數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)總結(jié)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)總結(jié)數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)總結(jié)22為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，稱的一個(gè)近似值，稱 *x*)(xxxe*x絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字若若 *)(xxxe*x 的的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限，簡稱，簡稱誤差限誤差限.通常稱通常稱為近似值為近似值定義定義2 設(shè)設(shè)*x)(*xer xxxxxexer*(1-3)記為記為 即即準(zhǔn)確值之比為近似值準(zhǔn)確值之比為近似值*x為近似值為近似值的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差，簡稱，簡稱誤差誤差.(1-1)稱絕對(duì)誤差與稱絕對(duì)誤差與為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值 x 的近似值，的近似值，的相對(duì)誤差，的相對(duì)誤差，(1-2)定義定義1 1 設(shè)設(shè)

2、第2頁/共87頁3由于在計(jì)算過程中準(zhǔn)確值由于在計(jì)算過程中準(zhǔn)確值 x 總是未知的，總是未知的， *xxxxxexer絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字故一般取相對(duì)誤差為故一般取相對(duì)誤差為 則稱則稱 為為 的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限.rrrxxexe*r*x使得使得(1-4)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)第3頁/共87頁4如果近似值如果近似值 *xn1021*x準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第n位位,并從第一個(gè)非零數(shù)字到并從第一個(gè)非零數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱為這一位的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字有效數(shù)字.絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字 有效數(shù)字有效數(shù)字的誤差限是

3、的誤差限是則稱則稱*.x 1 4144142136. 1*x取前八位數(shù)得近似值取前八位數(shù)得近似值 例如，例如，.,x 21 414213562取前四位數(shù)得取前四位數(shù)得.,3121 4141021.414有有4位有效數(shù)字位有效數(shù)字.7121 41421361021.4142136有有8位有效數(shù)字位有效數(shù)字.第4頁/共87頁55*xmnaaax10. 021*(1-5), 2 , 1, 01iaai 一般地，如果近似值一般地，如果近似值其中其中m為整數(shù)，為整數(shù)， 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字為為0 0到到9 9之間的整數(shù)之間的整數(shù). . nmxx1021*如果如果(1-

4、6)則稱近似值則稱近似值*x有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字.*.x 11 4140 1414 10例如例如.31 41121 414101022有有4位有效數(shù)字位有效數(shù)字.故故*.x 1 414的規(guī)格化形式為的規(guī)格化形式為第5頁/共87頁66絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字若若x的近似值的近似值,10. 021*mnaaax111021na至少具有至少具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字.*xr1110121nra*x)0(1a有有n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字， 則則誤差限誤差限. 反之，反之，的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差定理定理1.11.1為其相對(duì)為其相對(duì)滿足滿足若若則則第6頁/共87頁77(

5、1-12)(1-11)(1-13) 22121211212121)()()(xexxxxexxxxxexexexxerrr 2121211221xexexxexexxexxxerrr1112222211221rrrxxee xe xxxxxeexexx 數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播 第7頁/共87頁8例例設(shè)近似數(shù)設(shè)近似數(shù)1.557a 31( )102e a( )( )re aeaa是某真值是某真值 x 經(jīng)四舍五入經(jīng)四舍五入所得所得,試求其絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限試求其絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限.解解由于由于a經(jīng)四舍五入得到經(jīng)四舍五入得到,故故311021.57743.170577 108

6、第8頁/共87頁99411()10 ,2e x126.1025,80.115xx121 2,xxx x例例1:2, 求求數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播 1.經(jīng)四舍五入得經(jīng)四舍五入得試問它們有幾位有效數(shù)字？試問它們有幾位有效數(shù)字？的絕對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限.解解故故12,xx分別具有分別具有5位有效數(shù)字位有效數(shù)字1212()()()e xxe xe x12()()e xe x431110100.0005522321()10 ,2e x1221122112()()()()()e x xx e xx e xxe xx e x431180.115106.102510220.007057第9頁/

7、共87頁1010數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播 例例2:2:要使要使6的近似值的相對(duì)誤差限小于的近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%,應(yīng)取應(yīng)取取幾位有效數(shù)字取幾位有效數(shù)字解解: :263,6的首位數(shù)是的首位數(shù)是2,12a 設(shè)近似數(shù)設(shè)近似數(shù)*x有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字,只須取只須取n使使111100.1%2na 即即11100.1%22n 1100.4%,n 取取n=4,即取即取4位有效數(shù)字位有效數(shù)字,近似值的相對(duì)誤差限小于近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%.1010,0.4%n10lg3.39790.4%n 第10頁/共87頁11數(shù)值計(jì)算中的一些原則數(shù)值計(jì)算中的一些原則1.1.避免兩個(gè)相近的

