巖石彈性本構(gòu)關(guān)系

1、5.1 綜述 5.2 巖石彈性本構(gòu)關(guān)系5.3 巖石流變理論5.4 巖石強(qiáng)度理論 第五章 巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論5.1 綜述研究對象：巖石或巖體.力學(xué)性質(zhì): 表現(xiàn)為彈性、塑性、粘性或者三者之間的組合，如粘彈性、彈塑性、粘彈塑性等表示。巖石力學(xué)問題的求解過程從物體的單元微元體出發(fā)，研究微元體的力的平衡關(guān)系（平衡方程）、位移和應(yīng)變的關(guān)系（幾何方程）以及應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系（本構(gòu)方程或物理方程），得到相應(yīng)的基本方程，然后聯(lián)立并結(jié)合物體的邊界條件求得整個(gè)物體內(nèi)部的應(yīng)力場和位移場。5.1 綜述幾個(gè)概念：a.體積力：分布在物體體積上的力，如重力和慣性力b.表面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力符號(hào)規(guī)定

2、(彈性力學(xué))：n在外法線的指向與坐標(biāo)軸的正向一致的面上,應(yīng)力的正向與坐標(biāo)軸的正向相同;n在外法線的指向與坐標(biāo)軸的正向相反的面上,應(yīng)力的正向與坐標(biāo)軸的正向相反;n正應(yīng)變以伸長為正,壓縮為負(fù);剪應(yīng)變以直角變小為正,變大時(shí)為負(fù);作用力和位移以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)5.1 綜述1. 1. 平衡方程平衡方程a.如右圖所示，從物體中取出一個(gè)z方向單位長度的微元體，在x和y方向上的尺寸各為dx,dy?？煽闯善矫鎲栴}b.由符號(hào)規(guī)定可知，應(yīng)力全都是正的。c.對于平面問題，應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)x和y的函數(shù)。d.設(shè)作用于左邊面的平均正應(yīng)力分量為x，由于右邊面在x方向上相差了dx的距離，則該面上的平均

3、正應(yīng)力分量表示為dxxxx同理，可表示出其他面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分布。5.1 綜述通過中心點(diǎn)C并平行于Z軸的直線為矩軸，列出力矩平衡方程：0CM021212121dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy0dxdydxdyxyyx即忽略3階小量，整理可得到即yxxy剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理5.1 綜述以x軸為投影軸，列出平衡方程：0 xF011111Xdxdydxdxdyydydydxxyxyxyxxxx0Xyxyxx經(jīng)整理得到0Yxyxyy同理，得y方向平衡方程平衡方程平衡方程5.1 綜述2. 幾何方程幾何方程物體在外力作用下將產(chǎn)生形狀和尺寸的改變，這種改變使物

4、體內(nèi)各點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，即各點(diǎn)都有位移。推導(dǎo)應(yīng)變分量與位移的關(guān)系。即幾何方程如右圖，在彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P，沿x軸和y軸的方向取兩個(gè)微小長度的線段PA=dx和PB=dy，設(shè)彈性體受力后，P，A，B三點(diǎn)移動(dòng)到P，A，B。用u，v表示P點(diǎn)在x和y方向的位移分量，則A點(diǎn)在x方向的位移分量為dxxuu5.1 綜述因此，線段PA的正應(yīng)變是：xudxudxxuuxyvdyvdyyvvy同理，線段PB的正應(yīng)變?yōu)椋篜A，PB二線段之間直角的改變，也就是剪應(yīng)變xy。由圖可知，剪應(yīng)變由兩部分組成，一部分是x方向的線段PA向y方向的線段PB的轉(zhuǎn)角yx，另一部分是y方向的線段PB向x方向的線段PA的轉(zhuǎn)角xy。因此PA的

