第三節(jié)向量值函數(shù)在定向曲線(xiàn)上的積分

1、第三節(jié)第三節(jié) 向量值函數(shù)在定向曲線(xiàn)上的積分向量值函數(shù)在定向曲線(xiàn)上的積分( (第二類(lèi)曲線(xiàn)積分第二類(lèi)曲線(xiàn)積分) )二、問(wèn)題的提出二、問(wèn)題的提出四、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算四、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念一、定向曲線(xiàn)及其切向量一、定向曲線(xiàn)及其切向量一、定向曲線(xiàn)及其切向量一、定向曲線(xiàn)及其切向量1、 帶有確定走向的曲線(xiàn)稱(chēng)為帶有確定走向的曲線(xiàn)稱(chēng)為定向曲線(xiàn)定向曲線(xiàn)AB 用用 表示起點(diǎn)為表示起點(diǎn)為 A , 終點(diǎn)為終點(diǎn)為 B 的定向的定向曲線(xiàn)曲線(xiàn)(弧弧).的反向曲線(xiàn)記為的反向曲線(xiàn)記為定向曲線(xiàn)定向曲線(xiàn) .代表兩條不同的曲線(xiàn)代表兩條不同的曲線(xiàn)與與曲線(xiàn)曲線(xiàn) 的的參參數(shù)數(shù)方方程程寫(xiě)寫(xiě)

2、作作：定定向向曲曲線(xiàn)線(xiàn)AB ,:, )(, )(, )(battzztyytxx .,btBatA 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)終終點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)其其中中起起點(diǎn)點(diǎn)表表示示：的的參參數(shù)數(shù)方方程程也也可可用用向向量量定定向向曲曲線(xiàn)線(xiàn)AB ,:,)()()()(batktzjtyitxtrr .)(的的點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)參參數(shù)數(shù)表表示示其其中中ttr 2、定向光滑曲線(xiàn)上各點(diǎn)處的切向量的方向總是、定向光滑曲線(xiàn)上各點(diǎn)處的切向量的方向總是與曲線(xiàn)的走向相一致與曲線(xiàn)的走向相一致 .切向量為：切向量為：在其上任一點(diǎn)處的在其上任一點(diǎn)處的曲線(xiàn)曲線(xiàn)由參數(shù)方程給出的定向由參數(shù)方程給出的定向 )(, )(, )(tztytx .,取

3、取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取正正號(hào)號(hào)時(shí)時(shí)其其中中當(dāng)當(dāng) babaoxyABL二、問(wèn)題的提出二、問(wèn)題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實(shí)例實(shí)例: : 變力變力 F 沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn) L 所作的功所作的功,:BAL平面光滑曲線(xiàn)弧平面光滑曲線(xiàn)弧 jyxQiyxPyxF),(),(),(力力常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1 jyixMMiiii . ABFW,),(),(),( jQiPFiiiiii 取取,),(1 iiiiiMMFW ,),(),(iiiiiiseFW 即即oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF

4、 ix iy ,d),(),( LsyxeyxF ,coscos),( jiyxe 若記若記,dcos),(cos),( LsyxQyxPW 則則,),(),(1 niiiiiiseFW ,),(),(lim10 niiiiiiseFW 三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念,),(dcos),(cos),(,dcos),(dcos),(,),(coscos),(,),(),(),(,上的積分上的積分在定向曲線(xiàn)弧在定向曲線(xiàn)弧為向量值函數(shù)為向量值函數(shù)則稱(chēng)積分則稱(chēng)積分同時(shí)存在同時(shí)存在與與若積分若積分處的單位切向量處的單位切向量上點(diǎn)上點(diǎn)是定向弧是定向弧有界有界上上在在向量值函數(shù)向量值函數(shù)線(xiàn)

5、弧線(xiàn)弧面上一條光滑的定向曲面上一條光滑的定向曲為為設(shè)設(shè)LyxFsyxQyxPsyxQsyxPyxLjiyxeLjyxQiyxPyxFxoyLLLL 1.定義定義記為：記為： LryxFd),(即：即： LsyxeyxFd),(),( LsyxQyxPdcos),(cos),( LryxFd),( , )d( , )cosd ,( , )d( , )cosd ,LLLLP x yxP x ysQ x yyQ x ys若記則：則： LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),( LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(rdsyxed),( )dcos,d(cosss )d,d

