矩陣論——三維圖形應(yīng)用

1、矩陣在計(jì)算機(jī)三維圖形變換中的應(yīng)用姓名： 余 章 權(quán) 學(xué)號(hào)： 07127011 班級(jí)： 071271 學(xué)院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 07127011 余章權(quán)矩陣在計(jì)算機(jī)三維圖形變換中的應(yīng)用 摘要：論述如何利用矩陣的變換性質(zhì)實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的三維圖形變換，主要是通過平移、縮放和旋轉(zhuǎn)三種基本變換的組合來實(shí)現(xiàn)的，利用矩陣可以是圖形處理高速化。關(guān)鍵詞： 平移、縮放、旋轉(zhuǎn)1 引言三維圖形圖像的處理，顯示和形體構(gòu)造需要使用三維幾何變換，這些變換是通過基本的平移，縮放和旋轉(zhuǎn)組合而成的，每一個(gè)變化都可以表示為矩陣變換的形式，通過矩陣的相乘或連續(xù)可以構(gòu)造復(fù)雜的變換。2 矩陣與圖形變換計(jì)算機(jī)對(duì)圖形的處理，經(jīng)常用到各種變換，若用

2、解析式表示坐標(biāo)變換，計(jì)算過程和縮放程序都很復(fù)雜，用矩陣表示圖形的坐標(biāo)變換，特別是復(fù)合變換就顯得比較簡(jiǎn)單，利用矩陣進(jìn)行計(jì)算，可使圖形處理高速化。事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)空間圖形，圖形上每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的坐標(biāo)（x，y，z），它的標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)為一個(gè)四維的向量。設(shè)T為4 X 4變換矩陣：其個(gè)元素的性質(zhì)為：a,b,c,d,e,f,g,h,i產(chǎn)生比例，反射，旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)位變換，l,m,n產(chǎn)生沿x軸，y軸，z軸的平等移動(dòng)。P,q,r產(chǎn)生透視變換，s產(chǎn)生全比例變換。利用變換矩陣T可以對(duì)三維坐標(biāo)進(jìn)行各種變換，其基本關(guān)系式為：一般地，對(duì)圖形對(duì)平移變換的變換矩陣為：其中l(wèi),m,n分別沿x軸，y軸，z軸的方向的平移量，其坐

3、標(biāo)關(guān)系式為：對(duì)圖形做比例變換矩陣為：a,e,i分別表示坐標(biāo)x,y,z的放大率，其坐標(biāo)關(guān)系為：當(dāng)a,e,i均等于1時(shí)，則變換矩陣為：T=這時(shí)T產(chǎn)生全比例變換，其中S為整個(gè)圖形的放大率，當(dāng)s>1時(shí)整個(gè)圖形縮小，當(dāng)s<1時(shí)整個(gè)圖形放大。對(duì)圖形作錯(cuò)移變換的變換矩陣為：T=對(duì)圖形作關(guān)于xoy平面的反射變換的變換矩陣為：T=將圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為：T=將圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為：T=如果要對(duì)圖形連續(xù)施行幾種變換，則它的變換矩陣就是幾個(gè)相應(yīng)變換后矩陣的乘積，如對(duì)點(diǎn)A（x，y，z）先作比例變換，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn)角，則新舊坐標(biāo)關(guān)系為：（x,y,z,1）=3 利用矩陣進(jìn)行三維圖形變換 設(shè)三

4、維孔家那種任意一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)p(x,y,z,1),作三維圖形得打的點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為p(x,y,z,1)可得下面三維圖形集合變換矩陣。3.1 平移變換平移變換課將指定形體從當(dāng)前位置移到一個(gè)新的位置，而不改變其方向和大小。式中，Dx，Dy，Dz 分別是沿x軸，y軸，z軸方向上的平移量，圖1是三維平移變換示意圖。3.2 比例變換 比例縮放變換指定形體的大小，該比例變換以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，上式中的分別是沿x軸，y軸，z軸方向上的縮放比例，圖2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)的三維比例變換示意圖。 如果要以三維空間中的任意一點(diǎn)（x0,y0,z0）為參考點(diǎn)作比例變換，先平移至原點(diǎn)作比例變換后再平移回到點(diǎn)（x0,y0,z

