第2章數(shù)值表示及轉(zhuǎn)換

1、第2章 數(shù)值表示及轉(zhuǎn)換何賓2015.02n 常用碼制n 正數(shù)表示方法n 正數(shù)碼制轉(zhuǎn)換n 負(fù)數(shù)表示方法n 負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算n 定點(diǎn)數(shù)表示n 浮點(diǎn)數(shù)表示本章主要內(nèi)容常用碼制-二進(jìn)制碼制二進(jìn)制是以2為基數(shù)的進(jìn)位制，即：逢2進(jìn)1。n 在C/C+語(yǔ)言中，二進(jìn)制數(shù)以0b開(kāi)頭p 比如：0b1011，0b010111n 在匯編語(yǔ)言中，二進(jìn)制數(shù)以B/b結(jié)尾p 比如：1011B/1011b、010111B/01011b 常用碼制-十進(jìn)制碼制十進(jìn)制是以10為基數(shù)的進(jìn)位制，即：逢10進(jìn)1。n 在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，對(duì)十進(jìn)制數(shù)的表示沒(méi)有特殊的要求。 常用碼制-八進(jìn)制碼制八進(jìn)制是以8為基數(shù)的進(jìn)位制，即：逢8進(jìn)1。n 在C/C+語(yǔ)

2、言中，八進(jìn)制數(shù)以0開(kāi)頭p 比如：0123，0675n 在匯編語(yǔ)言中，八進(jìn)制數(shù)以O(shè)/o結(jié)尾p 比如：123O/123o、675O/675o 常用碼制-十六進(jìn)制碼制十六進(jìn)制是以16為基數(shù)的進(jìn)位制，即：逢16進(jìn)1。n 在16進(jìn)制計(jì)數(shù)規(guī)則中，只使用數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9和字母A/a、B/b、C/c、D/d、E/e、F/f表示。n 在C/C+語(yǔ)言中，十六進(jìn)制數(shù)以0 x開(kāi)頭p 比如：0 x1234，0 xE1DDn 在匯編語(yǔ)言中，十六進(jìn)制數(shù)以H結(jié)尾p 比如：1234H、E1DDH 常用碼制-不同進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)0000000100011120010

3、223001133401004450101556011066常用碼制-不同進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系7011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D常用碼制-不同進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系14111016E15111117F161,00002010171,00012111181,00102212191,00112313201,01002414常用碼制-BCD碼BCD碼（Binary-Coded Decimal ）亦稱二進(jìn)碼十進(jìn)數(shù)或二-十進(jìn)制代碼。用4位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示1位十進(jìn)制數(shù)中的09這10個(gè)數(shù)碼。n BCD碼可分為有權(quán)碼和無(wú)權(quán)碼兩類：

4、p有權(quán)BCD碼有8421碼、2421碼、5421碼，其中8421碼是最常用的；p無(wú)權(quán)BCD碼有余3碼、格雷碼（注：格雷碼并不是BCD碼）等。正數(shù)表示方法-正整數(shù)的表示n 對(duì)于一個(gè)四位十進(jìn)制數(shù)7531，用10的冪次方表示為：n 對(duì)于一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)10101，用2的冪次方表示為：n 對(duì)于一個(gè)三位八進(jìn)制數(shù)327，用8的冪次方表示為：n 對(duì)于一個(gè)四位十六進(jìn)制數(shù)13AF，用16的冪次方表示為：012310110310510701234212021202101287828301231616163161FA正數(shù)表示方法-正整數(shù)的表示推廣總結(jié)：n 對(duì)于一個(gè)N位的2進(jìn)制數(shù)，最低位為第0位，最高位為第N-1位。

