第8章 曲面立體10.11.4

1、退出退出退出退出退出退出第八章 曲面立體 8.1 曲線與曲面 8.2 回轉面 8.3 直紋面 8.4 螺旋線和螺旋面中途返回請按“ESC” 鍵8.1.1 曲線8.1 曲線與曲面一、曲線的形成和分類一、曲線的形成和分類1、形成:曲線可以看作由以下三種方式形成： 點不斷改變方向運動軌跡； 曲面與平面或曲面與曲面的交線； 直線族或曲線族的包絡線；上上上一一一節(jié)節(jié)節(jié)下下下一一一節(jié)節(jié)節(jié)返返返回回回退退退出出出2、分類根據(jù)幾何性質不同（或曲線上點的相對位置）而分： 規(guī)則曲線 不規(guī)則曲線 平面曲線：曲線上所有點都在同一平面內。如：圓、橢圓，拋物線等； 空間曲線：連續(xù)四點不在同一平面上的曲線。如：圓柱螺旋線、

2、兩曲面體相貫線等； 為了能準確地畫出曲線的投影，一般應把曲線上特殊點的投影作出，以控制曲線投影的形狀和范圍。特殊點： 本身上的特殊點：反曲點 、反折點；（控制形狀） 對投影面特殊點：最前、后、上、下、左、右點；（控制范圍）二、曲線投影的性質1.曲線的投影一般仍為曲線2.屬于曲線的點的投影 必屬于該曲線同面投影3.屬于曲線某點的切線 投影與該曲線同面投 影仍相切于該切點的 投影中途返回請按“ESC” 鍵1、平面曲線投影的特性2、圓的投影1、圓柱螺旋線：四、空間規(guī)則曲線2、圓錐螺旋線畫法上上上一一一節(jié)節(jié)節(jié)下下下一一一節(jié)節(jié)節(jié)返返返回回回3、橢圓的投影4、橢圓的畫法圓柱螺旋線的形成及三要素圓柱螺旋線的

3、畫法圓柱螺旋線的展開、螺旋角、升角(1) 已知橢圓的長、短軸，作橢圓(2) 已知橢圓的任意一對共軛直徑，作橢圓三、平面規(guī)則曲線退退退出出出1、平面曲線投影的特性中途返回請按“ESC” 鍵積聚性實形性尖點兩重點拐點三、平面規(guī)則曲線1）.傾斜于投影面的圓，它的投影為橢圓返返返回回回2、圓的投影2） 傾斜于投影面的圓上任意一對相互垂直的直徑 投影成橢圓上的一對共軛直徑返返返回回回3）傾斜于投影面的圓上一對相互垂直的直徑，其中一 條為投影面平行線時，則它們在該投影面的投影為橢圓的長、短軸返返返回回回例1 已知一圓屬于鉛垂面P，（P平面對V面的夾角為b），直徑為 2R，且已知該圓圓心O的兩面投影，試作該

4、圓的兩面投影。中途返回請按“ESC” 鍵例2 已知一般位置平面I II III IV上有一個以O為圓心，直徑為2R的 圓，試作其兩面投影中途返回請按“ESC” 鍵3、橢圓的投影1）在特定條件下，橢圓 投影可為一圓2）橢圓的一對共軛直徑， 投影后性質不變返返返回回回 一般斜平面上的圓圓所在的平面傾斜于三個投影面時，圓的任一投影都是橢圓，橢圓長軸的長度總是等于圓的直徑d。1）已知橢圓的長、短軸，作橢圓 中途返回請按“ESC” 鍵4、橢圓的畫法2）已知橢圓的任意一對共軛直徑，作橢圓中途返回請按“ESC” 鍵1234例題 已知一圓屬于正垂面P，并知其圓心為O，直徑為 40 mm，求作該圓的三面投影圖。