5、轉(zhuǎn)角是：5.1 綜述由于P點(diǎn)在y方向的位移分量為v，A點(diǎn)在y方向的位移分量為：dxxvvxvdxvdxxvvyxyudyvdyyuuxy同理，PB的轉(zhuǎn)角是：PA，PB之間直角的改變，即剪應(yīng)變xy為yuxvxyyxxy5.1 綜述綜合以上三式，可得平面問題中的幾何方程為：yuxvyvxuxyyx可以看出，平衡方程和幾何方程與材料的性質(zhì)無關(guān)；只有本構(gòu)關(guān)系反映材料的性質(zhì)。5.2 巖石彈性本構(gòu)關(guān)系a.巖石本構(gòu)關(guān)系巖石本構(gòu)關(guān)系是指巖石的應(yīng)力或應(yīng)力速率與其應(yīng)變或應(yīng)變速率的關(guān)系。b.只考慮靜力問題，則本構(gòu)關(guān)系是應(yīng)力與應(yīng)變，或應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。c.巖石的變形性質(zhì)按卸載后是否可恢復(fù)，彈性和塑性d.彈

6、性和塑性是兩種物質(zhì)變形的性質(zhì)，與時(shí)間無關(guān)，屬即時(shí)變形。一般也是物質(zhì)變形的兩個(gè)階段，物質(zhì)在變形的初始階段呈彈性，后期呈塑性，包括巖石。巖石變形一般為彈塑性。e.本構(gòu)關(guān)系又分線彈性本構(gòu)、非線性彈性本構(gòu)、塑性本構(gòu)、各向同性本構(gòu)、非各向同性本構(gòu)f.物體的應(yīng)變或應(yīng)力隨時(shí)間而變化，則稱物體具有流變性流變性，流變本構(gòu)關(guān)系5.2 巖石彈性本構(gòu)關(guān)系a.巖石強(qiáng)度巖石強(qiáng)度是指巖石抵抗破壞的能力。破壞是指巖石材料的應(yīng)力超過了它的極限或者變形超了它的限制。b.破壞兩種形式：斷裂破壞和流動(dòng)破壞（顯著塑性變形或流動(dòng)現(xiàn)象）c.斷裂破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限，流動(dòng)破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到屈服極限。d.材料強(qiáng)度確定試驗(yàn)方法。單軸壓縮試

7、驗(yàn)單軸抗壓強(qiáng)度；單軸拉伸試驗(yàn)單軸抗拉強(qiáng)度；同時(shí)建立強(qiáng)度準(zhǔn)則。復(fù)雜應(yīng)力條件？（仿照單軸情況一一試驗(yàn)，建立強(qiáng)度準(zhǔn)則，難以實(shí)現(xiàn)）e.采用推理方法，提出一定假說，推測材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的原因，從而建立強(qiáng)度準(zhǔn)則，這些假說稱為強(qiáng)度理論。f. 巖石力學(xué)性質(zhì)：變形與強(qiáng)度，變形性質(zhì)本構(gòu)關(guān)系；強(qiáng)度性質(zhì)強(qiáng)度準(zhǔn)則5.2.1 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力平面應(yīng)力設(shè)所研究的物體為等厚度薄板，所受荷載與z軸垂直，在z方向不受力，并且由于板很薄，外力沿z軸方向無變化，可以認(rèn)為在整個(gè)板內(nèi)任何一點(diǎn)都有：z=0，zx=0，zy=0由剪應(yīng)力互等關(guān)系，可知xz=0，yz=0。只剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)力分量，x，y，xy=yx

8、，它們只是x和y的函數(shù)，不隨z而變化，因此，這種問題稱為平面應(yīng)力問題。5.2.1 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問題相反，設(shè)有很長的柱形體，如右圖的擋土墻，以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，所受荷載都垂直于Z軸而且沿z方向沒有變化，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是x和y的函數(shù)。如果近似的認(rèn)為墻的兩端受到光滑平面的約束，使之在z方向無位移，則任一橫截面在z方向都沒有位移，也就是w=0，所有變形都發(fā)生在xy面內(nèi)。這種情況稱為平面應(yīng)變問題。zx=zy=xz=yz=0，由于z方向伸縮被阻止，所以z05.2.2 平面彈性本構(gòu)關(guān)系在完全彈性的各向同性體內(nèi)

