工程力學(xué)單輝祖-第三章力偶系

1、2FF力偶力偶：大小相等、方向相反且作用線不重合的兩個(gè)力組成：大小相等、方向相反且作用線不重合的兩個(gè)力組成的力系叫力偶。的力系叫力偶。用用 （F，F(xiàn)）表示）表示d力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂力偶系力偶系：作用在剛體上的一群力偶。：作用在剛體上的一群力偶。力偶的作用效應(yīng)力偶的作用效應(yīng)：使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（由兩個(gè)力共同作用引起）。：使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（由兩個(gè)力共同作用引起）。-取決于力的大小、方向；取決于力的大小、方向；-取決于力矩的大小、方向。取決于力矩的大小、方向。力的作用效應(yīng)力的作用效應(yīng)：331 力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩32 力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩33 力偶矩矢力偶矩矢34 力偶的等效條件和性質(zhì)力偶的等效

2、條件和性質(zhì)35 力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡 第三章第三章 力偶系力偶系431 力對(duì)點(diǎn)之矩矢力對(duì)點(diǎn)之矩矢一、平面中力對(duì)點(diǎn)之矩一、平面中力對(duì)點(diǎn)之矩OFABh力臂力臂矩心矩心FhFMO )( 平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量（平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量（N.mN.m），不僅與力的大小有關(guān)，且與矩心位置有關(guān)。），不僅與力的大小有關(guān)，且與矩心位置有關(guān)。 當(dāng)當(dāng)F=0 =0 或或 h=0 =0 時(shí)，時(shí)， =0=0。)(FMO說明：說明： 力對(duì)點(diǎn)之矩不因力的作用線移動(dòng)而改變。力對(duì)點(diǎn)之矩不因力的作用線移動(dòng)而改變。 互成平衡的兩個(gè)力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零?；コ善胶獾膬蓚€(gè)力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。ABOOSFM

3、 2)(531 力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩二、力對(duì)點(diǎn)之矩矢二、力對(duì)點(diǎn)之矩矢OFABhFrFMO )(ABOOSFhFM 2)()(FMOrv 力對(duì)點(diǎn)之矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量力對(duì)點(diǎn)之矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積（力始點(diǎn)相對(duì)于矩心的矢量與力矢量的矢量積）。積（力始點(diǎn)相對(duì)于矩心的矢量與力矢量的矢量積）。v 力對(duì)點(diǎn)之矩矢是過矩心力對(duì)點(diǎn)之矩矢是過矩心O的定位矢量（是力使剛體繞某點(diǎn)的定位矢量（是力使剛體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量）。轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量）。v 力對(duì)點(diǎn)之矩矢服從矢量的合成法則。力對(duì)點(diǎn)之矩矢服從矢量的合成法則。力力F對(duì)剛體產(chǎn)生繞對(duì)剛體產(chǎn)生繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于

4、：轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的強(qiáng)度轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的強(qiáng)度:力矩的大?。氐拇笮。‵.h）轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方位（力轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方位（力F與矩心與矩心O所在平面法向）所在平面法向）使剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向使剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向（矢量的指向按右手規(guī)則確定）（矢量的指向按右手規(guī)則確定）631 力對(duì)點(diǎn)之矩矢力對(duì)點(diǎn)之矩矢二、力對(duì)點(diǎn)的矩矢二、力對(duì)點(diǎn)的矩矢FrFMO)(kFjFiFFzyxkzj yi xrzyxOFFFzyxkjiFrFM)(kyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(xxyyzzFAFxiFyjFzkOxyzOzxyOyzxOyFxFFMxFzFFMzFyFFM)( ,)( ,)(r7因此，得力對(duì)點(diǎn)之矩矢在坐標(biāo)軸

5、上的投影表達(dá)式為：因此，得力對(duì)點(diǎn)之矩矢在坐標(biāo)軸上的投影表達(dá)式為：3、力對(duì)點(diǎn)之矩矢的基本性質(zhì)、力對(duì)點(diǎn)之矩矢的基本性質(zhì)力對(duì)點(diǎn)之矩矢服從矢量合成法則力對(duì)點(diǎn)之矩矢服從矢量合成法則 實(shí)踐表明：實(shí)踐表明：作用于剛體上的二力對(duì)剛體產(chǎn)生的繞任一點(diǎn)的作用于剛體上的二力對(duì)剛體產(chǎn)生的繞任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可以用該點(diǎn)的一個(gè)矩矢來度量，這個(gè)矩矢等于二力轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可以用該點(diǎn)的一個(gè)矩矢來度量，這個(gè)矩矢等于二力分別對(duì)該點(diǎn)之矩矢的矢量和。分別對(duì)該點(diǎn)之矩矢的矢量和。831 力對(duì)點(diǎn)之矩矢力對(duì)點(diǎn)之矩矢三、合力矩定理三、合力矩定理合力對(duì)任一點(diǎn)之矩矢，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)之合力對(duì)任一點(diǎn)之矩矢，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩矢的矢量和（平面力

