冪級數(shù)的收斂域

1、1第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù) 1 1、定義：、定義：0,xI一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念0102001()()()()nnnuxu xuxux即為一數(shù)項級數(shù)即為一數(shù)項級數(shù).22 2、收斂點(diǎn)與收斂域：、收斂點(diǎn)與收斂域：3 3、和函數(shù)：、和函數(shù)：12( )( )( )( )nS xu xu xu xx收斂域33 3、和函數(shù)：、和函數(shù)：12( )( )( )( )nS xu xu xu xx收斂域顯然有顯然有,lim( )( ),nnSxS xx收斂域lim( )0,nnR xx收斂域12( )( )( )( )( )defnnnnR xS xSxuxux記稱為級數(shù)1( )nnu

2、x的則項,余4求求級級數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域. 解解 將此級數(shù)看成是帶參數(shù)的任意項級數(shù)處理將此級數(shù)看成是帶參數(shù)的任意項級數(shù)處理,1|( )|lim|( )|nnnuxux11111lim|1 11nnnnxnx1|1|x, 1|1|1)1( x當(dāng)當(dāng),20時時或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂., 1|1| x例例1 11lim1 |1|nnnx由達(dá)朗貝爾比值判別法，由達(dá)朗貝爾比值判別法，5, 1|1|1)2( x當(dāng)當(dāng), 1|1| x,02時時即即 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.,0時時當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級級數(shù)數(shù)收斂收斂;,2時時當(dāng)當(dāng) x 11nn級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)

3、散;(, 2)0,). 故原級數(shù)的收斂域為, 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng),20 xx或或求求級級數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域. 解解例例1 16二、冪級數(shù)二、冪級數(shù)1 1、冪級數(shù)的定義、冪級數(shù)的定義nnnxxa)(00 nnxxaxxaa)()(0010010nnnnnaa xa xa x級數(shù)級數(shù)稱為關(guān)于稱為關(guān)于 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).(1)(1)(2)(2)(1)(1)與與(2)(2)可通過變換可通過變換 互相轉(zhuǎn)換互相轉(zhuǎn)換. .0txx72 2、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域于原點(diǎn)對稱的區(qū)間于原點(diǎn)對稱的區(qū)間.冪級數(shù)的收斂域具有如下冪級數(shù)的收斂域具有如下特點(diǎn)

4、特點(diǎn)：對于冪級數(shù)對于冪級數(shù), ,主要研究以下問題：主要研究以下問題：1 1、求冪級數(shù)的收斂半徑、求冪級數(shù)的收斂半徑, ,收斂域收斂域( (區(qū)間區(qū)間) )；2 2、在收斂域、在收斂域( (區(qū)間區(qū)間) )上上, ,求冪級數(shù)的和函數(shù)；求冪級數(shù)的和函數(shù)；3 3、給定一個函數(shù)、給定一個函數(shù), ,在指定區(qū)間上將它展開成冪級數(shù)；在指定區(qū)間上將它展開成冪級數(shù)；8( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂； x 1x1x收斂區(qū)域收斂

5、區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域O2x2x幾何解釋：幾何解釋：9( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 證明證明, 0lim 1 nnnxa, )1(01收斂收斂 nnnxa定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂； ), 2 , 1 , 0(|1 nMxann使使得得, 0 M|11nnnnnnxxxaxa nnnxxxa|11 nxxM|1 10( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理

6、 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂； |11nnnnnnxxxaxa nnnxxxa|11 nxxM|1 |,|1xx ,| 01收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù) nnxxM, |0收收斂斂 nnnxa由比較判別法知由比較判別法知, , 證明證明 (1)(1)0();nnna x因此,級數(shù)絕對 收斂11( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對

7、對收收斂斂； 證明證明 , )2(2時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 則則級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)2xx 時時應(yīng)應(yīng)收收斂斂, 由由(1)的結(jié)論的結(jié)論,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾. . 12( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂； 2x 收斂收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂13x R R收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域O幾何解釋：幾何解釋：正數(shù)正數(shù) R 稱為冪級數(shù)稱為冪級數(shù) 的的收斂半徑收斂半徑.0nnna x 稱為冪級數(shù)

8、稱為冪級數(shù) 的的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.0nnna x(, )R R 的的收斂域收斂域：0nnna x(, ), , ),(, , R RR RR RR R之一之一14（1 1）僅僅在在0 x處處收收斂斂； （2 2）在整個數(shù)軸上均收斂；）在整個數(shù)軸上均收斂； 規(guī)定：規(guī)定：0,R ;收斂域 0, R收收斂斂域域 ),( . 問題：問題：如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?15則則冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為 設(shè)設(shè) |lim1nnnaa (或或 nnna |lim) 定理定理 , 00 , 0 , 1/R1lim| (0).nnnnaRaa直接地講，就是直接地講，就是1

9、lim(0).)| |nnnnRaa(或16證明證明0|nnna x對級數(shù)應(yīng)用比值判別法，|lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn , | x (1) (1) 如果如果0 當(dāng)當(dāng) 1| x時時, , 0nnnxa發(fā)發(fā)散散； 當(dāng)當(dāng) 1| x時時, , 0nnnxa絕絕對對收收斂斂； 故故0 時時, , 1 R； |lim1nnnaa17, 0 )2( 如果如果.)(0收收斂斂絕絕對對級級數(shù)數(shù) nnnxa; R收收斂斂半半徑徑, )3( 如如果果. 0 R收收斂斂半半徑徑證畢證畢.則對則對0 x, , 則對則對0 x, , 級數(shù)級數(shù) 0nnnxa發(fā)散，發(fā)散， ,10 , |lim11n