5、其計(jì)算公式為：p Si為第i位二進(jìn)制數(shù)的值，取值為0或者1。p 2i為第i位二進(jìn)制數(shù)的權(quán)值。p Y為等效的十進(jìn)制數(shù)。0011221122.22SSSSYNNNN正數(shù)表示方法-正整數(shù)的表示n 對(duì)于一個(gè)N位的8進(jìn)制數(shù)，最低位為第0位，最高位為第N-1位。 p Si為第i位八進(jìn)制數(shù)的值，取值范圍為07。p 8i為第i位八進(jìn)制數(shù)的權(quán)值。p Y為等效的十進(jìn)制數(shù)。0011221188.88SSSSYNNNN正數(shù)表示方法-正整數(shù)的表示n 對(duì)于一個(gè)N位的16進(jìn)制數(shù)，最低位為第0位，最高位為第N-1位。 p Si為第i位十六進(jìn)制數(shù)的值，取值范圍為09，AF。p 16i為第i位十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)值。p Y為等效的十進(jìn)

6、制數(shù)。001122111616.1616SSSSYNNNNn 對(duì)于一個(gè)三位十進(jìn)制小數(shù)0.714，用10的冪表示為： n 對(duì)于一個(gè)五位二進(jìn)制小數(shù)0.10101，用2的冪表示為：321104101107543212120212021正數(shù)表示方法-正小數(shù)的表示正數(shù)表示方法-正小數(shù)的表示推廣總結(jié)：n 對(duì)于一個(gè)N位的2進(jìn)制小數(shù)，最高位為第0位，最低位為第N-1位。其計(jì)算公式為： p Si為第i位二進(jìn)制小數(shù)的值，取值范圍為0或者1。p 2-(i+1) 為第i位二進(jìn)制小數(shù)的權(quán)值。p Y為等效的十進(jìn)制小數(shù)。NNNNSSSSY22.221)1(22110十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)-十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)長(zhǎng)除法

7、n 采用除法，除數(shù)始終為2，將十進(jìn)制進(jìn)行分解，直到商為0結(jié)束。然后，按順序?qū)⒆詈蟮玫降挠鄶?shù)排在最高位，而最先得到的余數(shù)排在最低位。比較法n 讓需要轉(zhuǎn)換的正整數(shù)和不同的二進(jìn)制權(quán)值進(jìn)行比較。當(dāng)：p 需要轉(zhuǎn)換的正整數(shù)大于所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制權(quán)值時(shí)，得到1；并且轉(zhuǎn)換的正整數(shù)減去二進(jìn)制權(quán)值得到余數(shù)。然后，再用得到的余數(shù)與下一個(gè)二進(jìn)制權(quán)值進(jìn)行比較。p 需要轉(zhuǎn)換的數(shù)小于所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制權(quán)值時(shí)，得到0。并且不做任何處理。 十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)-十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)【例】使用長(zhǎng)除法將十進(jìn)制整數(shù)59轉(zhuǎn)成所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)59 2 = 29 . 1 29 2 = 14 . 114 2 = 7 . 07 2 = 3

8、. 13 2 = 1 . 11 2 = 0 . 1注：前面的數(shù)字表示商，后面表示的數(shù)字為余數(shù)。所以，十進(jìn)制正整數(shù)59所對(duì)應(yīng)二進(jìn)制數(shù)111011。十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)-十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)【例】使用比較法將十進(jìn)制整數(shù)59轉(zhuǎn)換所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)通過(guò)比較法，如下表所示，得到十進(jìn)制正整數(shù)59所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為111011。比較的數(shù)59592711331二進(jìn)制權(quán)值26（64）25（32）24（16） 23（8） 22（4） 21（2） 20（1）對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制值0111011余數(shù)5927113310十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)-十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)長(zhǎng)除法n 采用除法，除數(shù)始終為16，將十進(jìn)制進(jìn)

