電路理論-5_3沖擊響應(yīng)和階躍響應(yīng)

1、1. 沖擊響應(yīng)沖擊響應(yīng)定義：系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)就是電路系統(tǒng)在沖擊信定義：系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)就是電路系統(tǒng)在沖擊信號激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。即號激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。即: :(1) )()()()()()()()(0) 1 (1) 1(1)(0) 1 (1) 1(1)(tbtbtbtbtyatyatyatymmmmnnn0)0(0)0(, 0)0(, 0)0() 1()2() 1 (nyyyy 因為只有在因為只有在t=0t=0時時,（t t）才對電路系統(tǒng)作）才對電路系統(tǒng)作用，所以可以將這種瞬間作用等效成對電路內(nèi)貯用，所以可以將這種瞬間作用等效成對電路內(nèi)貯能元件進行能量存貯，即為等效初始條件，在能元件進行

2、能量存貯，即為等效初始條件，在t t0 0時，由該等效初始條件引起電路產(chǎn)生的等效時，由該等效初始條件引起電路產(chǎn)生的等效零輸入響應(yīng)。即：零輸入響應(yīng)。即：0)()()()(0) 1 (1) 1(1)(tyatyatyatynnn)0()0(),0(),0()1()2()1(nyyyy2. h(t)求法求法例例: :已知電路如圖，已知電路如圖，iL(0-)=0 , ,求求iL(t)解：（解：（1 1）建立電路方程：）建立電路方程：)()()(ttutuRc0)0()()()(:LLLittRidttdiL即(1)(1)直接法直接法: : （等效初始條件法）（等效初始條件法）000000)()()(d

3、ttdttRidtdttdiLLL1)0()0(LLiiLLiL1)0(LitRidttdiLLLL1)0(0)()(2) (2) 將其轉(zhuǎn)換為等效零輸入響應(yīng)：將其轉(zhuǎn)換為等效零輸入響應(yīng)：1( )( ) (3)intiih tAeU t（3 3）求解：三要素法得：）求解：三要素法得：)(1)0()(tUeLeitittLL(2)(2)比較系數(shù)法比較系數(shù)法 因為由電路系統(tǒng)的（因為由電路系統(tǒng)的（1 1）問題轉(zhuǎn)為（）問題轉(zhuǎn)為（2 2）問題，電路系統(tǒng)的）問題，電路系統(tǒng)的解應(yīng)具有相同的函數(shù)形式，一般解應(yīng)具有相同的函數(shù)形式，一般（1 1） 對于對于n nm m時，若電路系統(tǒng)方程的特征根互異，則由此時，若電路系

4、統(tǒng)方程的特征根互異，則由此得沖擊響應(yīng)為得沖擊響應(yīng)為（2）n=m時，若特征根互異：時，若特征根互異： 1( )( )( ) (4)intmiih tbtAeU t（3）n0，U(t) 0. 系統(tǒng)的階躍響系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是求解非齊次方程（應(yīng)是求解非齊次方程（0初條），它應(yīng)包括齊次方程通解初條），它應(yīng)包括齊次方程通解和非齊次特解。定義式可得：和非齊次特解。定義式可得：)()(00tUabtgP)2(tdhtg0)()(強迫響應(yīng)：強迫響應(yīng)：(2)求階躍響應(yīng)的常用方法求階躍響應(yīng)的常用方法（1）由）由h(t) g(t)(t), nitihtUeAtgi1)()()( 故故010( )()( )intiibg

5、 tA eU ta由此可采用求沖擊響應(yīng)類似的方法，求得由此可采用求沖擊響應(yīng)類似的方法，求得 g(t)(1)(1)線性性（即迭加性和均勻性）線性性（即迭加性和均勻性）定理定理1 1：線性時不變電路與系統(tǒng)在下述意義上是線性的：線性時不變電路與系統(tǒng)在下述意義上是線性的：a.a.響應(yīng)的可分解性：電路與系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為零輸入響響應(yīng)的可分解性：電路與系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)。應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)。( )( )( )zpzsy tytytb.b.零狀態(tài)線性：當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于零狀態(tài)線性：當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于各激勵信號呈線性。各激勵信號呈線性。c.c.零輸