6、系內(nèi)為代數(shù)和）。矩矢的矢量和（平面力系內(nèi)為代數(shù)和）。已知：力系（已知：力系（F1， F2， F3， ， Fn ）可以合成為一個(gè)合力）可以合成為一個(gè)合力FRiRFF則：則：)()(iOROFMFM平面力系：平面力系：)()(iOROFMFM9FFxFyOxyxy)()()(yOxOOFMFMFMxyyFxF nRFFFF21nixiiyiiROFyFxFM1)()(jFiFFyxi 平面內(nèi)力矩的解析表達(dá)式平面內(nèi)力矩的解析表達(dá)式10 解解：用力對(duì)點(diǎn)的矩法：用力對(duì)點(diǎn)的矩法例例1 已知：如圖已知：如圖 F、Q、l, 求：求： 和和)(FMO)(QMO sin)(lFdFFMOlQQMO)( cot)(

7、 lFlFFMyxOlQQMo)(應(yīng)用合力矩定理應(yīng)用合力矩定理 cotcossin)( lFlFFMO sin)(FlFMO11 解解：例例2 已知：如圖已知：如圖 F、R、r, , 求：求： )(FMA)()()(yAxAAFMFMFM應(yīng)用合力矩定理應(yīng)用合力矩定理ARFr FxFy sin)cos()(rFrRFFMyxA sinsin)cos(cos)(rFrRFFMAFrRFFMA cos)(12 解解：例例3 已知：如圖已知：如圖 q、l, 求：合力的大小和作用線位置。求：合力的大小和作用線位置。xqdxQxQMlCA0)(xClABqQ=qlCxdxqdx22qlqlxC 2lxC

8、13 解解：例例4 已知：如圖已知：如圖 q、l, 求：合力的大小和作用線位置。求：合力的大小和作用線位置。 ldxqQ0 xClABqQCxdxqdx32202qldxxlqxqllC 32lxC xdxqQxQMlCA0)( lxdxlq02qlQ 143-2 3-2 力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩一、力對(duì)軸之矩的概念與計(jì)算一、力對(duì)軸之矩的概念與計(jì)算 力對(duì)軸之矩代數(shù)量的正負(fù)號(hào)力對(duì)軸之矩代數(shù)量的正負(fù)號(hào)3-2 力對(duì)軸之矩1. 力對(duì)軸之矩的概念力對(duì)軸之矩的概念力對(duì)軸之矩：力對(duì)軸之矩：力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)之矩。力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)之矩。力對(duì)軸之矩是力對(duì)軸之矩是代數(shù)量代

9、數(shù)量，正負(fù)號(hào)按右手規(guī)則確定。正負(fù)號(hào)按右手規(guī)則確定。2. 力對(duì)坐標(biāo)軸之矩力對(duì)坐標(biāo)軸之矩3. 力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系 所以所以 FA = FB = M / d FA = FB即即 M + FAd = 0所以所以BlAM2M1M3FAFBDM1M2BDM2FDFOFABOM1ABODM1M2A已知：已知：F、a、b、，試求試求：MO（F）。解：利用力矩關(guān)系解：利用力矩關(guān)系解：解：(2) (2) 直接計(jì)算直接計(jì)算29例例4 已知：已知：P=2000N, C點(diǎn)在點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)。平面內(nèi)。 求：力求：力P 對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的矩。對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的矩。 45sinPPz解：解： 4

10、5cosPPxy 60sin45cosPPx 60cos45cosPPy)()()()(zzyzxzzPMPMPMPM 60cos45cos560sin45cos6PPxP 60)5( yP)mN(2 .38 30zzxyxxxxPPMPMPMPM600)()()()()()()()(zyyyxyyPMPMPMPMzP500 45sin5P)mN(7 .70 )mN(8 .8445sin6 P3133 力偶矩矢力偶矩矢一、力偶效應(yīng)的度量一、力偶效應(yīng)的度量xyzOAFBF 設(shè)在剛體上作用有力偶（設(shè)在剛體上作用有力偶（F，F(xiàn) ），），現(xiàn)研究它對(duì)現(xiàn)研究它對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 力偶（力偶（