9、行分解，直到商為0結(jié)束。然后，按順序?qū)⒆詈蟮玫降挠鄶?shù)排在最高位，而最先得到的余數(shù)排在最低位。比較法n 讓需要轉(zhuǎn)換的正整數(shù)和不同的十六進(jìn)制權(quán)值進(jìn)行比較，當(dāng)：p 需要轉(zhuǎn)換的正整數(shù)大于所對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制權(quán)值時(shí)，得到商；并且轉(zhuǎn)換的正整數(shù)減去十六進(jìn)制權(quán)值與商乘積后得到余數(shù)。然后，再用得到的余數(shù)與下一個(gè)十六進(jìn)制權(quán)值進(jìn)行比較。p 需要轉(zhuǎn)換的數(shù)小于所對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制權(quán)值時(shí)，得到0。并且不做任何處理。十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)-十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)【例】使用長(zhǎng)除法將十進(jìn)制整數(shù)4877轉(zhuǎn)換成所對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)487716=304.13(D)30416=19.01916=1.3116=0.1注：前面的數(shù)字表示商，

10、后面表示的數(shù)字為余數(shù)。所以，十進(jìn)制正整數(shù)4877所對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制數(shù)為130D。 十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)-十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)【例】使用比較法將十進(jìn)制整數(shù)4877轉(zhuǎn)換成所對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù) 通過(guò)比較法，如下表所示，得到十進(jìn)制正整數(shù)4877所對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為130D。比較的數(shù)比較的數(shù)48777811313十十六六進(jìn)制權(quán)值進(jìn)制權(quán)值163（4096）162（256）161（16）160（1）對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的十六十六進(jìn)制值進(jìn)制值130D余數(shù)余數(shù)78113130正數(shù)碼制轉(zhuǎn)換-十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)長(zhǎng)乘法n 將小數(shù)乘以2，取其整數(shù)部分的結(jié)果。然后，再用計(jì)算后的小數(shù)部分依此重復(fù)計(jì)算，算到小數(shù)部分全為0為

11、止。在讀取整數(shù)部分的結(jié)果時(shí)，最先得到的整數(shù)放在小數(shù)的最高有效位，而最后得到的整數(shù)放在小數(shù)的最低有效位。比較法n 讓需要轉(zhuǎn)換的數(shù)和不同的二進(jìn)制權(quán)值進(jìn)行比較，當(dāng)：p 需要轉(zhuǎn)換的小數(shù)大于所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制權(quán)值時(shí)，得到1；并且轉(zhuǎn)換的小數(shù)減去二進(jìn)制權(quán)值得到余數(shù)。然后，再用得到的余數(shù)與下一個(gè)二進(jìn)制權(quán)值進(jìn)行比較。p 需要轉(zhuǎn)換的數(shù)小于所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制權(quán)值時(shí)，得到0。并且不做任何處理。 正數(shù)碼制轉(zhuǎn)換-十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)【例】使用長(zhǎng)乘法將一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換成所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù) 0.81252=1.625 取整是1 0.6252=1.25 取整是1 0.252=0.5 取整是0 0.52=1.0 取整是

12、1即：十進(jìn)制小數(shù)0.8125所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)表示為0.1101。 正數(shù)碼制轉(zhuǎn)換-十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)【例】使用比較法將一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換成所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)通過(guò)比較法，得到十進(jìn)制小數(shù)0.8125所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)為0.1101。 比較的數(shù)0.81250.31250.06250.0625二進(jìn)制權(quán)值2-1（0.5）2-2（0.25）2-3（0.125） 2-4（0.0625）對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制值1101余數(shù)0.31250.06250.06250負(fù)數(shù)表示方法一個(gè)N位的系統(tǒng)總共可以表示2N個(gè)數(shù)，因此一個(gè)有用的編碼就是使用一半可用的編碼（2N/2）表示正數(shù)，另一半表示負(fù)數(shù)。n 可以將一個(gè)比特

