就好像真空一樣。沒有電場、磁場，從電磁學觀點看就好像真空一樣。2 2電子氣集體運動狀態(tài)電子氣集體運動狀態(tài)（1 1） 等離子體振蕩：設想由

7、于某種原因引起電子密度漲落。在某一等離子體振蕩：設想由于某種原因引起電子密度漲落。在某一微小區(qū)域電子密度低于平均密度，該微小區(qū)域的正電荷背景就會吸引微小區(qū)域電子密度低于平均密度，該微小區(qū)域的正電荷背景就會吸引周圍的電子，若補充而來的電子數太多了，電子間的庫侖排斥作用會周圍的電子，若補充而來的電子數太多了，電子間的庫侖排斥作用會驅使電子再離開該處。這樣形成電子密度有節(jié)奏的起伏，就是等離子驅使電子再離開該處。這樣形成電子密度有節(jié)奏的起伏，就是等離子體振蕩。體振蕩。（2 2）電子密度起伏運動所滿足的方程）電子密度起伏運動所滿足的方程令電子電荷密度為令電子電荷密度為 (r,t)(r,t)，電荷密度起伏

8、為電荷密度起伏為 - -o o （某一微小區(qū)域內的凈電荷） ，（某一微小區(qū)域內的凈電荷） ，與此電荷密度起伏對應的電場與此電荷密度起伏對應的電場 E E 由泊松方程確定：由泊松方程確定：)(1ooE - - - (1) - - - (1)在此電場作用下，不考慮散射阻力，電子運動方程為在此電場作用下，不考慮散射阻力，電子運動方程為 Eedtvdm - - - (2) - - - (2)另外，空間任一點滿足電荷守衡定律另外，空間任一點滿足電荷守衡定律0)(vt - - - (3) - - - (3) 聯立解以上三個方程，即得系統(tǒng)電子密度聯立解以上三個方程，即得系統(tǒng)電子密度(r,t)(r,t)。（3

9、 3）微微小小電電子子密密度度起起伏伏考考慮慮 - -o o o o 的的情情況況，公公式式（3 3）可可近近似似寫寫成成)(vto - - - - - - ( (4 4) )兩兩邊邊對對時時間間求求導導，并并利利用用公公式式（1 1）和和（2 2） ：tvvttoo)(22)()(ooooomeEmeEme)(2oomne - - - - - - ( (5 5) ) 上上式式又又可可寫寫成成 0)()(222oPot - - - - - - ( (6 6) ) 其其中中等等離離子子體體振振蕩蕩頻頻率率 mneoP22 - - - - - - ( (7 7) )方程方程（6 6）的解可設為）的

10、解可設為 )(exptrqiAPqo - - - (8) - - - (8) 更普遍的解應寫為更普遍的解應寫為 )(exptqrqiAqqo - - - (9) - - - (9)由于方程由于方程（6 6）是近似公式）是近似公式（4 4）的結果，沒有對的梯度，）的結果，沒有對的梯度，把把（9 9）式代入）式代入（6 6）不能得到）不能得到 q q 色散關系。色散關系。詳細的理論計算是詳細的理論計算是 D.Pines D.Pines 和博姆完成的，得到色散關系和博姆完成的，得到色散關系 222253)(qvqFP - - - - - - （1010） v vF F是費密速度。是費密速度。（4 4

11、） 討論討論等離子體振蕩頻率等離子體振蕩頻率 P P 10 101616 s s-1-1 ，而電導過程的弛豫時間而電導過程的弛豫時間 10 10-12-12 s s ，所以，所以 P P 1 1說明前面略去阻尼力是合理的，同時也表明等離子體振蕩是在沒說明前面略去阻尼力是合理的，同時也表明等離子體振蕩是在沒有碰撞情況下存在的一種電子集體運動。有碰撞情況下存在的一種電子集體運動。由于等離子體振蕩是一種密度起伏振蕩，只能是縱波。由于等離子體振蕩是一種密度起伏振蕩，只能是縱波。二二 等離體子等離體子（plasmonplasmon）1. 1. 若對電荷密度起伏的解若對電荷密度起伏的解（9 9）進行二次量