8、數(shù)相減避免兩個(gè)相近的數(shù)相減2.2.避免大數(shù)避免大數(shù)“吃吃”小數(shù)的現(xiàn)象小數(shù)的現(xiàn)象3.3.避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值4.4.要簡化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率要簡化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率5. 要有數(shù)值穩(wěn)定性要有數(shù)值穩(wěn)定性,即能控制舍入誤差的傳播即能控制舍入誤差的傳播例如例如 為提高數(shù)值計(jì)算精度為提高數(shù)值計(jì)算精度, 當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)x充分大時(shí)充分大時(shí),應(yīng)將應(yīng)將2121xx( 2121)( 2121)2121xxxxxx 22121xx 改寫為改寫為22121xx11第11頁/共87頁12例例 如何計(jì)算下列函數(shù)值才比較精確如何計(jì)算下列函數(shù)值才比較精確(1

9、)11121xx1x 11121(12 )(1)xxxxx對(duì)對(duì)解解 (1) 要使計(jì)算準(zhǔn)確要使計(jì)算準(zhǔn)確, 應(yīng)避免兩個(gè)相近的數(shù)相減應(yīng)避免兩個(gè)相近的數(shù)相減(2)11xxxx對(duì)對(duì)1x (2) 要使計(jì)算準(zhǔn)確要使計(jì)算準(zhǔn)確, 應(yīng)避免兩個(gè)相近的數(shù)相減應(yīng)避免兩個(gè)相近的數(shù)相減故變換所給公式故變換所給公式故變換所給公式故變換所給公式1111()()1111xxxxxxxxxxxxxxxx211xxxxx12第12頁/共87頁13已知函數(shù)已知函數(shù) y = f(x) 在在 a, b 上有定義，且已經(jīng)測(cè)得在點(diǎn)上有定義，且已經(jīng)測(cè)得在點(diǎn) a x0 x1 xn b 處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為 y0 = f(x0)， ，yn =

10、f(xn)如果存在一個(gè)如果存在一個(gè)簡單易算簡單易算的函數(shù)的函數(shù) P(x)，使得，使得 P(xi) = f(xi)，i = 1, 2, . , n則稱則稱 P(x) 為為 f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)插值區(qū)間插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)求插值函數(shù) P(x) 的方法就稱為的方法就稱為插值法插值法插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)無需遞無需遞增排列增排列，但必須，但必須確保確?；ゲ幌嗤ゲ幌嗤〔逯禇l件插值條件第13頁/共87頁14基函數(shù)法通過基通過基函數(shù)來構(gòu)造函數(shù)來構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法插值多項(xiàng)式的方法就就稱為稱為基函數(shù)基函數(shù)插值插值法法Zn(x) = 次數(shù)不超過次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式的全體的多項(xiàng)式的全體記

11、記n+1 維線性空間維線性空間設(shè)設(shè) z0(x), z1(x), . , zn(x) 構(gòu)成構(gòu)成 Zn(x) 的一組基，則插值多項(xiàng)式的一組基，則插值多項(xiàng)式P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + + anzn(x)尋找合適的基函數(shù)尋找合適的基函數(shù) 確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)基函數(shù)法基本步驟基函數(shù)法基本步驟第14頁/共87頁15Lagrange插值基函數(shù)設(shè)設(shè) lk(x) 是是 n 次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn)次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn) x0 , x1 , , xn 上滿足上滿足1,()0,kjjklxjk 則稱則稱 lk(x) 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) x0 , x1 ,

12、 , xn 上的上的拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)第15頁/共87頁16兩種特殊情形 n=10110 01 1010110( )( )( )xxxxL xy lxy l xyyxxxx 線性插值多項(xiàng)式（一次插值多項(xiàng)式）線性插值多項(xiàng)式（一次插值多項(xiàng)式）n=2020112012010210122021()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyxxxxxxxxxxxx 拋物線插值多項(xiàng)式（二次插值多項(xiàng)式）拋物線插值多項(xiàng)式（二次插值多項(xiàng)式）2( )Lx第16頁/共87頁17例：例：已知函數(shù)已知函數(shù) y = lnx 的函數(shù)值如下的函數(shù)值如下解解：x0.40.50.

13、60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試分別用試分別用線性插值線性插值和和拋物線插值拋物線插值計(jì)算計(jì)算 ln 0.54 的近似值的近似值線性插值線性插值：取取 x0=0.5, x1=0.6 得得將將 x=0.54 代入可得：代入可得：011010110( )0.18231.6046xxxxL xyyxxxxx ln 0.54 L1(0.54) =-0.6202為了減小截?cái)嗾`差，通常選取插值點(diǎn)為了減小截?cái)嗾`差，通常選取插值點(diǎn) x 鄰接的插值節(jié)點(diǎn)鄰接的插值節(jié)點(diǎn)第17頁/共87頁18拋物線插值拋物線插值：取取 x0=0.4, x1=0.5, x2=

