保險(xiǎn)精算利息理論課件講解

1、1第二章 利息理論2累積函數(shù)n累積函數(shù)是單位本金的累計(jì)額，以 表示。 n其中， ， 。)(ta)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA3累積函數(shù)a(t)01ta(t)01ta(t)01t 圖2-1 圖2-2 圖2-3na(t)通常為t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標(biāo)平面上表現(xiàn)為通過（0，1）點(diǎn)的曲線，如圖2-1和圖2-2所示na(t)為增函數(shù)時(shí)才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。n有時(shí)，當(dāng)利息定期結(jié)算時(shí)，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個(gè)臺階，如圖2-3所示。4利息率n利息率l1年內(nèi)1單位本金的利息就是實(shí)際年利息率 以 表示第n個(gè)基本計(jì)息時(shí)間單位的實(shí)際利率

2、 ) 1() 1()(1)(nAnAnAnainni)0()0() 1 (1) 1 (1AAAai5單利和復(fù)利n單利單利：只在本金上生息n設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為:n n第2年末的累積額為:n當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有itta1)()1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA6單利和復(fù)利n復(fù)利復(fù)利：在本金和利息上生息n設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為:n n第2年末的累積額為:n當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有)1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(

3、0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(tita)1 ()(7現(xiàn)值和貼現(xiàn)率8現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n在復(fù)利下，tti)1 (19現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n在單利下，10現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n貼現(xiàn)率：單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率: iiiiaaAAAd1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananAnAnAdn11iiiiiaad111)1 () 1 (1) 1 (iiid11111ddi1可見， di現(xiàn)值和貼現(xiàn)率12現(xiàn)值和貼現(xiàn)率13現(xiàn)值和貼現(xiàn)率14名義利率與名義

4、貼現(xiàn)率n名義利率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， )(mimmmii11)(15名義利率與名義貼現(xiàn)率n名義貼現(xiàn)率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， ()mdid111mmmdd1 1)(16利息力n利息力：衡量確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)。 定義利息力為，)1ln(11)1 (lim 11 limlim11)(imiimimmmmmmie 1故， e17年金n年金：每隔一個(gè)相等的時(shí)間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 n期首付年金n期末付年金18期首付年金現(xiàn)值1321nna 11n=dn1=19期末付年金現(xiàn)值nna321)1 (n=in1=20期

5、首付年金終值(1)(1)1nnnnsaiid21期末付年金終值nnnias)1(nnii)1 (1iin1)1 (22等額確定年金的終值和現(xiàn)值n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖 23一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，()1/2/(1) (1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd )(mna 24一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmammmi25一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年

6、收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的終值為，()()1nmmnsd26一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的終值為，()()1nmmnsi27永續(xù)年金 定義：收付時(shí)期沒有限制，每隔一個(gè)間隔永遠(yuǎn)連續(xù)收付的年金，相當(dāng)于前面定期年金當(dāng)時(shí)期n趨于無窮大時(shí)的值。 每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為， iaann1lim28永續(xù)年金daann1lim )()(1mmia )()(1mmda 其他永續(xù)年金現(xiàn)值為： 29變額年金變額年金是每次收付額不等的年金常見的有，n每次收付額等差遞增或遞減n每次收付額等比遞增30變額遞增年金如果在n年定期內(nèi)，第一年末

7、收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。 （nIa)23()23nnIan 31變額遞增年金21(1) ()1 23nniIan 21()1nnnnniIanan inaIannn )(dnaaInnn )(兩者相減后得代入上式后得 上述年金期首付時(shí)，年金現(xiàn)值為32變額遞減年金當(dāng)?shù)谝荒晔崭秐元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， ianDann)(上述定期遞減年金在期首付時(shí)，為 iainaDnn )1 ()( 變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系數(shù)之積 33等比遞增年金對等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付

8、額每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：2211211(1)(1)(1)(1)11111nnnnPVjjjjPVdiijdiij 設(shè)， 上 式 成 為 ：其 中 ，34等額分期償還n等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等數(shù)額的還款方式。n每次償還金額為n第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實(shí)際利率為i 35等額分期償還表 時(shí)期時(shí)期 付款金額付款金額 支付利息支付利息 償還本金償還本金 未償還貸款未償還貸款余額余額 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 總計(jì)總計(jì)

9、 nR innRRainRa1inRain kRa0inRaB36變額分期償還n變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的金額為Rk （k=1，2， ,n）37例 2.26一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下： 時(shí)期時(shí)期 付款金額付款金額 支付利息支付利息 償還本金償還本金 未償還貸款未償還貸款余額余額 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 總計(jì)總計(jì) nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)

10、/2 nR38償債基金n償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時(shí)為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個(gè)“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計(jì)的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。39等額償債基金n等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲蓄金額相等，設(shè)為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當(dāng)期支付的利息設(shè)為I，則借款人每期支付總金額為：n假設(shè)償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，40變額償債基金n設(shè)原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借

11、款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2， ，n），則，第k 期末向償債基金的儲蓄額為(Rk iB0)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0 ，即，n當(dāng)i= j時(shí)，41債券價(jià)值n按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時(shí)隨本金一次性支付所累計(jì)的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。n債券定價(jià)原理：債券定價(jià)原理：債券的理論價(jià)格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和。n基本符號和概念：基本符號和概念：P債券的理論價(jià)格； i投資者要求的收益率或市場利率；F債券的面值；C債券的償還值；r債券的息票率；rF每期