12、子化，可得到熟悉的簡諧）進行二次量子化，可得到熟悉的簡諧振子能量解振子能量解 PnE)21( 等離子體振蕩的能量量子等離子體振蕩的能量量子 P稱為等離體子稱為等離體子（plasmonplasmon） 。像聲子一樣，） 。像聲子一樣，等離體子是一種準粒子，有能量、動量，是玻色粒子，服從玻色統(tǒng)計等離體子是一種準粒子，有能量、動量，是玻色粒子，服從玻色統(tǒng)計分布。分布。請注意：聲子和等離體子都是準粒子，或稱元激發(fā)。它們實際上是代請注意：聲子和等離體子都是準粒子，或稱元激發(fā)。它們實際上是代表系統(tǒng)某種集體運動形態(tài)的量子。因此離開這系統(tǒng)，這些量子就失去表系統(tǒng)某種集體運動形態(tài)的量子。因此離開這系統(tǒng)，這些量子就

13、失去存在的根基。存在的根基。2. 2. 常溫下的等離子體振蕩常溫下的等離子體振蕩對于金屬，對于金屬，P大約在大約在 5 5 30 eV 30 eV 之間之間（很大） 。（很大） 。因因 1 K 1 K 10 10-4-4 eV eV，故常溫下很難激發(fā)等離子體振蕩，故常溫下很難激發(fā)等離子體振蕩（n = 0n = 0） 。） 。但存在量子力學的零點振蕩能但存在量子力學的零點振蕩能 P21，因此常溫時金屬中的電子氣處，因此常溫時金屬中的電子氣處在零點振蕩的狀態(tài)，存在電荷密度的零點起伏。在零點振蕩的狀態(tài)，存在電荷密度的零點起伏。原因：這種集體運動來自電子間庫侖作用的長程部分，使電子之間在原因：這種集體

14、運動來自電子間庫侖作用的長程部分，使電子之間在長距離范圍相互關聯，形成縱向長波振動。長距離范圍相互關聯，形成縱向長波振動。3. 3. 等離體子的實驗測量等離體子的實驗測量 p 131-132 p 131-132 圖圖 6.166.16三庫侖屏蔽勢和準電子三庫侖屏蔽勢和準電子電子之間的庫侖相互作用使電子的運動情況變得十分復雜。除了電子之間的庫侖相互作用使電子的運動情況變得十分復雜。除了等離子體振蕩這種電子集體運動形式外，每個電子的運動也變成準電等離子體振蕩這種電子集體運動形式外，每個電子的運動也變成準電子運動形式。子運動形式。1. 1. 短程的庫侖屏蔽勢短程的庫侖屏蔽勢電荷之間的庫侖相互作用原本

15、是長程勢，但在等離子體中，由于電荷之間的庫侖相互作用原本是長程勢，但在等離子體中，由于高密度電子的迅速流動和重新分布，會在一個電荷周圍產生屏蔽，使高密度電子的迅速流動和重新分布，會在一個電荷周圍產生屏蔽，使該電荷的庫侖勢變成短程的。該電荷的庫侖勢變成短程的。以一個正點電荷以一個正點電荷 e eo o為例。我們知道，為例。我們知道，e eo o在真空中產生的庫侖勢是在真空中產生的庫侖勢是reoo41?，F在討論這個正點電荷。現在討論這個正點電荷 e eo o在等離子體中產生的庫侖勢是什么在等離子體中產生的庫侖勢是什么樣的。以下討論中假定等離子體沒有振蕩樣的。以下討論中假定等離子體沒有振蕩（也沒有零

16、點振蕩） 。（也沒有零點振蕩） 。假定等離子體原本處于沒有振蕩的平衡態(tài)，空間每一處的正電荷假定等離子體原本處于沒有振蕩的平衡態(tài)，空間每一處的正電荷密度等于電子電荷密度，因此就像在真空中那樣空間處處都是電中性。密度等于電子電荷密度，因此就像在真空中那樣空間處處都是電中性?，F在在原點處放入正點電荷現在在原點處放入正點電荷 e eo o（固定不動） ，則等離子體中的電子要重（固定不動） ，則等離子體中的電子要重新分布，同時形成了勢新分布，同時形成了勢(r)(r)。設系統(tǒng)重新穩(wěn)定后。設系統(tǒng)重新穩(wěn)定后（沒有振蕩）的電子（沒有振蕩）的電子密度為密度為 dEEgreEfrn)()()( - - - (11)