9、，根據(jù)胡克定律可知zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGvEvEvE1,1,1)(1)(1)(1式中，E為物體彈性模量；v為泊松比；G為剪切彈性模量，而)1 (2vEG5.2.2 平面彈性本構(gòu)關(guān)系平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題： zx=zy=xz=yz=0，z=0，代入上式得平面應(yīng)變問題本構(gòu)方程：xyxyxyyyxxyxzEvvvEvvvEvv)1 (21111)(22平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題： zx=zy=xz=yz=0，z=0，代入上式得平面應(yīng)力問題本構(gòu)方程：5.2.2 平面彈性本構(gòu)關(guān)系xyxyxyyyxxEvvEvE)1 (211第三方向應(yīng)變可表示為：)(yxzEv對比平面應(yīng)力

10、和平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系可以看出，只要將平面應(yīng)力問題本構(gòu)方程中有E換成E/(1-v2)，v換成v/(1-v)就可得到平面應(yīng)變問題的本構(gòu)5.2.3 邊界條件邊界條件邊界條件是求解彈性力學(xué)問題的重要條件，它可分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和應(yīng)力位移混合邊界條件。位移邊界條件設(shè)us，vs為物體的邊界位移，u0，v0表示邊界點(diǎn)在x，y軸方向的給定位移，則位移邊界條件為：us = u0 ，vs = v0應(yīng)力邊界條件如右圖所示，在物體邊界上取一斜面，N代表斜面AB的外法線方向，X，Y表示邊界上給定的面力在x，y軸方向的分量。設(shè)AB的長度為ds，5.2.3 邊界條件列出 平衡方程：),cos(),cos(yNx

11、NXyxx012),cos(),cos(1),cos(1),cos(1dsyNdsxNXyNdsxNdsdxXyxx),cos(),cos(yNxNXyxx除以ds，然后略去微量，從而得同理，可得出另一個(gè)方程，則平面問題的應(yīng)力邊界條件為：),cos(),cos(xNyNYxyy0 xF0Xyxyxx0YxyxyyyuxvyvxuxyyxxyxyxyyyxxEvvEvE)1 (211平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程本構(gòu)方程本構(gòu)方程5.2.4 平面問題求解),cos(),cos(yNxNXyxx),cos(),cos(xNyNYxyy邊界條件邊界條件三組8個(gè)方程，包含8個(gè)未知數(shù)3個(gè)應(yīng)力分量：x，y，xy3個(gè)應(yīng)變分量：x，y，xy2個(gè)位移分量：u，v5.2.4 平面問題求解求解彈性問題，有三種基本方法，即按應(yīng)力求解、按位移求解和混合求解。按應(yīng)力求解：按應(yīng)力求解：變換基本方程和邊界條件為應(yīng)力分量的函數(shù)，求出應(yīng)力分量后，代入本構(gòu)關(guān)系求出應(yīng)變分量，再代入幾何方程求出位移分量。按位移求解：按位移求解：變換基本方程和邊界條件為位移分量的函數(shù)，求出位移分量以后，代入幾何方程求應(yīng)變分量，再代入本構(gòu)方程求出應(yīng)力分量?；旌锨蠼猓夯旌锨蠼猓鹤儞Q部分基本方程和邊界條件為只包含部分求知函數(shù)，先求出這部分未知函數(shù)以后，再適當(dāng)?shù)姆匠糖蟪銎渌奈粗瘮?shù)5.2.5 巖石力學(xué)的習(xí)慣符號(hào)規(guī)定a.到目前為止有關(guān)力、位移、