14、0.6, 可得可得ln 0.54 L2(0.54) =-0.6153 ln 0.54 的精確值為：的精確值為：-0.616186可見，拋物線插值的精度比線性插值要高可見，拋物線插值的精度比線性插值要高Lagrange插值多項(xiàng)式簡單方便，只要取定節(jié)點(diǎn)就可寫插值多項(xiàng)式簡單方便，只要取定節(jié)點(diǎn)就可寫出基函數(shù)，進(jìn)而得到插值多項(xiàng)式，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。出基函數(shù)，進(jìn)而得到插值多項(xiàng)式，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。第18頁/共87頁19l0(x) , l1(x) , , ln(x) 構(gòu)成構(gòu)成 Zn(x) 的一組的一組基基性質(zhì)性質(zhì)注意注意l0(x) , l1(x) , , ln(x) 與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，但與函數(shù)但與

15、函數(shù) f(x) 無關(guān)無關(guān)lk(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式0110111,()()( ) ()()()()()()kknkkkknjjj kkknjkkxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxxx 由構(gòu)造法可得由構(gòu)造法可得第19頁/共87頁20如何估計(jì)誤差 )()()(xLxfxRnn 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)定理定理設(shè)設(shè) f(x) Cna, b ( n 階連續(xù)可微階連續(xù)可微 )，且，且 f (n+1)(x)在在 (a, b) 內(nèi)存在，則對(duì)內(nèi)存在，則對(duì) x a,b，有，有(1)1()( )( )( )( )(1)!nxnnnfRxf xLxxn 其中其中 x (a, b) 且與且與 x 有關(guān)有關(guān),101(

16、)()()()nnxxxxxxx 第20頁/共87頁21l 余項(xiàng)公式只有當(dāng)余項(xiàng)公式只有當(dāng) f(x) 的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用幾點(diǎn)說明 l 計(jì)算插值點(diǎn)計(jì)算插值點(diǎn) x 上的近似值時(shí)，應(yīng)選取與上的近似值時(shí)，應(yīng)選取與 x 相近插值節(jié)點(diǎn)相近插值節(jié)點(diǎn)10( ) (1)!nnniiMRxxxn 如果如果 ，則，則(1)1( )nnfxM l x 與與 x 有關(guān)，通常無法確定有關(guān)，通常無法確定, 實(shí)際使用中通常是估計(jì)其上界實(shí)際使用中通常是估計(jì)其上界第21頁/共87頁22例：例：已知函數(shù)已知函數(shù) y = lnx 的函數(shù)值如下的函數(shù)值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163

17、-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試估計(jì)試估計(jì)線性插值線性插值和和拋物線插值拋物線插值計(jì)算計(jì)算 ln 0.54 的誤差的誤差解解線性插值線性插值 (2)2( )4f (2)101( )( )()()2fR xxxxx 1(0.54)2(0.540.5)(0.540.6)0.0048Rx0=0.5, x1=0.6, (0.5, 0.6)第22頁/共87頁23為什么 Newton 插值Lagrange 插值簡單易用，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基插值簡單易用，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)函數(shù) lk(x) 都需重新計(jì)算，不太方便。都需重新計(jì)算，不太方便。設(shè)計(jì)一個(gè)可以逐次生成插

18、值多項(xiàng)式的算法，即設(shè)計(jì)一個(gè)可以逐次生成插值多項(xiàng)式的算法，即 n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式可以通過可以通過 n-1 次插值多項(xiàng)式生成次插值多項(xiàng)式生成 Newton 插值法插值法解決辦法解決辦法第23頁/共87頁24什么是差商設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)，節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn) x0 , , xn ()(),jiijjif xf xf x xxx f(x) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) xi , xj 的的一階差商一階差商,jkijijkkif xxf x xf x xxxx f(x) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) xi , xj , xk 的的二階差商二階差商101010,kkkkf xxf xxf xxxxx k 階差商階差商差商的一般定義差

19、商的一般定義第24頁/共87頁25l k 階差商與階差商與 k 階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：若若 f (x) 在在 a,b 上上 具有具有 k 階導(dǎo)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)階導(dǎo)數(shù)，則至少存在一點(diǎn) (a, b)，使得使得( )01( ),!kkff xxxk 第25頁/共87頁26如何巧妙地計(jì)算差商差商表差商表xi(xi)一階差商二階差商三階差商n 階差商x0 x1x2x3xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0, x1x1, x2x2, x3xn-1, xnx0, x1, x2x1, x2, x3xn-2, xn-1, xnx0, x1, x2, x3xn-3, xn-2, xn-1

20、, xnx0, x1, xn第26頁/共87頁27例：例：已知已知 y = (x) 的函數(shù)值表，的函數(shù)值表，試計(jì)算其各階差商試計(jì)算其各階差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：解：差商表如下差商表如下xi(xi)一階差商二階差商三階差商-2-112531721-2743-1-1第27頁/共87頁28 f (x) = Nn(x) + Rn(x) 10102011()()()( )()nniinaa xxaxxxxaxNxx 001 , . ,().()( )nnnnf x xxxRxxxxxx Nn(x) 是是 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Nn(xi) = f (xi)，i = 0, 1