17、 - - - (11)這里這里 f f 是分布函數，是分布函數，g(E)g(E)是能態(tài)密度是能態(tài)密度當當 e e(r)(r)為小量時，分布函數偏離不大，可在能量為小量時，分布函數偏離不大，可在能量 E E 處展開處展開 )()()()()()(reEEEfreEfEfreEfF所以所以 dEEgreEEEfrnF)()()()()( )()(FoEgren其中其中 n no o是原來系統(tǒng)平衡時的均勻電子密度，它與均勻恒定正電荷背景是原來系統(tǒng)平衡時的均勻電子密度，它與均勻恒定正電荷背景抵消，不產生電場和電位勢。抵消，不產生電場和電位勢。因因此此電電子子電電荷荷密密度度的的變變化化 )()()(2

18、FoEgrenrne - - - - - - ( (1 12 2) )位位于于原原點點的的正正點點電電荷荷 e eo o、電電子子電電荷荷密密度度的的變變化化和和勢勢滿滿足足泊泊松松方方程程 )()()(1)(1)(22rEgererrFooo - - - - ( (1 13 3) )作作傅傅立立葉葉展展開開 )exp()()2(1)(3rq iqqdr - - - - - - ( (1 14 4) ) )exp()2(1)(3rq iqdr - - - - - - ( (1 15 5) )代入泊松方程代入泊松方程（1313） qdrq iqEgeerq iqqdFoo)exp()()()2(

19、1)exp()()2(12323 0)exp()()()()2(1223qdrq iqEgeeqqFoo 所以所以 0)()()(22qEgeeqqFoo )/ )()()(2222oFooFooEgeqeEgeqeq )(22cooqqe - - - (16) - - - (16) 其中其中 22222)(FoFocmkeEgeq - - - (17) - - - (17) 這里能態(tài)密度采用了這里能態(tài)密度采用了“量子力學的理想自由電子氣模型”的“量子力學的理想自由電子氣模型”的 結果結果 222223)2/()3/(2323)(FFFFFmkmkkEnEg把把（1616）代入）代入（1414

20、）式，）式， qdrq iqqercoo)exp()()2(1)(223 取取 r r 沿沿 z z 方向方向 dqddqiqrqqecoosin)cosexp(1)2(22200203 dqqiqriqrqqecoo202202)cosexp(114 dqeeiqqqreiqriqrcoo142202 dqqqqrqrecoo2202)sin(2 )exp(222rqrecoo 所以所以 )exp(41)(rqrercoo - - - (18) - - - (18)2. 2. 討論：討論： 公式公式（1818）表明，正點電荷）表明，正點電荷 e eo o在等離子體中產生的庫侖勢是按指在等離子

21、體中產生的庫侖勢是按指數數 exp(-q exp(-qc cr)r)的形式衰減。勢的形式衰減。勢(r)(r)衰減的原因是電子氣對位于原點處衰減的原因是電子氣對位于原點處的正電荷的正電荷 e eo o的屏蔽作用。公式中的屏蔽作用。公式中 reoo41 代表沒有屏蔽作用時，正電代表沒有屏蔽作用時，正電荷荷 e eo o產生的庫侖勢，而產生的庫侖勢，而 )exp(41rqrecoo 代表有屏蔽作用時的庫侖勢。代表有屏蔽作用時的庫侖勢。通常定義通常定義 cq1 為屏蔽長度，對于金屬為屏蔽長度，對于金屬 10 10-10-10 m m，大約與原子，大約與原子間距相當。因此正點電荷間距相當。因此正點電荷