5、0），比例變換矩陣為：3.3 旋轉(zhuǎn)變換三維旋轉(zhuǎn)變換是指空間形體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)的正方向通常按右手定則確定，即右手拇指指向轉(zhuǎn)軸方向，其余四指指向便是旋轉(zhuǎn)角的正交（如圖3）。旋轉(zhuǎn)變換后形體的大小和形狀不發(fā)生變化，只是空間位置相對(duì)原位置發(fā)生了變化。繞x軸旋轉(zhuǎn)：，其中為圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度；繞y軸旋轉(zhuǎn)：其中為圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的角度；繞z軸旋轉(zhuǎn)：其中為圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度。4 旋轉(zhuǎn)矩陣 設(shè)o-x1y1z1和o-xkykzk是以o為同一原點(diǎn)的不同坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)的基向量分別為和，則同一矢量可以用兩種不同的基表示出來。，其中為向量的坐標(biāo)陣列，右邊等式的兩邊用點(diǎn)乘，得到：，其中Alk為3X3標(biāo)量矩陣，定義為：由

6、此式可以判斷，相同元素之間的選擇矩陣為三階單位矩陣，即All（Akk）=E，并且于實(shí)際情況符合。我們用以下算例來實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)陣的應(yīng)用：5 三維圖形變換的統(tǒng)一矩陣面計(jì)算機(jī)繪制物體的投影圖，是將三維空間的物體用二維平面上的圖形來表示，因此，需要進(jìn)行圖形變換，而進(jìn)行圖形變換行之有效的方法是矩陣機(jī)器運(yùn)算。常用的三維圖形變換矩陣有繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣S1，繞x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣S2，平移矩陣S3，向y面的正投影矩陣S4，它們分別為其中分別為繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)的角度，l,m,n為平移參數(shù)6 計(jì)算機(jī)三維變換使用矩陣Direct 3D使用矩陣來執(zhí)行3D變換，解釋了矩陣是如何來建立三維變換。描述了一些變換的基本用法以及如何通過

7、矩陣合并來完成復(fù)雜的變換，平移Translation旋轉(zhuǎn)Rotation，縮放Scaling。在Direct 3D程序中，平移矩陣也可以使用D3dutil.cpp矩陣中的Translate輔助函數(shù)來創(chuàng)建此矩陣，下面的例子展示了Translate函數(shù)的源碼：D3DMATRIX Translate(canst float dx. Const float dy. Const float dz)D3DMTR x ret=identity Matrix();Ret(3. 0)=dx;Ret(3. 1)=dy;Ret(3. 2)=dz;Return=ret; end of Translate()使用 D3

8、dutil.cpp 文件中的Rotate x 和Rotate y 和Rotate z 輔助函數(shù)來創(chuàng)建放置矩陣，下面是Rotate x函數(shù)的代碼：D3DMATRIX.Rotatex(const float rads) float const sine;const =cos(rads);sine =sin(rads);D3DMATRIX ret=identity Matrix()；Ret(1 .1)=consine;Ret(2 .2)=consine;Ret(1 .2)=-sine;Ret(2 .1)=sine;Rerurn ret;/end of Rotatx()7 結(jié)語上述推導(dǎo)出的計(jì)算機(jī)三維圖形變換，怎樣利用矩陣的變換性質(zhì)，可以通過平移比例變化和旋轉(zhuǎn)三種基本變換的組合來實(shí)現(xiàn)，尤其是它的旋轉(zhuǎn)變換需要知道旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)軸。參考文獻(xiàn)：1王汝傳.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)M.北京:人民郵電出版社,2002.1801892何援軍.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)M.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.87913焦永廣.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)教程M.北京:理工大學(xué)出