21、, 2, , n重要性質(zhì)重要性質(zhì)Nn(x) 是是 f (x) 的的 n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式nixxfaxfaii, 2 , 1 , ),(000 其中其中第28頁/共87頁29Newton 插值多項(xiàng)式與 Lagrange 插值多項(xiàng)式f (x) 在在 x0 , x1 , , xn 上上的的 n 次插值多項(xiàng)式是唯一的！次插值多項(xiàng)式是唯一的！Nn(x) Ln(x)余項(xiàng)也相同余項(xiàng)也相同(1)000()()()(1)!nnnxniiiiff x,x , .,xxxxxn (1)0()(1) !nxnff x,x , . ,xn !)()(0kfx,.,xfkk 將將 x 看作節(jié)點(diǎn)看作節(jié)點(diǎn)第29頁/

22、共87頁30例：例：已知函數(shù)已知函數(shù) y = lnx 的函數(shù)值如下的函數(shù)值如下解解：取節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn) 0.5, 0.6, 0.4 作差商表作差商表試分別用試分別用牛頓牛頓線性插值和拋物線插值計(jì)算線性插值和拋物線插值計(jì)算 ln 0.54 的近似值的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163 -0.6931 -0.5108-0.3567-0.2231xi(xi)一階差商二階差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x) = -0.6931 + 1.8230(x-0.5)N1(0.54) = -0.6202N2(x) =

23、-0.6931 + 1.8230(x-0.5) - 2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54) = -0.6153ex25.m插值節(jié)點(diǎn)無需遞插值節(jié)點(diǎn)無需遞增排列，但必須增排列，但必須確?；ゲ幌嗤〈_?；ゲ幌嗤?！第30頁/共87頁31( )( ) dbaI ff xx l 微積分基本公式：微積分基本公式：baaFbFxxf)()(d)(3) f (x) 表達(dá)式未知表達(dá)式未知，只有通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表，只有通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表l 但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中(2) F(x) 難求！難求！甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。 如如21

24、( )sin , xf xxex (1) F(x) 表達(dá)式較復(fù)雜表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算較困難。如時(shí)，計(jì)算較困難。如61( )1f xx 第31頁/共87頁32數(shù)值積分公式的一般形式數(shù)值積分公式的一般形式0( )d()nbiiaif xxA f x 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)求積系數(shù)機(jī)械求積方法機(jī)械求積方法l 將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值函數(shù)值的計(jì)算的計(jì)算l 無需求原函數(shù)無需求原函數(shù)l 易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地，用一般地，用 f(x) 在在 a, b 上的一些離散點(diǎn)上的一些離散點(diǎn) a x0 x1 xn b 上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為

25、f ( ) 的近似值，可得的近似值，可得第32頁/共87頁33定義定義：如果對(duì)于所有次數(shù)不超過：如果對(duì)于所有次數(shù)不超過 m 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f (x) ，公式，公式精確成立，但對(duì)某個(gè)次數(shù)為精確成立，但對(duì)某個(gè)次數(shù)為 m +1 的多項(xiàng)式不精確成立，則稱的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有該求積公式具有 m 次代數(shù)精度次代數(shù)精度0( )d()nbiiaif xxA f x l 將將 f (x) = 1, x, x2, , xm 依次代入，公式精確成立依次代入，公式精確成立;l 但對(duì)但對(duì) f (x) = xm+1 不精確成立。即：不精確成立。即：22110 d2mmnbmmiiaibaA xxxm

26、 ( k = 0, 1, , m )代數(shù)精度的驗(yàn)證方法代數(shù)精度的驗(yàn)證方法110 d1kknbkkiiaibaA xxxk 第33頁/共87頁34例：例：試確定系數(shù)試確定系數(shù) Ai ，使得下面的求積公式具有盡可能高的使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。10121( )d ( 1)(0)(1)f xxA fA fA f 解：解：將將 f (x)1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得代入求積公式，使其精確成立，可得 1101222023302() /12 () / 20 () / 32/ 3AAAbaAAbaAAba

27、 解得解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求積公式為。所以求積公式為3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易驗(yàn)證該公式對(duì)易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)x3 也精確成立，但對(duì)也精確成立，但對(duì) f (x)x4 不精不精確成立，所以此求積公式具有確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。第34頁/共87頁35設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a x0 x1 xn b 若若 f (xi) 已知，則可做已知，則可做 n 次多項(xiàng)式插值：次多項(xiàng)式插值：0( ) ()nniiiLxl x f x 其中其中( ) dbiiaAl xx 插值型求積公式插值型求積公式00(

28、 )( ) d( )d d()()bniiannbbiiaaiif xxxf xfxxxAxLl 誤差：誤差： ( )( ) d( ) dbbnnaaR ff xL xxRxx (1)01( )( )()()()(1)!nnnfRxxxxxxxn 其中其中abAnkk 0第35頁/共87頁36基于等分點(diǎn)的插值型求積公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式l 積分區(qū)間：積分區(qū)間：a, bl 求積節(jié)點(diǎn)：求積節(jié)點(diǎn)： xi = a + i h bahn l 求積公式：求積公式：( )0( ) d()()nbniiaif xxbaCf x ( )( )1( ) dbnniiaClxxba 00 dnnkk iht