22、e eo o在等離子體中時，對距離外的電子已近在等離子體中時，對距離外的電子已近似無直接庫侖作用，從這個意義上說，原本長程的裸庫侖相互作用變似無直接庫侖作用，從這個意義上說，原本長程的裸庫侖相互作用變成了短程的或屏蔽的庫侖相互作用。成了短程的或屏蔽的庫侖相互作用。3. 3. 準電子準電子 現在把正點電荷現在把正點電荷 e eo o換成電子，則上述結論同樣成立。公換成電子，則上述結論同樣成立。公式（式（1818）表明，每個電子周圍附加了一個半徑約為（）表明，每個電子周圍附加了一個半徑約為（cq1）的正電屏蔽層。也就是說，由于庫侖相互作用的關聯效應，的正電屏蔽層。也就是說，由于庫侖相互作用的關聯效

23、應，電子將排開臨近的電子，形成隨電子運動的正的屏蔽電荷云。電子將排開臨近的電子，形成隨電子運動的正的屏蔽電荷云。這時電子的運動已經和多電子系統(tǒng)分不開了，只能認為是多這時電子的運動已經和多電子系統(tǒng)分不開了，只能認為是多電子系統(tǒng)中的準電子。準電子是費密子，遵從費密電子系統(tǒng)中的準電子。準電子是費密子，遵從費密狄喇克狄喇克統(tǒng)計。統(tǒng)計。 由于二個電子的最近距離由于二個電子的最近距離 cq1，因此等離子體的最，因此等離子體的最小波長小波長 ，所以，所以 q qc c 是等離子體振蕩的是等離子體振蕩的最大波矢值。最大波矢值。 4 4. . 電電子子集集體體運運動動的的物物理理圖圖象象在在實實際際情情況況中中

24、，電電子子將將排排開開臨臨近近的的電電子子，而而由由于于電電子子離離開開時時，總總是是沖沖過過了了平平衡衡位位置置，又又被被電電子子周周圍圍的的正正的的屏屏蔽蔽電電荷荷云云拉拉回回，于于是是電電子子往往復復地地振振動動。另另外外，電電子子氣氣還還有有零零點點振振蕩蕩能能。所所以以，電電子子氣氣的的振振蕩蕩與與電電子子的的屏屏蔽蔽作作用用總總是是密密切切地地聯聯系系著著的的。電電子子氣氣中中的的勢勢場場可可以以看看成成是是公公式式（1 1）確確定定的的與與電電荷荷密密度度起起伏伏對對應應的的變變化化電電場場 E E 和和公公式式（1 18 8）確確定定的的隨隨電電子子運運動動的的勢勢場場( (r

25、 r) )的的疊疊加加。把把等等離離體體子子和和準準電電子子理理解解為為相相互互作作用用電電子子系系統(tǒng)統(tǒng)集集體體效效應應的的兩兩個個方方面面。四四單粒子激發(fā)單粒子激發(fā)金屬電子氣中除了有集體運動的激發(fā)外，還有單粒子激發(fā)。金屬電子氣中除了有集體運動的激發(fā)外，還有單粒子激發(fā)。電子氣的基態(tài)：費密球內所有狀態(tài)被電子占滿，費密球外的狀態(tài)是電子氣的基態(tài)：費密球內所有狀態(tài)被電子占滿，費密球外的狀態(tài)是 空的?？盏摹ｋ娮託饧ぐl(fā)態(tài)：費密球內電子氣激發(fā)態(tài)：費密球內 k k 狀態(tài)電子激發(fā)到球外狀態(tài)電子激發(fā)到球外 k+q k+q 的空狀態(tài)，產的空狀態(tài)，產 生一個電子生一個電子- -空穴對：球內一個空穴對：球內一個 k k

26、 空穴，球外一個空穴，球外一個 k+qk+q 電子。電子。激發(fā)所需能量：激發(fā)所需能量： )2(222)(222222qkqmmkmqkE - (19) - (19) 由球內空穴由球內空穴 Fkk 球外電子球外電子 Fkqk|在在 q q q qc c的長波區(qū)域，等離體子的能量的長波區(qū)域，等離體子的能量 P大于電子大于電子 - -空穴對個別激空穴對個別激發(fā)能量發(fā)能量 E Emaxmax，個別電子，個別電子- -空穴對激發(fā)不可能產生等離體子，集體激發(fā)也空穴對激發(fā)不可能產生等離體子，集體激發(fā)也不能衰變成為個別電子不能衰變成為個別電子- -空穴對。等離子體振蕩是一種穩(wěn)定的集體運動空穴對。等離子體振蕩是