11、F，F(xiàn) ）對(duì)）對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用一矩矢用一矩矢 M 來度量。來度量。)()(FMFMMOOFOBOAFOBFOAFOBFOAMFBAMM力偶矩矢力偶矩矢v 力偶矩矢力偶矩矢 M 與與O點(diǎn)位置點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，是自由矢量。是自由矢量。v 力偶矩矢由其模、方位力偶矩矢由其模、方位和指向確定。和指向確定。3233 力偶矩矢力偶矩矢二、力偶矩矢的確定二、力偶矩矢的確定xyzOAFBFFBAMM力偶矩矢力偶矩矢d力偶矩矢的模（大?。毫ε季厥傅哪＃ù笮。篎dFBAM力偶矩矢的方位：力偶矩矢的方位：沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）力偶矩

12、矢的指向：力偶矩矢的指向：按右手法則確定（表示力偶的轉(zhuǎn)向）按右手法則確定（表示力偶的轉(zhuǎn)向）力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和轉(zhuǎn)向。力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和轉(zhuǎn)向。力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用平面稱為平面力偶的三要素平面力偶的三要素。 33三、平面力偶（代數(shù)量）三、平面力偶（代數(shù)量）FFd力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)取決于： 力偶矩的大小； 力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向 +四、空間力偶（矢量）四、空間力偶（矢量）xyzMM iM jM k 力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用平面稱為平面力偶的三要素平面力偶的三要素。 3434 力偶

13、的等效條件和性質(zhì)力偶的等效條件和性質(zhì)一、力偶的等效條件一、力偶的等效條件xyzOAFBFM力偶矩矢力偶矩矢d性質(zhì)性質(zhì)1：力偶無(wú)合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶無(wú)合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。兩個(gè)力偶等效兩個(gè)力偶等效力偶矩矢相等力偶矩矢相等二、力偶的性質(zhì)二、力偶的性質(zhì)35力偶中兩個(gè)力在任意坐標(biāo)軸上投影之代數(shù)和為零。力偶中兩個(gè)力在任意坐標(biāo)軸上投影之代數(shù)和為零。力偶中兩力對(duì)任一點(diǎn)取矩之和恒等于力偶矩，而與力偶中兩力對(duì)任一點(diǎn)取矩之和恒等于力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。矩心的位置無(wú)關(guān)。性質(zhì)性質(zhì)4：力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，或移到另力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，或移到另一平

14、行平面，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。一平行平面，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。FFMFFMFFM366N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm性質(zhì)性質(zhì)5：只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。剛體的作用效應(yīng)。3721 MM 、21 MMM合合力力偶偶矩矩矢矢3-53-5 力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡設(shè)有兩個(gè)力偶設(shè)有兩個(gè)力偶 由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移動(dòng)，故可將其由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移動(dòng)，故可將其按照矢量

15、合成的方法進(jìn)行合成。按照矢量合成的方法進(jìn)行合成。21 MMAB21 MMABM一、力偶系的合成一、力偶系的合成38niinRMMMMM121 合合力力偶偶矩矩矢矢：對(duì)于對(duì)于 n 個(gè)個(gè)力偶組成的力偶系：力偶組成的力偶系：對(duì)于對(duì)于 n 個(gè)個(gè)力偶組成的平面力偶系：力偶組成的平面力偶系：niiRMM1 合合力力偶偶矩矩： 平面力偶系合成結(jié)果是一個(gè)合力偶平面力偶系合成結(jié)果是一個(gè)合力偶, ,其力偶矩為各力偶其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和矩的代數(shù)和。一、力偶系的合成一、力偶系的合成39力偶系平衡的充要條件是力偶系平衡的充要條件是: : 合力偶矩矢等于零，即所有各力偶矩矢的矢量和等于零。合力偶矩矢等于零，即所有各

16、力偶矩矢的矢量和等于零。 即01niiM 平面力偶系平衡的充要條件是平面力偶系平衡的充要條件是: : 合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。 0 1niiRMM000 zyxMMM力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程二、力偶系的平衡二、力偶系的平衡40 例例5 5 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件, ,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑 的孔的孔, ,每個(gè)鉆頭的力偶矩為每個(gè)鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩和求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321 mmmm4321mmmmM 解解: : 各力偶的合力偶距為各力偶的合力偶距為mN60)15(4 niiMM14102 . 04321 mmmmNBN3002 . 060 BNN 300 BANN根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有: : 由力偶只能與力偶平衡的性由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力質(zhì)，力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。01niiM42 例例6 6 已知：已知：M11kNm，l1m， 求平衡時(shí)求