29、ktbaik xath 001( 1)() d!n innkk itktn ini Cotes 系數(shù)系數(shù)Newton-Cotes 求積公式求積公式( )( )nnin iCC(1)(2)( )01nniiC第36頁/共87頁3721,21)1(1)1(0 CCn = 1:( ) ( )( )2babaf x dxf aTf b 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1梯形公式梯形公式n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC2( ) ( )4 ()( )6ba babaf x dxf aff bS 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3拋物線公式拋物線公式Simpson公式公式n = 4:01234( )

30、7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf xC 科特斯科特斯 (Cotes) 公式公式4/ )( ,abhhiaxi代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5第37頁/共87頁38l 梯形公式梯形公式 (n=1) 的余項(xiàng)的余項(xiàng)31 ()( )12R fbaf ( , )a b l Simpson公式公式 (n=2) 的余項(xiàng)的余項(xiàng)4(4)1 ( )1802baR ff ( , )a b l Cotes 公式公式 (n=4) 的余項(xiàng)的余項(xiàng)6(6)8 ( )9454baR ff ( , )a b 第38頁/共87頁39q 提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法提高積分

31、計(jì)算精度的常用兩種方法l 用用 復(fù)合公式復(fù)合公式l 用用 非等距節(jié)點(diǎn)非等距節(jié)點(diǎn)l 將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間l 在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積公式在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積公式復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式第39頁/共87頁40l 將將 a, b 分成分成 n 等分等分 xi , xi+1 ，其中，其中(i = 0, 1, , n)nabhhiaxi ,復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 111100( ) d( ) d ()()2iinnbxiiaxiihf xxf xxf xf x 11( )2()( )2niinhf af xfTb l 余項(xiàng)余項(xiàng) 310()12

32、niihR ff 2( )12bah f ( , )a b 第40頁/共87頁41復(fù)合復(fù)合 Simpson 公式公式 11211100( ) d( ) d ()4 ()()6iinnbxbiiiaxaiihf xxf xxf xf xf x 121101( )4()2()( )6nniiinihf af xf xf bS l 余項(xiàng)余項(xiàng) 51(4)0()2880niihR ff 4(4)( )2880bah f ( , )a b 性質(zhì)性質(zhì)：復(fù)合梯形公式和復(fù)合：復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson 公式都是收斂公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。的，也都是穩(wěn)定的。 第41頁/共87頁42例例2 分別用復(fù)化梯

33、形公式與復(fù)化分別用復(fù)化梯形公式與復(fù)化Simpson公式公式計(jì)算積分計(jì)算積分10 xIe dx解解 (1)用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式, 截?cái)嗾`差為截?cái)嗾`差為復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式的近似值，為使截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過的近似值，為使截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過411022(),12TbaRfhfa b ,0,1kxfxeex至少應(yīng)將至少應(yīng)將0,1的多少等份的多少等份.2211212ThRhfe24210,67.312nen故取故取 n=681121 112en4110 ,2第42頁/共87頁43(2)若用復(fù)化若用復(fù)化Simpson公式，截?cái)嗾`差為公式，截?cái)嗾`差為復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 SRf baf

34、hab,18044 44180SbaRfh f 44210 ,180en故取故取 n=641 0180h e411180en4110 ,0,124.1688n 12第43頁/共87頁441( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x例例5 試確定求積公式試確定求積公式 kx)(xGaussGauss型求積公式型求積公式 具有具有 2n+1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度，Gauss型求積公式型求積公式.公式公式（7-42）稱為帶權(quán)函數(shù)稱為帶權(quán)函數(shù)為為Gauss點(diǎn)點(diǎn)，則稱這組節(jié)點(diǎn)則稱這組節(jié)點(diǎn)定義定義7.2如果一組節(jié)點(diǎn)如果一組節(jié)點(diǎn),21baxxxn能使求積公式能使求積公式（7-42）的的代數(shù)精

35、確度代數(shù)精確度，Gauss型求積公式型求積公式.它是否是它是否是18 4482 ( 2)(0)2 (2)3f x dxfff第44頁/共87頁45448dx 解解19由于當(dāng)由于當(dāng) 4482 ( 2)(0)2 (2)3f x dxfff82 1283 f x分別取分別取231, ,x xx有有440 xdx423444112833x dxx82202 203 2281282 ( 2)02 2 33 即求積公式精確成立即求積公式精確成立.而當(dāng)而當(dāng) 4f xx44544412048,55x dxx434444104x dxx3382 ( 2)02 (2) 03 4485122 ( 2)02 (2)