5、20中途返回請按“ESC” 鍵例題如圖所示，在平行四邊形IJKL內有一個圓，已知圓心C的正面投影c，直徑為28mm，求作這個圓的兩面投影。按給定條件作平行四邊形上的圓的兩面投影(a)(a)已知條件已知條件(b)(b)作圖過程和作圖結果作圖過程和作圖結果作圓心作圓心C C的水平投影的水平投影c c。作圓的水平投影橢圓作圓的水平投影橢圓。作圓的正面投影橢圓作圓的正面投影橢圓。例例 半徑為半徑為r r的圓位于一般傾斜平面的圓位于一般傾斜平面ABCDABCD上，并知圓上，并知圓心的位置，試作出其投影。心的位置，試作出其投影。 解：首先，在水平投影中作橢圓的長短軸：長軸的方向為面內水平線的水平投影的方向

6、，長度等于圓的直徑2r。短軸垂直于長軸，長度利用直角三角形法求出。 其次，求出水平投影中長短軸在正面投影中的投影，它們是一對共軛直徑12、34。根據(jù)共軛直徑可求出橢圓上的其余四個點5、6、7、8，用八點法畫出正面投影橢圓。 最后，利用平面上定點的方法求出水平投影中的5、6、7、8四點，從而畫出水平投影橢圓。返返返回回回一、曲面的形成一、曲面的形成 曲面可以看作為動線（直線或曲線）在一定的約束條件下運動的軌跡。動線稱為母線母線；其在任一位置稱為素線素線。約束母線運動的線或面，分別稱為導線導線或導面導面。8.1.2曲面返返返回回回二、曲面的分類按曲面形成是否有規(guī)律:規(guī)則、不規(guī)則；按曲面是否可展開:

7、可展、不可展； 據(jù)母線是直線還是曲線：直紋面、曲線面；據(jù)母線運動是否回轉軸：回轉面、非回轉面； 248.2.1回轉面的形成和基本性質回轉面的形成和基本性質 8.2 8.2 回轉面回轉面 1.回轉面的形成回轉面的形成母母 線線（子午線（子午線）軸軸 線線喉喉 圓圓赤道圓赤道圓緯緯 圓圓 以一平面曲線或直線為母線，繞同以一平面曲線或直線為母線，繞同一平面內的一條定直線旋轉而形成的曲一平面內的一條定直線旋轉而形成的曲面。該定直線稱為旋轉面的軸線面。該定直線稱為旋轉面的軸線。 母線的任意位置稱母線的任意位置稱素線素線。母線上。母線上任意點的運動軌跡都是一個垂直于任意點的運動軌跡都是一個垂直于軸線的圓，

8、稱為軸線的圓，稱為緯圓緯圓。曲面上比相。曲面上比相鄰兩側都大的緯圓，稱為曲面的鄰兩側都大的緯圓，稱為曲面的赤赤道圓道圓；都小時則稱為；都小時則稱為喉圓喉圓。母線的。母線的上、下端點所形成的緯圓，分別稱上、下端點所形成的緯圓，分別稱作作頂圓和底圓頂圓和底圓。8.2 回轉面 258.2 8.2 回轉面回轉面2.回轉面的投影及面上的點頂頂 圓圓喉喉 圓圓緯緯 圓圓赤道圓赤道圓底底 圓圓退退退出出出表1 常見回轉體圓 柱 體 回轉面形成規(guī)律 母線:與軸線平 行的直線軸線:直線軸線:直線母線:圓或圓弧軸線:圓的直徑母線:圓或圓弧軸線:不經(jīng)過圓心而 與之同平面的 直線直觀圖圓 錐 體圓 球 體圓 環(huán) 體母

9、線:與軸線相 交的直線8.2.2 回轉體一、圓柱作圖步驟：畫底面和頂面的投影畫轉向線畫軸線正面轉向線側面轉向線空間分析中途返回請按“ESC” 鍵圓柱返回圓柱投影圖分析底面水平面轉向線頂面水平面圓柱面前半個圓柱面后半個圓柱面左半個圓柱面右半個圓柱面正面轉向線側面轉向線后前左右中途返回請按“ESC” 鍵例3 已知屬于圓柱面上的點A、B、C 的一個投影求另外 兩面投影中途返回請按“ESC” 鍵例4 已知圓柱面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩面 投影中途返回請按“ESC” 鍵二、圓錐作圖步驟：畫底面的投影畫轉向線畫軸線畫正面轉向線畫側面轉向線空間分析中途返回請按“ESC” 鍵畫錐頂圓錐返回圓錐投影圖