6、(yx ,d稱(chēng)為定向弧元素稱(chēng)為定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素稱(chēng)為定向弧稱(chēng)為定向弧的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為L(zhǎng)rd.d),(d),(分分也稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積也稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積 LyyxQxyxP,稱(chēng)為定向積分曲線(xiàn)稱(chēng)為定向積分曲線(xiàn)L.d),(d),(稱(chēng)為積分表達(dá)式稱(chēng)為積分表達(dá)式y(tǒng)yxQxyxP 2. 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分存在的充分條件：第二類(lèi)曲線(xiàn)積分存在的充分條件：3.3.第二類(lèi)曲線(xiàn)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)1) 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分具有線(xiàn)性性質(zhì)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分具有線(xiàn)性性質(zhì).d),(,)(),(必存在必存在第二類(lèi)曲線(xiàn)積分第二類(lèi)曲線(xiàn)積分連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí)上上的曲線(xiàn)弧的曲線(xiàn)弧或分段光滑或分段光滑在光滑在光滑

7、當(dāng)當(dāng) LryxFLyxF LLLyQxPyQxPyQxPyQxPdddd)dd()dd(22112211 2) 對(duì)于定向積分曲線(xiàn)弧的可加性對(duì)于定向積分曲線(xiàn)弧的可加性.d),(d),(d),(d),(d),(d),(,2121 LLLyyxQxyxPyyxQxyxPyyxQxyxPLLL則則則則有向曲線(xiàn)弧有向曲線(xiàn)弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線(xiàn)弧是有向曲線(xiàn)弧設(shè)設(shè),)3LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān). LLyyxQxyxPyyxQxyxPd),(d),(d),(d),(四、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算四、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算,d),(d),(,0)()

8、(,)(),(,),(, ),(:, )(, )(22存在存在則第二類(lèi)曲線(xiàn)積分則第二類(lèi)曲線(xiàn)積分且且一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及以以在在上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在在的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為平面光滑定向曲線(xiàn)弧平面光滑定向曲線(xiàn)弧 LyyxQxyxPtytxbatytxLyxQyxPbattyytxxL定理定理ttytytxQtxtytxPyyxQxyxPbaLd)()(),()()(),(d),(d),( 且且說(shuō)明：說(shuō)明：2) 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分也是化為定積分進(jìn)行計(jì)算，第二類(lèi)曲線(xiàn)積分也是化為定積分進(jìn)行計(jì)算，但此時(shí)定積分的上、下限要根據(jù)題目中給定但此時(shí)定積分的上

9、、下限要根據(jù)題目中給定的定向曲線(xiàn)弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)來(lái)選定，的定向曲線(xiàn)弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)來(lái)選定，下限不下限不一定小于上限一定小于上限 .3) 計(jì)算第二類(lèi)曲線(xiàn)積分時(shí)，由于涉及到積分計(jì)算第二類(lèi)曲線(xiàn)積分時(shí)，由于涉及到積分曲線(xiàn)的定向問(wèn)題，曲線(xiàn)的定向問(wèn)題，要慎用對(duì)稱(chēng)性要慎用對(duì)稱(chēng)性. 一般地，一般地，在曲線(xiàn)積分化為定積分后在曲線(xiàn)積分化為定積分后再對(duì)定積分考慮能再對(duì)定積分考慮能否用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算否用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算 .,),(, ),()1方程代入方程代入要用曲線(xiàn)要用曲線(xiàn)上上定義在定義在yxLyxQyxP特殊情形特殊情形.:)(:)1(baxxyyL .d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 則則.

10、:)(:)2(dcyyxxL .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 則則例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxxyL 解解)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定積分的定積分化為對(duì)化為對(duì) y,2yx ABLxxyxxydd 1122d)(yyyy. 11到到從從 y 114d2yy.54 例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxxyL 解解)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定積分的定積分化為對(duì)化為對(duì) xxy xy

11、OBAOL 01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxxxd10 例例2).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(.,2222依次是點(diǎn)依次是點(diǎn)，這里，這里為有向折線(xiàn)為有向折線(xiàn)的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)求場(chǎng)力所做的功求場(chǎng)力所做的功運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)力作用沿曲線(xiàn)場(chǎng)力作用沿曲線(xiàn)一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在設(shè)有一平面力場(chǎng)設(shè)有一平面力場(chǎng)BAOOABLBOyxLBOxyLLjxixyF )0 , 1(A

12、)1 , 1(B解解,10:,2 xxy 1022d)22(xxxxxW 103d4xx. 1 yxo2xy (1) L的方程為的方程為,dd22 LyxxxyW功功,10:,2 yyx 104d5yy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B2yx yxo(2) L的方程為的方程為 1042d)22(yyyyyWyxo)0 , 1(A)1 , 1(B(3) L = OA+ AB OA 的方程為的方程為 ,10:,0 xyAB 的方程為的方程為 ,10:,1 yx W yxxyxOAdd22 102d)002(xxx.1 yxxyxABdd22 10d)102(yy被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同

