第三章多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量第二節(jié) 邊緣分布第三節(jié) 條件分布第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分多維隨機(jī)變量及其分布布 由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .本章內(nèi)容是第二章內(nèi)容的推廣本章內(nèi)容是第二章內(nèi)容的推廣 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布及其分布. 但有但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠

2、，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述. 在打靶時(shí)在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對命中點(diǎn)的位置是由一對r.v(兩個(gè)坐標(biāo)兩個(gè)坐標(biāo))來確定的來確定的. 飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v (三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)-維度維度-經(jīng)度經(jīng)度-高度高度）來確定的等等）來確定的等等.第一節(jié) 二維隨機(jī)變量定義.),(),(),(,維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)向量或二則即：上的兩個(gè)隨機(jī)變量是定義在樣本空間設(shè)YXYYXXYX二維隨機(jī)向量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y的性質(zhì)有關(guān),而且還依賴于X和Y的相互關(guān)系,因此必須把(X,Y)作為一個(gè)整體加以研究. 為此為此,首先需要引入二維隨機(jī)向量首先需

3、要引入二維隨機(jī)向量(X,Y)的分的分布函數(shù)的概念布函數(shù)的概念.函數(shù)對于任意實(shí)數(shù), yx( , ),F x yP Xx Yy或稱為隨機(jī)的分布函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量,),(YX.的聯(lián)合分布函數(shù)和變量YX二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) )()(xXPxFxX的分布函數(shù)的分布函數(shù)一維隨機(jī)變一維隨機(jī)變量量yx,的看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)若將二維隨機(jī)變量),(),(YXYX落在以點(diǎn)就表示隨機(jī)點(diǎn)則分布函數(shù)的坐標(biāo)),(),(,YXyxF.),(矩形域內(nèi)的概率為頂點(diǎn)的左下方的無限yx(x,y)yxo落入任一矩形點(diǎn)這時(shí)),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性質(zhì)求

4、得 如下圖1212,P xXxyYy22122111(,)(,)(,)(,).F xyF x yF xyF x y分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)： ）（ 10( , )1F x y且, y對任意固定的(, )0Fy，對任意固定的x( ,)0F x (,)0F (,)1F 的不減函數(shù)或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x yF x yF x y）（3）對任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有二維離散型隨機(jī)向量二維離散型隨機(jī)向量只有有限對可能取的值如果

5、二維隨機(jī)變量),(),(iiyxYX.),(,是二維離散型隨機(jī)變量則稱或可列無限對YX記, ,1 , 2,ijijP Xx Yypi j滿足下列條件：其中ijp0ijp ）（ 1）（2111ijijp(, )X Y并稱為二維離散型隨機(jī)變量的分布律聯(lián)合分布律.XY或稱為隨機(jī)變量 和 的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律下表表示：它們的聯(lián)合分布律可用和離散型隨機(jī)變量,YX它們的聯(lián)合分布函數(shù)則由下面式子求出： ( , )iji jxx yyF x yp .121111ipppy.222122ipppy.21ixxx.21ijjjjpppy.yx例1 一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，3件次品每次從中取1件產(chǎn)品檢驗(yàn)

6、質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)兩次如下：和定義隨機(jī)變量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律試求YX解得：按概率的乘法公式計(jì)算及對：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示為),(YX二維連續(xù)型隨機(jī)向量二維連續(xù)型隨機(jī)向量如果存在的分布函數(shù)是設(shè)二維隨機(jī)變量),(),(YXFYX有使得對于任意的非負(fù)的函數(shù)yxyxf,),( , )( , )d

7、dyxF x yf u vu v (, )X Y則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量XY或稱為隨機(jī)變量 和 的聯(lián)合概率密度( , )(, )f x yX Y函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的概率密度具有以下性質(zhì)：概率密度),(yxf( , )0f x y ）（ 1( , )d d1f x yx y ）（2）（3內(nèi)的概率為）落在（上的區(qū)域是平面設(shè)GYXxoyG,(, )( , )d dGPX YGf x yx y）（4連續(xù)，則有在點(diǎn)若),(),(yxyxf2( , )F x yx y ( , )f x y例2由概率的性質(zhì) ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x y

8、GA其它以上式為概率密度，如果一個(gè)二維隨機(jī)變量),(YX.),(上的均勻分布服從區(qū)域則稱GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A二維隨機(jī)變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個(gè)點(diǎn)都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布二維均勻分布 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱則稱(X, Y)在區(qū)域在區(qū)域D上上(內(nèi)內(nèi)) 服從均勻分布。服從均勻分布。 其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易見，若（易見，若（X，