10、分析底面：水平面前半個圓錐面后半個圓錐面圓錐面：左半個圓錐面右半個圓錐面錐頂:中途返回請按“ESC” 鍵圓錐表面上取點線例例例 5 5 5例例例 7 7 71.屬于圓錐表面的特殊位置點緯圓法素線法已知圓錐面上的曲線AD 的水平投影，求另外兩面投影中途返回請按“ESC” 鍵2.屬于圓錐表面的一般位置點例例例 6-16-16-1例例例 6-26-26-2 過點取屬于圓錐面的線（直線或圓），則點的投影在該線上返回返回返回例5 圓錐表面上取點-特殊位置點返回例6 圓錐表面上取點-緯圓法返回例6 圓錐表面上取點-素線法返回例7 已知圓錐面上的曲線AD 的水平投影，求另外兩面 投影返回例7 已知圓錐面上的

11、曲線AD 的水平投影，求另外兩面 投影中途返回請按“ESC” 鍵圓臺的投影圓臺的投影圓臺的投影圓臺的投影(a)(a)立體圖立體圖(b)(b)投影圖投影圖圓錐臺中途返回請按“ESC” 鍵三、圓球投影圖：畫轉向線畫軸線空間分析中途返回請按“ESC” 鍵圓球返回圓球投影圖分析正面轉向線A側面轉向線B水平面轉向線C中途返回請按“ESC” 鍵例8 圓球表面上取點-特殊位置點中途返回請按“ESC” 鍵例9-1 已知屬于圓球面的點K 的水平投影，求其另外兩面投影水平圓為輔助線中途返回請按“ESC” 鍵例9-2 已知屬于圓球面的點K 的水平投影，求其另外兩面投影正平圓為輔助線中途返回請按“ESC” 鍵例9-3

12、 已知屬于圓球面的點K 的水平投影，求其另外兩面投影側平圓為輔助線中途返回請按“ESC” 鍵例10 已知圓球面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩面投影中途返回請按“ESC” 鍵例10 已知圓球面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩 面投影中途返回請按“ESC” 鍵四、圓環(huán)圓環(huán)的投影：畫母線圓圓心軌跡畫轉向線畫軸線判別可見性，圖線加粗中途返回請按“ESC” 鍵畫母線圓圓環(huán)投影圖分析：內環(huán)面外環(huán)面外環(huán)面水平面轉向線內環(huán)面正面轉向線內環(huán)面水平面轉向線外環(huán)面正面轉向線內、外環(huán)面分界線內環(huán)面外環(huán)面環(huán)面中途返回請按“ESC” 鍵外環(huán)面和內環(huán)面返回例11 已知圓環(huán)面上的點A、B 的一個投影，求它們的另 一個投

13、影中途返回請按“ESC” 鍵例12 已知圓環(huán)面上的曲線AD 的水平投影，求正面投影中途返回請按“ESC” 鍵同軸回轉體的投影 兩個投影圖形相同,另外一個投影為若干個同心圓。中途返回請按“ESC” 鍵同軸回轉體表面上的點中途返回請按“ESC” 鍵 60 直紋面是由直母線運動而形成的曲面。直紋面分為可展直紋曲面和不可展直紋曲面。8.3 直紋面 8.3 8.3 直紋面直紋面 可展直紋曲面可展直紋曲面 當曲面上相鄰兩素線相交或平行時，當曲面上相鄰兩素線相交或平行時，所形成的曲面可以展平在一個平面上而稱為所形成的曲面可以展平在一個平面上而稱為可展直紋曲面。常見的可展直紋曲面有可展直紋曲面。常見的可展直紋