36、33 20485因此因此,求積公式的代數(shù)精度為求積公式的代數(shù)精度為3.它不是它不是Gauss型求積公式型求積公式.p22第45頁/共87頁461計(jì)算計(jì)算f (x)在有解區(qū)間在有解區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值端點(diǎn)處的值，f (a)，f (b)。2計(jì)算計(jì)算f (x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值在區(qū)間中點(diǎn)處的值f (x1)。3判斷若判斷若f (x1) = 0，則則x1即是根，否則檢驗(yàn)即是根，否則檢驗(yàn)：（1）若若f (x1)與與f (a)異號(hào)異號(hào)，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間a, x1， b1=x1, a1=a;（2）若若f (x1)與與f (a)同號(hào)同號(hào)，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間x1, b， a1=x1, b1=

37、b。反復(fù)執(zhí)行步驟反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間便可得到一系列有根區(qū)間：(a, b), (a1, b1), , (ak, bk), 區(qū)間對(duì)分法區(qū)間對(duì)分法（二分法）（二分法）第46頁/共87頁474、當(dāng)當(dāng)11kkab時(shí)時(shí))(211kkkbax5、則、則即為根的近似即為根的近似), 2 , 1()(211*1kabxxkk先驗(yàn)誤差估計(jì)：先驗(yàn)誤差估計(jì)：理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)：定理定理1：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù)，如果如果f (a) f (b) 0， 則方程則方程 f (x) = 0 在在a, b內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有一實(shí)根x*。 第47頁/共87頁485310

38、 xx 對(duì)分區(qū)間法對(duì)分區(qū)間法在在0, 0.5內(nèi)的根內(nèi)的根,要求誤差不超過要求誤差不超過例例6 6 試用對(duì)分區(qū)間法求方程試用對(duì)分區(qū)間法求方程2110 .2解解 令令5( )31f xxx則則(0)10,(0.5)0.5310ff 4( )530,fxx故在故在0,0.5內(nèi)內(nèi)5( )310f xxx 有唯一實(shí)根有唯一實(shí)根.為達(dá)到要求為達(dá)到要求()ln1ln2ban即即2(0.50)ln11021ln2n取取6n 計(jì)算結(jié)果見下表。計(jì)算結(jié)果見下表。202ln1015.64ln2 第48頁/共87頁49-0.2490230.1324158-0.05951970.0360497-0.01182140.01

39、2091010.000129230.250.3750.31250.343750.3281250.33593750.332031250.50.50.3750.3750.343750.343750.335937500.250.250.31250.31250.3281250.3281250123456nnanbnx)(nxf對(duì)分區(qū)間法對(duì)分區(qū)間法5( )31f xxx故故60.33203125x 即為符合精度要求的解即為符合精度要求的解.21第49頁/共87頁50q 基本思想l 構(gòu)造構(gòu)造 f (x) = 0 的一個(gè)等價(jià)方程：的一個(gè)等價(jià)方程： ( )xx (x) 的不動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)f (x) = 0 x

40、= (x)等價(jià)變換等價(jià)變換f (x) 的零點(diǎn)的零點(diǎn)第50頁/共87頁51q 具體過程l 任取一個(gè)迭代初始值任取一個(gè)迭代初始值 x0 ，計(jì)算，計(jì)算得到一個(gè)迭代序列：得到一個(gè)迭代序列： x0，x1，x2，. . . ，xn，. . . 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . 幾何含義：幾何含義：求曲線求曲線 y = (x) 與直線與直線 y = x 的交點(diǎn)的交點(diǎn)第51頁/共87頁52設(shè)設(shè) (x) 連續(xù)，若連續(xù)，若 收斂，即收斂，即 ，則，則 1limlim ()limkkkkkkxxx lim*kkxx 0kkx *( *)xx ( *)0f x 即即q 收斂性分析性質(zhì)：性質(zhì)：若若 ，則

41、不動(dòng)點(diǎn)迭代，則不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂收斂，且，且 x* 是是 f(x)=0 的解；否則迭代法的解；否則迭代法發(fā)散發(fā)散。lim*kkxx 第52頁/共87頁53定理定理：設(shè)設(shè) (x) Ca,b 且滿足且滿足證明：板書證明：板書(1)對(duì)任意的對(duì)任意的 x a,b 有有 (x) a,b(2)存在常數(shù)存在常數(shù) 0L1，使得任意的，使得任意的 x, y a,b 有有( )( )xyL xy則則 (x) 在在 a,b 上存在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)唯一的不動(dòng)點(diǎn) x*解的存在唯一性解的存在唯一性第53頁/共87頁54定理定理：設(shè)設(shè) (x) Ca,b 且滿足且滿足(1)對(duì)任意的對(duì)任意的 x a,b 有有 (x) a,b(2

42、)存在常數(shù)存在常數(shù) 0L1，使得任意的，使得任意的 x, y a,b 有有( )( )xyL xy則對(duì)任意初始值則對(duì)任意初始值 x0 a,b，不動(dòng)點(diǎn)迭代，不動(dòng)點(diǎn)迭代 xk+1= (xk) 收斂，且收斂，且不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性11011kkkkLLxxxxxxLL 第54頁/共87頁55不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性若若 (x) C1a,b 且對(duì)任意且對(duì)任意 x a,b 有有 | (x)| L1則上述定理中的結(jié)論成立。則上述定理中的結(jié)論成立。收斂性結(jié)論表明：收斂性結(jié)論表明：收斂性與初始值的選取無關(guān)收斂性與初始值的選取無關(guān)全局收斂全局收斂第55頁/共87頁56例：例：求求 f