13、，但路徑不被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同同而積分結(jié)果相同.)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直線(xiàn)段的直線(xiàn)段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓周的上半圓周針?lè)较蚶@行針?lè)较蚶@行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLxyL 例例3yBAoaa x解解: : (1) L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,0:,sin,cos ttaytaxxyLd2 ttadsin22033 32a 0ttad)sin( 132 334a 則則ta22sinyBAoaa x(2) L 的方程為的方程為,:, 0aaxy xyLd2 aaxd0.0

14、則則被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同同積分結(jié)果不同.)0 ,()0 ,()2(的直線(xiàn)段的直線(xiàn)段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)aBxaA 解解概念與性質(zhì)可以推廣到空間曲線(xiàn)概念與性質(zhì)可以推廣到空間曲線(xiàn), 空間有向曲線(xiàn)弧空間有向曲線(xiàn)弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(,),(),(處的單位切向量處的單位切向量上點(diǎn)上點(diǎn)是是zyxzyxe rzyxFd),( szyxezyxFd),(),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP sRQPd)coscoscos(,),( 處的切向量的方向角為處的切向

15、量的方向角為上點(diǎn)上點(diǎn)zyx:計(jì)算方法計(jì)算方法 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(.:,)()()(:battzztyytxx ttztztytxRtytztytxQtxtztytxPbad)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例422223()d2dd ,:, :01.yzxyz yxzxt ytzt t計(jì)算其中為的一段弧解解 ttttttttd322)(10223264 原式原式tttd)23(1046 .3515273 例例5)(.)0(:,ddd222222222取逆時(shí)針?lè)较蛉∧鏁r(shí)針?lè)较虻慕痪€(xiàn)的交線(xiàn)與與為為其中其中計(jì)算計(jì)算axyxzazyxz

16、xyzxy 解解: : 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,sin2,cos22taytaax , )20:(2sin ttaztttattatad2cos)cos1(8cos)cos1(4sin82023333 原式原式tttttad2cos4cos2cos2sin8205233 .43a 例例6., 2, 1:,d)(d)(d)(22為順時(shí)針?lè)较驗(yàn)轫槙r(shí)針?lè)较蜉S正向看軸正向看從從其中其中計(jì)算計(jì)算CzzyxyxCzyxyzxxyzC ozyxC解解: : 曲線(xiàn)曲線(xiàn) C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 02 原式原式tttcos)sincos

17、22( tttttd )sin)(cossin(cos )sin)(cos2(tt .2 20d)12cos2cos2sin2(tttt五、五、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系：兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線(xiàn)弧為設(shè)有向平面曲線(xiàn)弧為,),( 的的方方向向角角為為處處的的切切向向量量上上點(diǎn)點(diǎn)yxL LLsQPyQxPd)coscos(dd 則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線(xiàn)上（可以推廣到空間曲線(xiàn)上 ）例例.)1 , 1()0 , 0(,d),(d),(2的一段弧的一段弧到到從從為沿拋物線(xiàn)為沿拋物線(xiàn)其中其中積分積分

18、化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)把把yxLyyxQxyxPL 解解,10:,2 yyx L的方程為的方程為,412cos2yy ,411cos2y 原式原式 LsyyxQyyxyP.d41),(41),(222六、小結(jié)六、小結(jié)1、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念2、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算3、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當(dāng)曲線(xiàn)當(dāng)曲線(xiàn)L的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后之后（例如（例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常數(shù)），試問(wèn)如何表示是正常數(shù)），試問(wèn)如何表示L的方的方向向（如（如

19、L表示為順時(shí)針?lè)较?、逆時(shí)針?lè)较颍?？表示為順時(shí)針?lè)较?、逆時(shí)針?lè)较颍?？思考題解答思考題解答曲線(xiàn)方向由參數(shù)的變化方向而定曲線(xiàn)方向由參數(shù)的變化方向而定.例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當(dāng)當(dāng)t從從 0 變變到到 2時(shí)時(shí)，L取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?反反之之當(dāng)當(dāng)t從從 2變變到到 0 時(shí)時(shí)，L取取順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?一、一、 填空題填空題: :1 1、 對(duì)對(duì)_的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān)；的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān)；2 2、 設(shè)設(shè)0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 d

20、yyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于L的的_點(diǎn)點(diǎn), ,上限上限 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于L的的_點(diǎn)；點(diǎn)；4 4、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系是、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系是_ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界( (按按 逆時(shí)針?lè)较蚶@行逆時(shí)針?lè)较蚶@行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時(shí)針?lè)较蝠埿邪茨鏁r(shí)針?lè)较蝠埿? )； 3 3、 ydzdydx, ,其中為有向閉折線(xiàn)其中為有向閉折線(xiàn)ABCD, ,這里這里 的的CBA,依次為點(diǎn)依次為點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其中其