一可對(duì)角化的概念

1、1定義定義1：設(shè)：設(shè) 是是 維線性空間維線性空間V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，An如果存在如果存在V的一個(gè)基，使的一個(gè)基，使 在這組基下的矩陣為對(duì)在這組基下的矩陣為對(duì)A角矩陣，則稱角矩陣，則稱線性變換可對(duì)角化線性變換可對(duì)角化.A矩陣，則矩陣，則稱矩陣稱矩陣A可對(duì)角化可對(duì)角化.定義定義2：矩陣：矩陣A是數(shù)域是數(shù)域 上的一個(gè)上的一個(gè) 級(jí)方陣級(jí)方陣. 如果如果Pn存在一個(gè)存在一個(gè) 上的上的 級(jí)可逆矩陣級(jí)可逆矩陣 ，使，使 為對(duì)角為對(duì)角P1XAX Xn21. (7)設(shè)設(shè) 為為 維線性空間維線性空間V V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，An則則 可對(duì)角化可對(duì)角化 有有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)

2、的特征向量.AAn證：設(shè)證：設(shè) 在基在基 下的矩陣為對(duì)角矩陣下的矩陣為對(duì)角矩陣 A12,n 12n 則有則有 ,1,2,.iiiin A12,n 就是就是 的的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量.A3反之，若反之，若 有有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量 An12,n 那么就取那么就取 為基，則在這組基下為基，則在這組基下 的矩陣的矩陣12,n A是對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣.2. (8)設(shè)設(shè) 為為n n維線性空間維線性空間V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換, ,A如果如果 分別是分別是 的屬于互不相同的特征值的屬于互不相同的特征值12,k A的特征向量，則的特征向量，則 線性無關(guān)線性無

3、關(guān).12,k 12,k 證：對(duì)證：對(duì)k作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 線性無關(guān)線性無關(guān). 命題成立命題成立. 1k 110,4假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 來說，結(jié)論成立來說，結(jié)論成立. 現(xiàn)設(shè)為現(xiàn)設(shè)為 1k 12,k 的互不相同的特征值，的互不相同的特征值， 是屬于是屬于 的特征向量，的特征向量，Ai i 即即1,2, ., iiiin A以以 乘乘式的兩端，得式的兩端，得 k 11220.kkkkkaaa 設(shè)設(shè) 1 1220,kkiaaaaP 又對(duì)又對(duì)式兩端施行線性變換式兩端施行線性變換 ，得，得 A11 12220.kkkaaa 5式減式減式得式得 111222111()()()0kkkkk

4、kaaa 由歸納假設(shè)，由歸納假設(shè)， 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以 121,k ()0,1,2,1.iikaik但但 互不相同，所以互不相同，所以12,k 1210.kaaa 將之代入將之代入，得，得0.kka 0,0kka 故故 線性無關(guān)線性無關(guān). 12,k 6特別地特別地，() 在復(fù)數(shù)域在復(fù)數(shù)域C上的線性空間中，上的線性空間中，3. () 設(shè)為設(shè)為n 維線性空間維線性空間V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換，A則則 可對(duì)角化可對(duì)角化.A如果線性變換如果線性變換 的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則 可可AA如果如果 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 P 中有中有n個(gè)不同特征值，個(gè)不

5、同特征值，A對(duì)角化對(duì)角化.7特征值特征值 的線性無關(guān)的特征向量，的線性無關(guān)的特征向量，i 1,2, ,ik 則向量則向量 線性無關(guān)線性無關(guān).11111,krkkr 4. () 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，A 是是 的不同特征值，而的不同特征值，而 是屬于是屬于12,k 12,iiiirA證明證明：首先，：首先， 的屬于同一特征值的屬于同一特征值 的特征向量的特征向量Ai 的非零線性組合仍是的非零線性組合仍是 的屬于特征值的屬于特征值 的一個(gè)特征的一個(gè)特征Ai 向量向量.811111,.krkkraaaaP 令令 11,1,2, .iiiiiiriraaik 由由有

6、，有， 120.k 設(shè)設(shè) 1111 1111110,kkrrkkkrkraaaa 若有某個(gè)若有某個(gè) 則則 是是 的屬于特征值的屬于特征值 的的0,ii Ai 特征向量特征向量.而而 是互不相同的，由定理是互不相同的，由定理8，12,k 必有所有的必有所有的0,1,2, .iik 9即即110.iiiiiriraa 而而 線性無關(guān)，所以有線性無關(guān)，所以有 1,iiir10,1,2, .iiiraaik 故故 線性無關(guān)線性無關(guān).11111,krkkr 1dim,iiriVnV A為的特征子空間為的特征子空間. 5. 設(shè)為設(shè)為n n維線性空間維線性空間V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，A12,r 為