43、(x) = x3 x 1=0 在區(qū)間在區(qū)間 1, 2 中的根中的根 3( )1xx 231( )(1)3xx 31( )0.2513x (1)1( )2x (1,2)x 3( )1xx 2( )3xx ( )1x (2)0( )7x (1,2)x ex71.m第56頁/共87頁57定義定義：設(shè)設(shè) x* 是是 (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，若存的不動(dòng)點(diǎn)，若存在在 x* 的某個(gè)的某個(gè) -鄰域鄰域 U(x*) =x*- , x* + ，對(duì)任意，對(duì)任意 x0 U(x*)，不動(dòng)點(diǎn)迭代，不動(dòng)點(diǎn)迭代 xk+1 = (xk) 產(chǎn)生的點(diǎn)列都收斂到產(chǎn)生的點(diǎn)列都收斂到 x*，則稱該迭代，則稱該迭代局部收斂。局部收斂。定理：定理

44、：設(shè)設(shè) x* 是是 (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，若的不動(dòng)點(diǎn)，若 (x) 在在 x* 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且 | (x*)| 0，則稱該迭代為，則稱該迭代為 p 階收斂階收斂。(1)當(dāng)當(dāng) r =1 時(shí)稱為時(shí)稱為線性收斂線性收斂，此時(shí)，此時(shí) C 1 時(shí)稱為時(shí)稱為超線性收斂超線性收斂l 二分法是線性收斂的二分法是線性收斂的l 若若 (x*) 0，則，則不動(dòng)點(diǎn)迭代不動(dòng)點(diǎn)迭代 xk+1 = (xk) 線性收斂線性收斂第58頁/共87頁59定理：定理：設(shè)設(shè) x* 是是 (x) 的不動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)，若若 (p)(x) 在在 x* 的的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且某鄰域內(nèi)連續(xù)，且(1)()( *)( *)( *)0

45、,( *)0ppxxxx 則迭代則迭代 xk+1 = (xk) 是是 p 階收斂的。階收斂的。第59頁/共87頁60例：例：求求 f(x) = x2 - 3=0 的正根的正根 2( )3xxx (1)( *)2 311x ex72.m*3x 23( )4xxx (2)3( *)10.31412x 13( )2xxx (3)( *)0 x 2( *)03x 二次收斂二次收斂局部收斂局部收斂第60頁/共87頁61計(jì)算得計(jì)算得40 xex00 5 .x 例例9 9 用簡單迭代法求方程用簡單迭代法求方程精確到精確到3位有效數(shù)字位有效數(shù)字.解解簡單迭代法簡單迭代法在在0,1內(nèi)的根內(nèi)的根( )4 ,xf

46、xex( )f x在在0,1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),( )40,0,1xfxex在在0,1內(nèi)有唯一內(nèi)有唯一 實(shí)根實(shí)根.40 xex的等價(jià)方程為的等價(jià)方程為14xxe1( ),4xxe又當(dāng)又當(dāng)0,1, ( )0,1xx故故114nxnxe對(duì)對(duì)00,1x均收斂均收斂. .取取故故( )0f x 26(0)10,f (1)40fe1( )4xxe14e1,0,1x第61頁/共87頁62故，故，10.4122,x 簡單迭代法簡單迭代法*0.358x 114nxnxe00 5 .x 2770.3575x 60.3571,x 50.3583,x 40.3600,x 30.3675,x 20.3775,x 第62頁/

47、共87頁63q 基本思想將非線性方程將非線性方程線性化線性化2( )( )()()()()2!kkkkff xf xfxxxxx l 設(shè)設(shè) xk 是是 f (x)=0 的近似根，將的近似根，將 f(x) 在在 xk 處處 Taylor 展開展開令：令：( )0P x 1()()kkkkf xxxfx ( )P x()()()kkkf xfxxx 條件：條件： f(x) 0第63頁/共87頁64xyx*xkxk+1第64頁/共87頁65因?yàn)橐驗(yàn)?2( )210200f xxxx2( )34100,1,2fxxxx3212210203410nnnnnnnxxxxxxx得牛頓迭代公式為得牛頓迭代公式

48、為例例7用用Newton法求方程法求方程在在(1,2)的根，取初值的根，取初值01x 解解 NewtonNewton法與弦截法法與弦截法1()()nnnnf xxxfx(1)7,(2)16ff 根據(jù)根據(jù) Newton迭代迭代故在故在1,2內(nèi)方程有唯一實(shí)根內(nèi)方程有唯一實(shí)根取初值取初值01x 得得22第65頁/共87頁6611.411764706,x 代入初值得代入初值得NewtonNewton法與弦截法法與弦截法31.368808189,x 3212210203410nnnnnnnxxxxxxx01x 故取故取9541102xx*51.368808108xx2351.368808108x 41.

