-任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1、二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂第三節(jié)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 第十一章第十一章 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 nnuuuu1321)1(交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) :定理定理11.6 (萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法) 若若交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足滿(mǎn)足:則則; ),2,1()11 nuunn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿(mǎn)足其余項(xiàng)滿(mǎn)足.1 nnur）（0 nu1. 定義定義稱(chēng)滿(mǎn)足條件稱(chēng)滿(mǎn)足條件1), 2)的級(jí)的級(jí)數(shù)為數(shù)為萊布尼萊布尼茨交錯(cuò)級(jí)數(shù)茨交錯(cuò)級(jí)數(shù))()(43212uuuuSn )

2、()(543212uuuuuSn 1u 單調(diào)增加且有上界單調(diào)增加且有上界2nS12limuSSnn 22 nSnu2 1 先證先證部分和數(shù)列部分和數(shù)列S2n單調(diào)增加且有上界單調(diào)增加且有上界.)(212nnuu )(1222 nnuu)(21222nnnuuS 0 un 遞減遞減證證證明思路：證明思路：,lim2SSnn SSnn 12limSSnn lim+故級(jí)數(shù)收斂于故級(jí)數(shù)收斂于S, 且且,1uS :的余項(xiàng)的余項(xiàng)nSnnSSr )(21 nnuu 21nnnuur.1 nu,limSSnn 仍為萊布尼茨仍為萊布尼茨 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)2 再證再證SSnn 12lim又又12lim nnSnnS

3、2lim S )(lim122 nnnuS注注1 萊布尼茨定理中的條件萊布尼茨定理中的條件(1)可換成：可換成：)(1Nnuunn 不單調(diào)不單調(diào)2nu 反例：反例：，對(duì)對(duì)于于nnnn2)1(2)1(11 nnnu2) 1(2 0不單調(diào)，不單調(diào)，雖然雖然nu事實(shí)上，事實(shí)上，;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu單調(diào)增加單調(diào)增加3nu;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu)0lim( nnu121221 kkuk222 ,2322kku nnnu2) 1(2 nnnn2)1(2)1(11 但但21)21(11nnn 收斂收斂 111)1(npnn 例例1 證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)：證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)： pp31

4、211 pnn1)1(1).0( p常數(shù)常數(shù)收斂，并估計(jì)其余項(xiàng)收斂，并估計(jì)其余項(xiàng) rn解解pnnu1 因因),(0 npnnu1 且且 111 npun由由萊萊布布尼尼茨茨審審斂斂法法 pnnnur111 且且知知級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，需證需證un遞減趨于零遞減趨于零注注 1 用萊布尼茨判別法判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)用萊布尼茨判別法判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù))0()1(11 nnnnuu是否收斂時(shí)，要考察是否收斂時(shí)，要考察 un 是否單調(diào)減少，通常是否單調(diào)減少，通常有以下有以下三種三種方法：方法：比值法：比值法：)1()(1?1Nnuunn 差值法：差值法：)2()(0?1Nnuunn 函數(shù)法：函數(shù)法：)3(由由un 找一

5、個(gè)可導(dǎo)函數(shù)找一個(gè)可導(dǎo)函數(shù) f (x),)(nunf 使使?0)( xf再考察再考察得得收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)取取, 1 p 111nnn即即和和為為, 2ln 2ln111 nnn231211 nn111注注 1(第五節(jié)第五節(jié)) 11,1)1(nnn收斂收斂.11發(fā)散發(fā)散但但 nn絕對(duì)值級(jí)數(shù)絕對(duì)值級(jí)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題:斂斂散散性性的的關(guān)關(guān)系系？與與 11nnnnuu二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂 1. 定義定義 111)1(npnn 1nnu若若收斂收斂 ； 11nnu）（ 12nnu）（條件收斂條件收斂,例如：例如：絕對(duì)收斂：絕對(duì)收斂：條件收斂條件收斂: 1nnu發(fā)散發(fā)散. 1nnu若若收斂