14、曲面有柱面柱面和和錐面錐面。 1、錐面返返返回回回正橢圓錐面斜橢圓錐面正圓錐面 628.3 8.3 直紋面直紋面錐面應用錐面應用 錐面在建筑工程中，錐面在建筑工程中，也有著廣泛的應用。右圖也有著廣泛的應用。右圖表示了一個用錐面構成的表示了一個用錐面構成的完體建筑。完體建筑。2、柱面正橢圓柱面斜橢圓柱面正圓柱面柱面返返返回回回3、切線曲面返返返回回回4、漸開線螺旋面48例題 過圖中所示的螺旋線(右旋,導程為48 mm),作一漸開 線螺旋面。 中途返回請按“ESC” 鍵5、雙曲拋物面中途返回請按“ESC” 鍵雙曲拋物面的形成P導平面直導線直導線直母線 708.3 8.3 直紋面直紋面雙曲拋物面應用

15、實例雙曲拋物面應用實例（a）屋頂 （b）岸坡（漸變段）6、錐狀面中途返回請按“ESC” 鍵形成：一直母線沿一直導線和曲導線連續(xù)運動，同時始終平行于一導平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。P導平面曲導線直導線 738.3 8.3 直紋面直紋面錐狀面錐狀面應用實例應用實例 下圖下圖是錐狀面作為廠房屋頂?shù)囊粋€實例。屋面上是錐狀面作為廠房屋頂?shù)囊粋€實例。屋面上的素線都平行于山墻。的素線都平行于山墻。7、柱狀面形成：中途返回請按“ESC” 鍵P形成：一直母線沿兩條曲導線連續(xù)運動，同時始終平行于一導平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面導平面曲導線曲導線 76柱狀面的應用實例8.3 8.3 直紋面直紋面 六、柱狀面六

16、、柱狀面 798.3 8.3 直紋面直紋面柱狀面應用實例柱狀面應用實例 右圖所示的是右圖所示的是柱狀面應用于拱門柱狀面應用于拱門上的實例。可以看上的實例?？梢钥闯觯簩Ь€應為拱口出：導線應為拱口曲線曲線(一為半圓一為半圓，一一為半橢圓為半橢圓)，導，導面應為水平面。面應為水平面。8、單頁雙曲回轉面的形成：由直母線繞與它交叉的軸線旋轉而形成。中途返回請按“ESC” 鍵單頁雙曲回轉面的投影中途返回請按“ESC” 鍵 類直紋曲面中途返回請按“ESC” 鍵拉伸曲面中途返回請按“ESC” 鍵9、 球面、環(huán)面返返返回回回回轉曲面中途返回請按“ESC” 鍵邊界曲面中途返回請按“ESC” 鍵柱狀圓紋曲面返返返回

17、回回羊角狀圓紋曲面返返返回回回8.4.1、圓柱螺旋線中途返回請按“ESC” 鍵旋向1）形成2）三要素：直徑導程右旋左旋8.4 螺旋線與螺旋面 母線旋轉一周時，動點沿母線移動的距離叫做螺距。螺距h和導圓柱的半徑R是確定螺旋線的兩個參數(shù)。給出這兩個參數(shù)的大小，再根據(jù)螺旋線的方向(譬如是右螺旋)，就可以做出螺旋線的投影。Rh螺旋線投影作法：（1）用半徑用半徑R作出導圓柱的投影；作出導圓柱的投影；（2）把導圓柱的底圓周把導圓柱的底圓周(在水平投影上在水平投影上)和和螺距螺距h(在正面投影上在正面投影上)分成同樣多的等份分成同樣多的等份(如如12等份等份)；（3）在水平投影上用數(shù)字沿螺旋線方向在水平投影

18、上用數(shù)字沿螺旋線方向順次標出各分點順次標出各分點0、1、12；（4）從從0、1、12 向上作鉛垂聯(lián)系線，向上作鉛垂聯(lián)系線，得各分點的得各分點的正面投影；正面投影；（5）用曲線圓滑的連接用曲線圓滑的連接0、l、2 12各點，各點， 得一正弦曲線該曲線得一正弦曲線該曲線就是所作螺旋線的正面投影。就是所作螺旋線的正面投影。0678910111212345 0 1 2 3111210 9 8 7 6 5 4圓柱螺旋線的畫法中途返回請按“ESC” 鍵2、圓錐螺旋線畫法中途返回請按“ESC” 鍵8.4.2、正螺旋柱狀面的形成中途返回請按“ESC” 鍵 一直線沿著圓柱螺旋線和圓柱軸線滑動，并始終與軸線相交成