9、Y）在區(qū)域）在區(qū)域D上上(內(nèi)內(nèi)) 服從均勻分布服從均勻分布，對，對D內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)任意區(qū)域G，有，有其中，其中， 1、 2為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 10、 20、| |1，則稱，則稱(X, Y) 服從參服從參數(shù)為數(shù)為 1, 2, 1, 2, 的的二維正態(tài)分布，可記為二維正態(tài)分布，可記為 ),(),(222121NYX2. 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為,e121)y, x( f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 3例具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX( , )f x y(2)2

10、e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY試求:( )分布函數(shù)( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y xy 其他.2(1 e)(1 e),0,0( , )0,xyxyF x y其他.即有）（2GxyXOY上方的區(qū)域記為平面的直線把位于于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 定義個(gè)隨機(jī)變量上的是定義在樣本空間設(shè)nXXXn,21則12(,)nXXXnn稱為 維隨機(jī)向量或 維隨機(jī)變量個(gè)實(shí)數(shù)對于任意n12,nx xx函數(shù),12( ,)

11、nF x xx1122,nnP Xx XxXx維隨機(jī)變量稱為n12(,)nXXX的分布函數(shù)或.,21的聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)變量nXXX第二節(jié) 邊緣分布(, ),X YXY對于二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量 和 各自的(, )X YXY分布函數(shù)稱為關(guān)于 和 的邊緣分布函數(shù)( ),( )XYFx Fy記為概念概念( ),( )(, )XYFx FyX Y故邊緣分布函數(shù)可由的分布函數(shù)所確定(, )( , )X YF x y若二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知，則定義定義YxXP，)(xXPxFX),(lim),(yxFxFy),(lim),()(yxFyFyFxY同理：離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布離散型二維隨機(jī)變量的邊緣

12、分布邊緣分布律邊緣分布律,),(),(ijjipyYxXPYX的聯(lián)合分布率為設(shè)離散型隨機(jī)變量,.,2, 11iPPxXPjijii，的邊緣分布律為：XxxjijxxixxiXiiiPPxXPxFxF1)(),()(的邊緣分布函數(shù)為：Xx-,.,2, 11jPPxXPiijjj，的邊緣分布律為：YxxiijxxjxxjYjjjPPxXPyFyF1)(),()(的邊緣分布函數(shù)為：Y同理：同理：邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。例例1.已知已知(X,Y)的分布律為的分布律為xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。解：

13、解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故關(guān)于故關(guān)于X和和Y的分布律分別為：的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/52例把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè) .),(,2 , 1,的分布律及邊緣分布律求個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目分別表示投入第YXYX解)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(. 2 , 1 , 0,取由題設(shè)，各自的取值為YXYX均不可能，因而相應(yīng)的概率均為02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由對稱性

14、求得再由古典概率計(jì)算得 ：所有計(jì)算結(jié)果列表如下 ：(, )XYX Y和 的邊緣分布律可由的分布律確定( X,Y )關(guān)于Y的邊緣分布律( X,Y )關(guān)于X的邊緣分布律919494910091294092921949192910210ijijppXY由邊緣分布并不能唯一地確定聯(lián)合分布由邊緣分布并不能唯一地確定聯(lián)合分布連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣分布連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣分布),(),(yxfYX的概率密度為對于連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)為：X,),()(YxXPxFxFXdydxyxfx ),(：的邊緣概率密度函數(shù)為所以：XdyyxfxfX),()(：的邊緣概率密度函數(shù)為同理：YdxyxfyfY)

15、,()( )(, )XfxX YX稱為關(guān)于 的邊緣概率分布( )(, )YfxX YY稱為關(guān)于 的邊緣概率分布3例在區(qū)域設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服從均勻分布，求邊緣概率密度，解(, )X Y不難得到的概率密度他，, 0, 10, 6),(2其xyxxyxf則226d6(),01,( )( , )d0,.xxXyxxxfxf x yy其他6d6(),01( )( , )d0,.yyYxyyyfyf x yx其他(, ),X YG雖然的聯(lián)合分布是在 上服從均勻分布但是它們的邊緣分布卻不是均勻分布。關(guān)鍵詞離散型邊緣分布律連續(xù)型邊緣概率密度函

16、數(shù)第三節(jié) 條件分布)()()|(BPABPBAP推廣到隨機(jī)變量推廣到隨機(jī)變量 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)r.v. X, Y ， 在給定在給定Y取某個(gè)或某些值的取某個(gè)或某些值的條件下，求條件下，求X的概率分布的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布這個(gè)分布就是條件分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念在第一章中，我們介紹了條件概率的概念 .在事件在事件B發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率 例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以一個(gè)學(xué)生，分別以X和和Y 表示其體重和身高表示其體重和身高 . 則則X和和Y都是隨機(jī)變量，它們都