6、，但收斂，但絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,.11發(fā)發(fā)散散但但 npn 11,1) 1(npnn收收斂斂；10 p. 1 p收斂收斂 11npn 例例2解解nnnnuvnnu)1(10 ，10 nnun需判定需判定遞遞減減、趨趨于于零零分析分析),(nf令令 10 nnun)0(10)( xxxxf2)10()10(21)( xxxxxf2)10(210 xxx)10(0 x單單調(diào)調(diào)減減少少，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(10 xfx 時(shí)，時(shí)，故當(dāng)故當(dāng)10 n)()1(nfnf )10(1 nuunn即即 nnulim又又10lim nnnnnn101lim 由由萊萊尼尼布布茨茨判判別別法法知知 110)1(nnnn 收斂

7、收斂. . 0 2. 定理定理 (絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系)證證 設(shè)設(shè) 1nnunv令令 0 1nnv收斂收斂, 12nnv,2nnnvuu 而而 1nnu 1nnu收斂收斂.)(21nnuu nv,nu 收斂收斂 ,定理定理11.7 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂， 1nnu則該級(jí)數(shù)必收斂則該級(jí)數(shù)必收斂.則則由收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，由收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，注注 收斂收斂1nnu絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 1nnu?由比較審斂法知由比較審斂法知,1 nnu 12nnv均收斂均收斂 12!sinnnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),1!sin22nnnun 解解例例3.!sin12 nnn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂即即,1

8、12收收斂斂而而 nn 12!sinnnn收收斂斂條件收斂、條件收斂、絕對(duì)收斂還是發(fā)散？絕對(duì)收斂還是發(fā)散？ 例例4解解nnnnuvnnu)1(10 ，絕對(duì)收斂性絕對(duì)收斂性110 nnuvnn)1(101 nn,1011發(fā)散發(fā)散而而 nn發(fā)散發(fā)散 1nnv由例2）知 110)1(nnnn 收斂收斂. . 綜合綜合1, 2 可知：可知： 110)1(nnnn 條件收斂條件收斂. . 條件收斂性條件收斂性22 關(guān)系關(guān)系收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu收斂收斂 1nnu?（一般地）（一般地）但但特殊地，特殊地，有有定理定理11.9設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足滿(mǎn)足 1nnu1lim

9、1 uunnn)1lim( unnn或或則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù),1發(fā)散發(fā)散 nnu.1發(fā)散發(fā)散且且 nnu, 1lim1 uunnn由由),(1Nnuunn 可得可得, 0lim nnu于是于是, 0lim nnu從而從而.1發(fā)散發(fā)散故故 nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu說(shuō)明說(shuō)明:（用比值法或（用比值法或 根值法判）根值法判）證證 ,!11 nnnnnnnnnnnuu1lim 又又nnn)11(lim 知知，由由定定理理9 .11 散？散？收斂、條件收斂還是發(fā)收斂、條件收斂還是發(fā)是絕對(duì)是絕對(duì)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1!nnnn例例5解解 nnnnnnn!11lim1 , 1 e .!1發(fā)發(fā)散散 nnnn ,

10、!11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnnn比值法判定比值法判定1. 利用部分和極限利用部分和極限:3. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法0lim nnu比值審斂法比值審斂法根值審斂法根值審斂法比較審斂法比較審斂法內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法）（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法）2. 利用收斂的必要條件利用收斂的必要條件:發(fā)散發(fā)散 不存在不存在SSnnlim 發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂判判 1nnu收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散判判 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu4. 萊布尼茨萊布尼茨判別法判別法: 收斂收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu 1)1(由正項(xiàng)級(jí)數(shù)由正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu收斂收斂, 能否推出能否推出 12nnu收斂收斂

11、?注意注意反之不成立反之不成立. 例如例如, 121nn收斂收斂 , 11nn發(fā)散發(fā)散 .思考題思考題解解, 00 nu由由),(1Nnun 得得,02nnuu 于是于是由比較法知由比較法知 12nnu收斂收斂 . )(212小小較較因因收斂，收斂，猜猜nnnnuuu 11!1)1()2nnn nnn2) 1(222112 1!1)2nn 12)3nnn發(fā)散發(fā)散;收斂收斂;收斂收斂.備用題備用題例例1-1 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：判定下列級(jí)數(shù)的斂散性： !31!211 !1)1(1nn 112) 1() 3nnnn問(wèn)題問(wèn)題 上述級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)上述級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù) 是否收斂是否收斂 ? 1nnv 111)