10、nnnnxaxa |lim1xaannn |lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn |lim1nnnaa18 例例2 2 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 1( 1) 2nnnnxn解解( 1) 20,nnnan1limnnnaRa122lim1nnnnn1lim2nnn12發(fā)散；發(fā)散；收斂；收斂；19例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1(1)nnxn1(2)!nnxn121(4)( 1)()2nnnnxn1!(3)3nnnn x212(5)1(1)nnnnxn20例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域

11、求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1 x時時, , 1 x時時, , 所所以以收收斂斂域域為為)1, 1 . . (1)(1)1nnxn解解|lim1 nnnaaR，11lim nnn發(fā)散；發(fā)散；收斂收斂. .10,nan21一般地，一般地，1,npnxn(1)limppnnn若若1 p, , 收收斂斂域域為為1, 1 ； 若若10 p, , 收收斂斂域域為為)1, 1 ； 若若0 p, , 收收斂斂域域為為)1, 1( . . |lim1 nnnaaR例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1 x時時, , 1,22例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半

12、徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1(2)!nnxn解解10,!nan111limlim !(1) !nnnnaRnnalim(1)nn ，23例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1!(3)3nnnn x解解!0,3nnna 11!(1)!limlim33nnnnnnannRa3lim1nn0,24作業(yè)：作業(yè)：2241(2,3,7,10)P說明：題目中的收斂區(qū)間指的是收斂域，即端點(diǎn)是要說明：題目中的收斂區(qū)間指的是收斂域，即端點(diǎn)是要討論判斷的討論判斷的. .25122lim1 nnnnn，21 .)21(2)1(1nnnnxn ( (4)

13、4)解解nnn21lim |lim1 nnnaaR例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1,2tx令11212( 1)()( 1)2nnnnnnnnxtnn則2( 1)0nnnan ，1,2t當(dāng)時1121( 1)( 1),2nnnnnnnn級數(shù)為收斂收斂1,2t 當(dāng)時11211( 1),2nnnnnnn級數(shù)為發(fā)散發(fā)散1,2xt 又故原級數(shù)的收斂半徑故原級數(shù)的收斂半徑1,2R 收斂域為收斂域為(0,1.(0,1.26例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 212(5)1(1)nnnnxn解解220,1(1)nnna

14、n1limnnnRa1(1)lim2nnne2e,2x當(dāng)時2211e2e211(1)(1)nnnnnnnnn級數(shù)為發(fā)散發(fā)散e,2x 當(dāng)時2211e2( 1) e211(1)(1)nnnnnnnnnn級數(shù)為發(fā)散發(fā)散所以收斂域為所以收斂域為 e e(,)2 22ee1,0)11(1)(1)nnnnnn 故（知識回顧知識回顧0nnna x冪級數(shù)1、收斂半徑定義及計算收斂半徑定義及計算正數(shù)正數(shù)R 滿足：滿足：|xR時，0nnna x絕對收斂；|xR時，0nnna x發(fā)散；1lim|nnnaRa1lim)| |nnnRa(或(0)na 2 2、收斂區(qū)間，收斂域、收斂區(qū)間，收斂域收斂區(qū)間：收斂區(qū)間：(,

15、)R R收斂域：收斂域：(, )R R端點(diǎn)處的判斷討論計算公式計算公式：27缺一不可缺一不可28 例例4 4 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 2112nnnx解解常見錯解常見錯解10,2nna 1limnnnaRa12lim2,.2nnn分析：分析：2135231,=2222nnnxxxx事實上缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項2112nna，20na ，不能用公式法求收斂半徑不能用公式法求收斂半徑, 用定義法求用定義法求.注注 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 為缺項級數(shù)為缺項級數(shù)( (有無窮多項有無窮多項 ) )0nnna x0na 則不能用公式法求其收斂半徑，必須用定義法求則不能

16、用公式法求其收斂半徑，必須用定義法求. . 29 例例4 4 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 2112nnnx解解 用定義法求收斂半徑用定義法求收斂半徑|)()(|lim1xuxunnn 21211lim22|nnnnnxx,|212x ,1212 x當(dāng)當(dāng),2|時時即即 x,1212 x當(dāng)當(dāng),2|時時即即 x,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散.所以原級數(shù)的收斂域為所以原級數(shù)的收斂域為).2, 2( 級數(shù)級數(shù) 絕對收斂；絕對收斂；2112nnnx級數(shù)級數(shù) 發(fā)散；發(fā)散；2112nnnx2.R 由定義，收斂半徑30 例例4 4 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 2112nnnx解解常見錯誤常見錯誤121,2ttnn令則21111222nttnntxx221122limlim.2tttnntaRa這里即使采用變換后這里即使采用變換后,仍然不能應(yīng)用公式求收斂半徑仍然不能應(yīng)用公式求收斂半徑.由于由于n取的是正整數(shù)值取的是正整數(shù)值,因此這里的因此這里的t仍然只能取奇數(shù)值，仍然只能取奇數(shù)值，故變換后的級數(shù)仍然是缺項級數(shù)故變換后的級