17、有一定的概率分布都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重體重X身高身高Y體重體重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 現(xiàn)在若限制現(xiàn)在若限制1.7Y1.8(米米), 在這個(gè)條件下去求在這個(gè)條件下去求X的的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布學(xué)生中求其體重的分布. 容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會很不一樣會很不一樣. 例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著例如，在條件分布中體重取大值

18、的概率會顯著增加增加 .條件分布的概念布函數(shù)為：是一個(gè)隨機(jī)變量，其分設(shè)XxxXPxFX,)(稱發(fā)生的條件下在事件,AxAxXPAxF,|)|(的條件分布函數(shù)發(fā)生的條件下在事件XA,離散型隨機(jī)變量的條件分布其分布律為：是二維離散型隨機(jī)變量設(shè),),(YX,1,2,.iji jP Xx Yypi j的邊緣分布律分別為：和關(guān)于關(guān)于YXYX),(1,1,2,iii jjP Xxppi1,1,2,.jji jiP Yyppj設(shè)0jp由條件概率公式可得,|,1,2,i jijijjjpP Xx YyP Xx YyiP Yyp的條件分布律條件下隨機(jī)變量上式稱為在XyYj若同樣,地0ip|iiP YyXx,ij

19、iP Xx YyP Xxijipp1,2,j 的條件分布律條件下隨機(jī)變量上式稱為在XxXj不難驗(yàn)證以上兩式均滿足分布律的基本性質(zhì)1例把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè)的條件分布律。條件下隨機(jī)變量求在個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目分別表示投入第XYYX0,2 , 1,解的條件分布律為的條件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y194914解解:例例2 Y X 0 1 pi. 07/157/307/10 17/301/153/10 p.j7/103/1013210/715/700,00|0XPXYP

20、XYP 在X=0的條件下00, 10|1XPXYPXYP(2)X=1 (2)X=1 條件下條件下9710/330/711,01|0XPXYPXYP9210/315/111, 11|1XPXYPXYP3110/ 730/ 7連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù).)()(),(),(的邊緣概率密度和分別是關(guān)于和的概率密度為設(shè)YXyfxfyxfYXYX的條件概率密度為時(shí)故XyY |( | )X Yfx y( , )( )Yf x yfy|( | )Y Xfy x( , )( )Xf x yfx的條件概率密度為時(shí)同理：YxX,dxyxfyxf),(),(dyyxfyxf),(),(的分布函數(shù)：的條件下，在條件

21、XyY 有了條件概率密度函數(shù)，我們就可以定義條件分布函數(shù)xYXYXdxyxfyYxXPyxF)|(|)|(|xYdxyfyxf)(),(的分布函數(shù)：的條件下，同樣：在條件YxX yXXYdyxfyxfF)(),(|2例具有概率密度和設(shè)隨機(jī)變量YX2211( , )0,xyf x y，其他|( | )X Yfx y求解( )Yfy( , )df x y x22 1| 10,yy，其他對符合| | 1x有的一切x221,1,( , )()2 1( )0,X YYxyf x yfx yyfy其他.兩事件兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件A,B獨(dú)立

22、獨(dú)立 .兩隨機(jī)變量的獨(dú)立性如何定義？第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義分別是二維隨機(jī)變量及設(shè))(),(),(yFxFyxFYX有所有若對函數(shù)的分布函數(shù)及邊緣分布yxYX,),( yYPxXPyYxXP ,即)()(),(yFxFyxFYX.是相互獨(dú)立的和則稱隨機(jī)變量YX分別是連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè))(),(),(,),(yfxfyxfYXYX獨(dú)立條件等價(jià)于的相互和則密度的概率密度和邊緣概率為YXYX,),()()(),(yfxfyxfYX( , ),( ),( )XYf x yfxfy在的一切公共連續(xù)點(diǎn)上成立相互獨(dú)立的條件等價(jià)于和是離散型隨機(jī)變量設(shè)YXYX,),(),(的),(iiyxYX取值的所有可能對