6、入線性：當激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對應(yīng)各起零輸入線性：當激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對應(yīng)各起始狀態(tài)呈線性。始狀態(tài)呈線性。3. LTI電路系統(tǒng)的基本性質(zhì)電路系統(tǒng)的基本性質(zhì)（1 1）當系統(tǒng)同時存在）當系統(tǒng)同時存在n n個激勵時，系統(tǒng)的完全響應(yīng)對于某個激勵時，系統(tǒng)的完全響應(yīng)對于某個單獨的激勵不呈線性關(guān)系，而是對全部的激勵呈線性個單獨的激勵不呈線性關(guān)系，而是對全部的激勵呈線性關(guān)系。關(guān)系。（2 2）在這種疊加解法中，已經(jīng)將各起始狀態(tài)的作用也視）在這種疊加解法中，已經(jīng)將各起始狀態(tài)的作用也視為系統(tǒng)的激勵，所以它與第二章中端口線性定義是一致為系統(tǒng)的激勵，所以它與第二章中端口線性定義是一致的。也就是說，可以

7、根據(jù)上述三條來定義線性系統(tǒng)。的。也就是說，可以根據(jù)上述三條來定義線性系統(tǒng)。（3 3）全響應(yīng)是零輸入與零狀態(tài)的線性組成，它既不是激）全響應(yīng)是零輸入與零狀態(tài)的線性組成，它既不是激勵的線性函數(shù)，也不是初態(tài)的線性函數(shù)，而僅能是零輸勵的線性函數(shù)，也不是初態(tài)的線性函數(shù)，而僅能是零輸入線性，零狀態(tài)線性。入線性，零狀態(tài)線性。我們對第二條進行證明我們對第二條進行證明 設(shè)一階電路方程為設(shè)一階電路方程為0)0()()(1)(ytxtydttdy（1）疊加性）疊加性 若若x1(t)，x2(t)分別激勵系統(tǒng)時，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為分別激勵系統(tǒng)時，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y1(t)和和y2(t)，它們應(yīng)當滿足方程（，它們應(yīng)當滿足

8、方程（1）（1）0)0()()(1)(1111ytxtydttdy0)0()()(1)(2222ytxtydttdy（2）（3）將上兩式相加得：將上兩式相加得：)()()()(1)()(212121txtxtytytytydtd0)0 ()0 (21yy（4）如果在如果在t=0時，在電路中的相同位置上，同時加入時，在電路中的相同位置上，同時加入x1(t)+x2(t)，則相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為則相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)，則必然有，則必然有0)0()()()(1)(21ytxtxtydttdy根據(jù)微分方程的唯一性充分條件，式（根據(jù)微分方程的唯一性充分條件，式（4 4）和（）和（5 5）中，初始）中，

9、初始狀態(tài)和激勵相同，而狀態(tài)和激勵相同，而1/ 1/ 僅決定于電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)，僅決定于電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)，也應(yīng)是相同的。所以其解也必然相同。也應(yīng)是相同的。所以其解也必然相同。（5）這就是說線性時不變電路與系統(tǒng)對于激勵具有疊加性。這就是說線性時不變電路與系統(tǒng)對于激勵具有疊加性。（2）若在上述同一電路的相同位置，）若在上述同一電路的相同位置，t=0時接入激勵時接入激勵x1(t) 是實數(shù)，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為是實數(shù)，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y3(t)，則：，則：0)0()()(1)(3133ytxtydttdy（6）而如果用而如果用 同時乘方程（同時乘方程（2 2）的兩邊，則得：）的兩邊，則得：)0)0(

10、0)0()()(1)(11111yytxtydttdy（7）于是：于是：y(t)=y1(t)+y2(t)根據(jù)微分方程解的唯一性充分條件，比較（根據(jù)微分方程解的唯一性充分條件，比較（6 6）（）（7 7）兩式得：）兩式得：)()(13tyty這就是說線性時不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對激勵具有均勻性。這就是說線性時不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對激勵具有均勻性。 由于既滿足疊加性，又滿足均勻性，所以線性時不變電路由于既滿足疊加性，又滿足均勻性，所以線性時不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對各激勵信號呈線性。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對各激勵信號呈線性。同時也可以證明另兩條。也可推到線性時變系統(tǒng)。同時也可以證明另兩條。也可推到