7、為 全部不同的特征值，則可對(duì)角化全部不同的特征值，則可對(duì)角化AA106. 設(shè)為設(shè)為n維線性空間維線性空間V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，A若若 在某組基下的矩陣為對(duì)角矩陣在某組基下的矩陣為對(duì)角矩陣A12nD 則則 1） 的特征多項(xiàng)式就是的特征多項(xiàng)式就是 A 12( )nfA2）對(duì)角矩陣）對(duì)角矩陣D主對(duì)角線上元素除排列次序外是唯一主對(duì)角線上元素除排列次序外是唯一確定的確定的,它們就是的全部特征根它們就是的全部特征根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算重根按重?cái)?shù)計(jì)算).A111 求出矩陣求出矩陣A的全部特征值的全部特征值 12,.k 2 對(duì)每一個(gè)特征值對(duì)每一個(gè)特征值 ，求出齊次線性方程組，求出齊次線性方程組 i 0

8、,1.2.iEA Xik 設(shè)設(shè) 為維線性空間為維線性空間V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，A12,n 為為V的一組基，在這組基下的矩陣為的一組基，在這組基下的矩陣為A. A步驟步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于 的全部線性無關(guān)的全部線性無關(guān)i A的特征向量在基下的坐標(biāo)）的特征向量在基下的坐標(biāo)）. 12,n 123若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于n ，則，則 （或矩陣（或矩陣A）可對(duì)角化可對(duì)角化. 以這些解向量為列，作一個(gè)以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣階方陣T，則，則T可逆，可逆， 是對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣. 而且而且1TAT 有有n個(gè)線

9、性無關(guān)的特征向量從而個(gè)線性無關(guān)的特征向量從而 A12,n AT就是基到基的過渡矩陣就是基到基的過渡矩陣.12,n 12,n 13 下的矩陣為下的矩陣為 123, 0 0 10 1 01 0 0A 基變換的過渡矩陣基變換的過渡矩陣.問問 是否可對(duì)角化是否可對(duì)角化. 在可對(duì)角化的情況下，寫出在可對(duì)角化的情況下，寫出A例例1. 設(shè)復(fù)數(shù)域上線性空間設(shè)復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換的線性變換 在某組基在某組基A14解：解：A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 20101 01110EA 得得A的特征值是的特征值是1、1、1.解齊次線性方程組解齊次線性方程組 得得 10,EA X13xx 故其基礎(chǔ)解系為：故其基礎(chǔ)

10、解系為： (1,0,1),(0,1,0)所以，所以，11322, 是的屬于特征值是的屬于特征值1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.A15再解齊次線性方程組再解齊次線性方程組 得得 10,EA X 1320 xxx 故其基礎(chǔ)解系為：故其基礎(chǔ)解系為： (1,0, 1) 所以，所以，313 是是 的屬于特征值的屬于特征值1的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量.A線性無關(guān)，故線性無關(guān)，故 可對(duì)角化，且可對(duì)角化，且123, A1 0 00 10;0 01 在基在基 下的矩陣為對(duì)角矩陣下的矩陣為對(duì)角矩陣 123, A16 1231231 0 1,0 1 0.1 01 1 0 10 10

11、,1 01T 即基即基 到的過渡矩陣為到的過渡矩陣為123, 123, 11 0 00 10.0 01TAT 17例例2. 問問A是否可對(duì)角化？若可，求可逆矩陣是否可對(duì)角化？若可，求可逆矩陣T，使，使321222361A 為以角矩陣為以角矩陣. 這里這里1TAT 321222361EA 23121624得得A的特征值是的特征值是2、2、- -4 .解解: A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 18對(duì)于特征值對(duì)于特征值2，求出齊次線性方程組，求出齊次線性方程組 123121024203630 xxx 對(duì)于特征值對(duì)于特征值4，求出齊次方程組，求出齊次方程組 123721022203630 xxx 的一個(gè)

12、基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系:（2、1、0），（），（1、0、1） 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系: 12( ,1)33 1912 132103011T 令令 則則 12 000 200 04TAT 所以所以A可對(duì)角化可對(duì)角化.20是對(duì)角矩陣（即是對(duì)角矩陣（即D不可對(duì)角化）不可對(duì)角化）. .項(xiàng)式項(xiàng)式. .并證明：并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能在任何一組基下的矩陣都不可能練習(xí)：練習(xí)：在在 中中, , 求微分變換求微分變換D的特征多的特征多 (1)nP xn 211,2!(1)!nxxxn 解：在解：在 中取一組基：中取一組基： nP x則則D在這組基下的矩陣為在這組基下的矩陣為010000100001