23、于 iiiiyyPxxPyyxxP,即., 2 , 1, 2 , 1,.jipppjiij是否獨(dú)立？與問：其他的聯(lián)合概率密度為：設(shè)隨機(jī)變量例YXyxxyyxfYX010 , 104),(),(1.24),()(10 xxydydyyxfxfX解：.24),()(10yxydxdxyxfyfY相互獨(dú)立所以YXyfxfyxfYX,)()(),(2例的分布律如下表所示設(shè)二維離散型隨機(jī)變量),(YX?,相互獨(dú)立和取何值時(shí)，當(dāng)YX解的邊緣分布律分別為YX,則有相互獨(dú)立和若,YX 1111,212()939P XYP XP Y.91,92解得均成立對所有此時(shí)iijiijyxppp,.相互獨(dú)立和即YX 11

24、11,313()18318P XYP XP Y313121ipX1819121321kpY2例一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812時(shí)，他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79時(shí)設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間是相互獨(dú)立的，求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘（1/12小時(shí)）的概率 解達(dá)辦公室的時(shí)間，則分別是負(fù)責(zé)人和秘書到和設(shè)YX其他，, 0,128,41)(xxfX其他，, 097,21)(yyfY的概率密度為由獨(dú)立性得),(YX1,812, 79,( , )( )( )80,.XYxyf x yfx fy其他依題意求概率121YXP畫出區(qū)域：121 yx以及長方形97;128yx它們的公共部分是BC

25、CBG 四邊形記為：小時(shí)。故所求的概率為超過不兩人到達(dá)的時(shí)間相差才內(nèi)取值于僅當(dāng)12/1,),(GYX121YXPGGdxdyyxf的面積）(81),(GABCABC 的面積的面積的面積6112112112132122）（）（481121YXP于是即負(fù)責(zé)人和他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率為 1/48維隨機(jī)變量的情況推廣到隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以n設(shè)), 2 , 1()(),(21nixFxxxFiXni維隨機(jī)變量分別是n),(21nXXX的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù))()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn是相互獨(dú)立的。則稱nXXX,21相互獨(dú)立的充要條件是故連續(xù)型隨

26、機(jī)變量nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn相互獨(dú)立的充要條件是離散型隨機(jī)變量nXXX,21 nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP22112211,12,nx xx若對任意實(shí)數(shù)有 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論論: 我們先討論我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形. 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分布已知時(shí)的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)，如

27、何求出它們的函數(shù) Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布?第五節(jié)第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的分布（一）YXZ主要討論如下具體函數(shù)主要討論如下具體函數(shù)的分布（二）XYZ 的分布及（三）),min(),max(YXNYXM的分布（一）YXZ的分布律為設(shè)二維隨機(jī)變量),(YXijjipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若jikyxz則由上式及概率的加法公式，有 ijjikyYxXPzZP,iikixzYxXP,jjjkkyYyzXPzZP,或者的分布離散型：YXZ1例的分布律為設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的分布律試求YXZ解

28、,1012X YZ由可能取的值知 的可能值為:， ， ， ，且有1 . 01, 01YXPZP5 . 03 . 02 . 01, 10, 00YXPYXPZP2 . 01 . 01 . 00, 11, 01YXPYXPZP2 . 01, 12YXPZP的分布律為Z),(),(,yxfYX的概率密度為若對于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則YXZ( )( , )d dZx y zFzP Zzf x yx y 左下方的半平面積分區(qū)域是位于直線zyxYXZ連續(xù)型：( )( , )d dzyZFzf x yxy令yux( , )d(, )dz yzf x yxf uy yu于是( )(, )d dzZFzf

29、 uy yu y (, )d dzf uy yy u 求導(dǎo)上式兩邊對z( )(, )dZfzf zy yy的對稱性由YX,( )(, )dZfzf zx xx有卷積公式相互獨(dú)立時(shí)和當(dāng),YX( )()( )dZXYfzfzy fyy( )( )()dZXYfzfx fzxx或者2例其概率密度為正態(tài)分布都服從變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)和設(shè)),1 , 0(,NYX221( )e2xXfxx221( )e2yYfyy的概率密度求YXZ 解由卷積公式( )( )()dZXYfzfx fzxx22()221eed2xz xx22()421eed2zzxx2zxt令2224411( )eede22 zztZfzt則分布服從即)2 , 0(NZ3例其概率密度分別為相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量,YX其他, 010, 1)(xxfX其他, 00,)(yeyfyY的概率密度求隨機(jī)變量YXZ1解法利用公式xxzfxfzfYXZd)()()(僅當(dāng)?shù)亩x知由,yxffzxxxzx10010即0,不為上述積分的被積函數(shù)才時(shí)由上圖知)(zfZ1,ded)()(100)(zxxxzfxfzxzYZ0其他即)(zfZ,ded)()(00)(zzxzYZxxxzfxf10 z,e1z10 z,e ) 1e (z1z0其他：解法2的概率密度