27、一種穩(wěn)定的集體運動狀態(tài)。狀態(tài)。在在 q q q qc c的短波區(qū)域，等離子體振蕩的波長太短，不穩(wěn)定。這時只有的短波區(qū)域，等離子體振蕩的波長太短，不穩(wěn)定。這時只有個別電子個別電子- -空穴對激發(fā)存在?？昭▽ぐl(fā)存在。以下估計單位體積中等離體子的模式總數以下估計單位體積中等離體子的模式總數 N Np p。 在波矢空間，等離體子的波矢是處在半徑為在波矢空間，等離體子的波矢是處在半徑為 q qc c的球內，的球內，q qc c由公由公 式式（1717）給出）給出 22222)(FoFocmkeEgeq 模式總數為模式總數為 23336)34(81ccPqqN - - - (22) - - - (22)

28、 單位體積電子氣的自由度總數為單位體積電子氣的自由度總數為 233Fkn ，因此，因此 3323236/6/3FcFcPkqkqnN - - - (23) - - - (23)6 6. .6 6 維維格格納納晶晶格格1 1. . 屏屏蔽蔽程程度度的的強強弱弱由由上上節(jié)節(jié)的的公公式式（1 17 7） 22222)(FoFocmkeEgeq 公公式式（1 18 8） )exp(41)(rqrercoo 及及6 6. .1 1 節(jié)節(jié)的的公公式式 3/12)3(nkF 在在“正正電電荷荷凝凝膠膠加加電電子子氣氣”模模型型中中，電電子子間間的的互互作作用用是是屏屏蔽蔽的的庫庫侖侖作作用用( (r r)

29、)，屏屏蔽蔽效效應應的的程程度度由由 q qc c2 2 來來量量度度。電電子子密密度度高高，k kF F值值大大，q qc c2 2也也大大，屏屏蔽蔽長長度度 cq1 小小，屏屏蔽蔽效效應應強強。在在低低密密度度的的電電子子氣氣中中，費費密密球球半半徑徑小小，屏屏蔽蔽效效應應很很弱弱，電電子子間間庫庫侖侖作作用用仍仍是是長長程程的的，同同時時系系統(tǒng)統(tǒng)中中電電子子的的平平均均動動能能FEE53小小。2 2維格納晶格的物理圖象維格納晶格的物理圖象 當電子氣密度足夠低時，電子平均動能將小于均勻恒定正電荷背當電子氣密度足夠低時，電子平均動能將小于均勻恒定正電荷背景對電子的庫侖吸引勢，電子將不能自由運

30、動，即電子氣將發(fā)生景對電子的庫侖吸引勢，電子將不能自由運動，即電子氣將發(fā)生“凝“凝結” 。凝結的電子氣的分布將趨于使系統(tǒng)的總能量最低，即使電子間的結” 。凝結的電子氣的分布將趨于使系統(tǒng)的總能量最低，即使電子間的庫侖排斥能最小。電子系統(tǒng)將在均勻正電荷背景中形成電子晶格。這庫侖排斥能最小。電子系統(tǒng)將在均勻正電荷背景中形成電子晶格。這就是維格納晶格。就是維格納晶格。 取取 r ro o = r = rs sa aB B，a aB B為玻爾半徑，為玻爾半徑，r rs s是無量綱系數是無量綱系數（1 1）電子的平均動能）電子的平均動能 3/23223/22222)433(103)3(10325353oFFermnmmkEE 223/2223/2211)49(1031)49(103sBoramrm RyrRyrss223/221. 21)49(1023 - - - (2) - - - (2)（2 2） 球內均勻正電荷與位于球心的電子的互作用能球內均勻正電荷與位于球心的電子的互作用能 drddrrererdreEorooosin344141230020 sBoooroooraererdrre1183834322032 Ryrs3 - - - (3) - - - (3)（3 3