49、368808108,x 21.369336471x 第66頁/共87頁671()()kkkkf xxxfx k = 0, 1, 2, . . . l 迭代函數(shù)( )( )( )f xxxfx ( *)( *)0,( *)2( *)fxxxfx 牛頓法至少二階牛頓法至少二階局部收斂局部收斂12*( *)( *)lim(*)2!2( *)kkkxxxfxxxfx 2( ) ( )( )( )f x fxxfx第67頁/共87頁68例：例：用用 Newton 法求法求 f(x) = x2 C=0 的正根的正根, 并驗(yàn)證這一并驗(yàn)證這一方法的二階收斂性方法的二階收斂性21()1()22kkkkkkkkk

50、f xxCCxxxxfxxx 解：解： 211,2kkkxCxCx 2112kkkxCxCx 211kkkkxCxCxCxC 2200kkkkxCxCqxCxC 2221kkkqxCCq 對(duì)任意對(duì)任意 x00，總有總有 |q|1，即即牛頓法收斂牛頓法收斂0第68頁/共87頁69112kkkCxxx 2112kkkxCxCx 1212kkkxcxxc12 c二階收斂二階收斂關(guān)于二次收斂性，事實(shí)上關(guān)于二次收斂性，事實(shí)上12kkee12 c第69頁/共87頁70第70頁/共87頁71第71頁/共87頁72常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法10( ,)(0,1, )( )nnnnyyhf x yny

51、y a(9-2)公式公式(9-2)(9-2)稱為顯式歐拉公式稱為顯式歐拉公式. .Euler法的局部截?cái)嗾`差也可表示為法的局部截?cái)嗾`差也可表示為23211()()()2nnRh y xO hO hEuler方法是一階方法方法是一階方法.第九章第九章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法30第72頁/共87頁73111,2nnnnnnhyyf xyf xy(9-9)這就是求解初值問題式（這就是求解初值問題式（9-1）的）的梯形公式梯形公式.梯形公式（梯形公式（9-9）的局部截?cái)嗾`差為）的局部截?cái)嗾`差為常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法1111() (, ()(, ()2nnnnnnnhRy x

52、y xf xy xf xy x3( )12hy 1nnxx故梯形公式為二階方法故梯形公式為二階方法. 31第73頁/共87頁74常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法一般地一般地,RK方法設(shè)近似公式為方法設(shè)近似公式為11111,(,)(2,3, )pnniiinniininijjjyyhcKKf x yKf xah yhb Kip(9-13),ia,ijb,ic其其中中 都是參數(shù)都是參數(shù), , 確定它們的原則是使近似確定它們的原則是使近似公式在公式在 處的處的Taylor展開式展開式與與 在在 處的處的),(nnyx)(xynxTaylor展開式的前面的項(xiàng)盡可能多地重合展開式的前面的項(xiàng)盡可能多地

53、重合, ,這樣就使近這樣就使近似公式有盡可能高的精度似公式有盡可能高的精度。32第74頁/共87頁75常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法121211,)(2hKyhxfKyxfKKKhyynnnnnn這就是改進(jìn)這就是改進(jìn)Euler公式公式,它是一種二階龍格它是一種二階龍格-庫塔公式。庫塔公式。33第75頁/共87頁76常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法(9-11)式（式（9-11）稱為由）稱為由Euler公式和梯形公式得到的公式和梯形公式得到的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)校正系統(tǒng)，也叫，也叫改進(jìn)改進(jìn)Euler法法，它是顯式單步法。，它是顯式單步法。預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)1(,)nnnnyyhf xy校正校正改進(jìn)改進(jìn)

54、Euler法的局部截?cái)嗾`差為法的局部截?cái)嗾`差為 ),(3hO故它是二階方法。故它是二階方法。111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy34第76頁/共87頁77例1用歐拉法求初值問題000.912()10yyxy xx 當(dāng)h = 0.02時(shí)在區(qū)間0, 0.10上的數(shù)值解。解解 把 yxyxf219 . 0),(代入歐拉法計(jì)算公式。就得10.90.01810,1,51212nnnnnnyyhyynxx具體計(jì)算結(jié)果如下表：nxnyny(xn) n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.

55、000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021第77頁/共87頁78常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法例例 用改進(jìn)的用改進(jìn)的Euler法求初值問題法求初值問題210.1()nnnnnyyxxy200.3(0) 0yxx yxy 0.1h的數(shù)值解的數(shù)值解, 取取 .解解 改進(jìn)的改進(jìn)的Euler公式為公式為2( , )f x yxxy所以所以2220.1(0.1)(0.1)0.90.1()2nnnnnnnnnyxxyxxyxx1111(,) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy2211110.12nnnnnnnnyyxxyxxy20.051.92.11.90.11nnnnyxxy3520.90.1()nnnyxx第78頁/共87頁79常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法