11、線性時變系統(tǒng)。這個線性系統(tǒng)的性質(zhì)具有非常重要的意義。這個線性系統(tǒng)的性質(zhì)具有非常重要的意義。(2).延時不變性：延時不變性： （定常特性）（定常特性）定理定理2：若線性時不變系統(tǒng)，輸入為若線性時不變系統(tǒng)，輸入為f(t)時，引起的響應(yīng)為時，引起的響應(yīng)為y(t),則則輸入為輸入為 f(t-) 時，引起的響應(yīng)為時，引起的響應(yīng)為 y(t-) 。這就是說，響應(yīng)的波。這就是說，響應(yīng)的波形與輸入的時間無關(guān)，僅是起點改變。即若形與輸入的時間無關(guān)，僅是起點改變。即若f(t) yzs(t)，則，則)()(tytfzs(3).微分特性：微分特性：定理定理3： 若線性時不變系統(tǒng)在激勵若線性時不變系統(tǒng)在激勵f(t)作用下

12、，產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)為作用下，產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(t)，則當激勵為，則當激勵為 f (t) 時，其響應(yīng)為時，其響應(yīng)為y(t) f(t) 零狀態(tài)yzs(t)(tfdtd)(tydtd證明：因為證明：因為 f(t) y(t) 根據(jù)延時不變性：根據(jù)延時不變性：f(tt) y(t t) 又因為系統(tǒng)具有疊加性和均勻性：又因為系統(tǒng)具有疊加性和均勻性：( )()( )()f tf tty ty tttt根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有：)()()(lim)()()(limtydtdtttytytfdtdtttftftt)(tfdtd)(tydtd證畢。證畢。推論：推論：（1 1）這個特性可以推廣至高階導(dǎo)數(shù)

13、和積分。）這個特性可以推廣至高階導(dǎo)數(shù)和積分。（2 2）對幾個典型的信號有：）對幾個典型的信號有：( )( )( )( )dU ttdtd tU tU tdt( )( )( )( )dg th tdtdytg tdt斜(4).(4).因果特性：因果特性：a.a.因果系統(tǒng)：如果因果系統(tǒng)：如果t t0 0時，系統(tǒng)的激勵信號為時，系統(tǒng)的激勵信號為0 0，相應(yīng)的輸出，相應(yīng)的輸出響應(yīng)在響應(yīng)在t t0時也等于時也等于0 0，則這樣的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。，則這樣的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。b.b.因果特性：因果系統(tǒng)的激勵是產(chǎn)生響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激因果特性：因果系統(tǒng)的激勵是產(chǎn)生響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激勵引起的效果，或者說系統(tǒng)

14、沒有預(yù)知未來的能力，只有在勵引起的效果，或者說系統(tǒng)沒有預(yù)知未來的能力，只有在激勵加入后，才有響應(yīng)輸出，這種特性叫系統(tǒng)的因果特性。激勵加入后，才有響應(yīng)輸出，這種特性叫系統(tǒng)的因果特性。 一切物理可實現(xiàn)系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，都具有因果特性。一切物理可實現(xiàn)系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，都具有因果特性。由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，都滿足由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，都滿足因果性，因此，因果系統(tǒng)的充分必要條件是：因果性，因此，因果系統(tǒng)的充分必要條件是： h(t)=0 (t0) g(t)=0 (t0)例：某例：某LTIS，在相同的初始狀態(tài)下，輸入，在相同的初始狀態(tài)下，輸入試求試求：（：（1）初態(tài)加大一倍，輸入為）初態(tài)加大一倍，輸入為f(t)/2 ，系統(tǒng)響應(yīng)，系統(tǒng)響應(yīng) （2）初態(tài)不變，輸入為）初態(tài)不變，輸入為f(t-t0)時，系統(tǒng)響應(yīng)時，系統(tǒng)響應(yīng)解：解： 設(shè)在相同初態(tài)和設(shè)在相同初態(tài)和f(t)作用下，作用下，33( )( )(2sin2 ) ( )( ) 2( )(2sin2