13、位設(shè)計(jì)成一個(gè)符號(hào)位，用于區(qū)分正數(shù)和負(fù)數(shù)。在這種表示方法中，最高有效位（Most Significant Bit，MSB）可以作為符號(hào)位。如果：p 符號(hào)位為1，所表示的數(shù)為負(fù)數(shù)。p 符號(hào)位為0，所表示的數(shù)為正數(shù)。n 在所有可能的負(fù)數(shù)編碼方案中，經(jīng)常使用兩種：p 符號(hào)幅度p 二進(jìn)制補(bǔ)碼負(fù)數(shù)表示方法-符號(hào)幅度表示法n 就是用MSB表示符號(hào)位，剩下的位表示幅度，如右圖所示。在一個(gè)8位的符號(hào)幅度系統(tǒng)中：p 十進(jìn)制數(shù)16表示為00010000p 而十進(jìn)制數(shù)-16表示為10010000最大負(fù)數(shù)最小的正數(shù)（0）計(jì)數(shù)值從全為1回卷到全為0 最小負(fù)數(shù)最大的正數(shù)最小的正數(shù)（0）順時(shí)針?lè)较蛑底兇蠓?hào)幅度 符號(hào)幅度表示

14、法負(fù)數(shù)表示方法-符號(hào)幅度表示法 用于數(shù)字系統(tǒng)中最不利的方面表現(xiàn)在：n 如果0到2N的計(jì)數(shù)范圍從最小到最大，則最大的正數(shù)將出現(xiàn)在所表示范圍的一半的地方，然后，跟隨最小的負(fù)數(shù)。n 最大的負(fù)數(shù)出現(xiàn)在范圍的末尾，更多的計(jì)數(shù)將出現(xiàn)回卷。這是由于不能表示2N+1。n 因此，在計(jì)數(shù)范圍內(nèi)，2N后面跟著0，這樣最大的負(fù)數(shù)就立即調(diào)整到最小的正數(shù)。 負(fù)數(shù)表示方法-補(bǔ)碼表示法補(bǔ)碼表示法n 由于上面的原因，引入了二進(jìn)制補(bǔ)碼的概念，如右圖所示。最小的負(fù)數(shù)最小的正數(shù)（0） 最大的正數(shù) 最大負(fù)數(shù)計(jì)數(shù)值從全為1回卷到全為0 順時(shí)針?lè)较蛑底兇?二進(jìn)制補(bǔ)碼 二進(jìn)制補(bǔ)碼表示法負(fù)數(shù)表示方法-補(bǔ)碼表示法n 在二進(jìn)制補(bǔ)碼編碼中，MSB仍

15、是符號(hào)位，1表示負(fù)數(shù)，0表示正數(shù)。n 在二進(jìn)制補(bǔ)碼中，0由一個(gè)包含所有0的比特模式所定義。其余的2N-1個(gè)數(shù)表示非零的正數(shù)和負(fù)數(shù)。p 由于2N -1是奇數(shù)， (2N -1)/2個(gè)編碼表示負(fù)數(shù)，(2N -1)/2-1個(gè)編碼表示正數(shù)。p 換句話說(shuō)，可以表示的負(fù)數(shù)比正數(shù)要多一個(gè)。p 最大負(fù)數(shù)的幅度要比最大正數(shù)的幅度個(gè)數(shù)要多一個(gè)。 負(fù)數(shù)表示方法-補(bǔ)碼表示法二進(jìn)制補(bǔ)碼編碼的不利的地方是，不容易理解負(fù)數(shù)。n 對(duì)于一個(gè)N位字長(zhǎng)的二進(jìn)制補(bǔ)碼來(lái)說(shuō)，其可以表示的有符號(hào)數(shù)（包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0）的范圍是： - 2N-1 2N-1 -1負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算-負(fù)整數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算n原碼轉(zhuǎn)補(bǔ)碼p 將該負(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的正數(shù)按位全部取反。p