19、定角。這樣形成的曲面叫做螺旋面。螺旋面分平、斜兩種。平螺旋面平螺旋面圓柱螺旋面的畫法中途返回請按“ESC” 鍵 998.4 8.4 螺旋線與螺旋面螺旋線與螺旋面43217869510111213空心螺旋面的投影畫法空心螺旋面的投影畫法 100平螺旋面的應用平螺旋面的應用 螺旋樓梯扶手螺旋樓梯扶手 101平螺旋面的應用平螺旋面的應用 螺旋樓梯螺旋樓梯 1028.4 8.4 螺旋線與螺旋面螺旋線與螺旋面例例 已知螺旋樓梯所在內、外兩個導圓柱的直徑分別為已知螺旋樓梯所在內、外兩個導圓柱的直徑分別為d和和D，沿螺旋上行一圈有十二個踏步，導程為沿螺旋上行一圈有十二個踏步，導程為L，樓板的豎直厚度為，樓板

20、的豎直厚度為h。作出該螺旋樓梯（右旋）的兩面投影。作出該螺旋樓梯（右旋）的兩面投影。在螺旋樓梯的每個踏步中，在螺旋樓梯的每個踏步中，踏面為扇形，踢面為矩形，踏面為扇形，踢面為矩形，兩端面是圓柱面，底面是平兩端面是圓柱面，底面是平螺旋面；將螺旋樓梯看成是螺旋面；將螺旋樓梯看成是一個踏步沿著兩條圓柱螺旋一個踏步沿著兩條圓柱螺旋線上升而形成，每級踏面與線上升而形成，每級踏面與踢面的交線是頂部平螺旋面踢面的交線是頂部平螺旋面的素線；樓板的豎直厚度可的素線；樓板的豎直厚度可被認為由底部與頂部平螺旋被認為由底部與頂部平螺旋面間的厚度，如圖所示。面間的厚度，如圖所示。 平螺旋面的應用平螺旋面的應用 螺旋樓梯

21、螺旋樓梯 1038.4 8.4 螺旋線與螺旋面螺旋線與螺旋面作圖步驟：（1）把螺旋面的H投影分為十二等分，每一等分就是螺旋梯上的一個踏面的H投影。螺旋梯踢面的H投影，分別積聚在兩踏面的分界線上，如圖中(11)2122(12)和(31)4142(32)。因此，在畫螺旋梯的兩投影時，只要按一個導程的步級數(shù)目等分螺旋面的H投影，就完成了螺旋梯的H投影。圖（a） 104作圖步驟：（2）畫第一級的V投影。第一級踢面1122的H投影積聚成一水平線段(11)2122(12)，踢面的底線12是螺旋面的一根素線，求出它的V投影1112后，過兩端點分別畫一豎直線，截取一步級的高度，得點21和22。矩形112122

22、12就是第一級踢面的V投影，它反映踢面的實形。圖（b） 105作圖步驟：（3）畫第二步級的V投影。過點31和32分別畫一豎直線，截取一步級的高度，得點41和42，矩形31324241就是第二級踢面V投影。以此畫出其余各步級的踏面和踢面的V投影。注意，第四步級和第十步級踢面平行于W面，它的V投影積聚成一豎直線段。第五及第九步級的踢面，由于被螺旋梯本身所擋住，它們的V投影是看不見的。各步級V投影圖（c）所示。 106作圖步驟：作圖步驟：(4)(4)畫螺旋梯板底面畫螺旋梯板底面的投影。梯板底面也的投影。梯板底面也是一個螺旋面，其形是一個螺旋面，其形狀和大小與梯級的螺狀和大小與梯級的螺旋面完全一樣，只是旋面完全一樣，只是兩者相距一個梯板沿兩者相距一個梯板沿豎直