16、 將取反后的結(jié)果加1?！纠繉?17轉(zhuǎn)換-17的二進(jìn)制補(bǔ)碼n 對(duì)應(yīng)的17的原碼為00010001n 按位取反后變成11101110n 結(jié)果加1，變成11101111 負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算-負(fù)整數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算 【例】將-35轉(zhuǎn)換為+35的二進(jìn)制補(bǔ)碼n 對(duì)應(yīng)的-35的補(bǔ)碼為11011101n 按位取反后變成00100010n 結(jié)果加1，變成00100011【例】將-127轉(zhuǎn)換為+127的二進(jìn)制補(bǔ)碼n 對(duì)應(yīng)的-127的補(bǔ)碼為10000001n 按位取反后變成01111110n 結(jié)果加1，變成01111111負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算-負(fù)整數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算n比較法p 得到需要轉(zhuǎn)換負(fù)數(shù)的最小權(quán)值，該權(quán)值為負(fù)數(shù)，以-2i表示，使

17、得其滿足： - 2i 需要轉(zhuǎn)換的負(fù)數(shù)；p 取比該權(quán)值絕對(duì)值2i小的權(quán)值，以2i-1，2i-2，20的冪次方表示；p 需要轉(zhuǎn)換的負(fù)數(shù)+2i ，得到了正數(shù)，以后的權(quán)值2i-1，2i-2， 20按照前面的方法和這個(gè)正數(shù)進(jìn)行比較。負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算-負(fù)整數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算 【例】使用比較法得到負(fù)整數(shù)-97所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制補(bǔ)碼 對(duì)于負(fù)的十進(jìn)制整數(shù)-97來(lái)說(shuō)，假設(shè)使用8位二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行表示，則其所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制補(bǔ)碼為10011111B，如下表所示。轉(zhuǎn)換的數(shù)-9731313115731權(quán)值-27（-128）26 （64）25（32）24（16）23（8）22（4）21（2）20（1）二進(jìn)制數(shù)10011111余數(shù)313131

18、157310負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算-負(fù)小數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算比較法n 得到需要轉(zhuǎn)換負(fù)數(shù)的最小權(quán)值，該權(quán)值為負(fù)數(shù)，以-20表示n 取比該權(quán)值絕對(duì)值2i小的權(quán)值，以2-1，2-2，2-N的冪次方表示。n 需要轉(zhuǎn)換的負(fù)數(shù)+1，得到了正數(shù)，以后的權(quán)值2-1，2-2， 2-N按照前面的方法和這個(gè)正數(shù)進(jìn)行比較。 負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算-負(fù)小數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算 【例】使用比較法得到負(fù)小數(shù)-0.03125所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制補(bǔ)碼。通過(guò)比較法，得到十進(jìn)制負(fù)小數(shù)-0.03125所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)為1.11111。轉(zhuǎn)換的數(shù)-0.031250.968750.468750.218750.093750.03125權(quán)值-20（-1）2-1（0.5）2-2（0

19、.25）2-3（0.125）2-4（0.0625）2-5（0.03125）二進(jìn)制數(shù)111111余數(shù)0.968750.468750.218750.093750.031250定點(diǎn)數(shù)表示定點(diǎn)數(shù)就是二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)在固定位置的數(shù)。二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)左邊部分的位被定義為整數(shù)位，而該點(diǎn)右邊部分的位被定義成小數(shù)位。通常表示為Qm.n格式，即：n m為整數(shù)部分的二進(jìn)制的位數(shù)。pm越大，表示數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍越大；pm越小，表示數(shù)的范圍越小；n n為小數(shù)部分的二進(jìn)制的位數(shù)。pn越大，表示數(shù)的精度越高；pn越小，表示數(shù)的精度就越低； 定點(diǎn)數(shù)表示 【例】將十進(jìn)制數(shù)-28.65625用定點(diǎn)二進(jìn)制的形式表示。使用前面所介紹的比較法，將-28.65625表示成Q7.5定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)1100010.01011B。轉(zhuǎn)換的數(shù)-28.6562535.343753.343753.343753.343753.34375權(quán)