材料力學(xué)第8章

1、第八章 變形能法材料力學(xué)研究力對物體的內(nèi)效應(yīng)，將研究對象看成是變形固體。變形固體在達(dá)到并維持新的平衡狀態(tài)時(shí)，內(nèi)部就有了勢能，稱之為變形能。根據(jù)能量守恒定律，外力做的功W全部轉(zhuǎn)化為物體內(nèi)部的變形能U，因而在數(shù)值上應(yīng)有 U=W (8-1) 這就是變形能原理變形能原理。它可表述為：在整個(gè)加載過程中，物體在整個(gè)加載過程中，物體的變形能在數(shù)值上等于外力做的功的變形能在數(shù)值上等于外力做的功。 采用與變形能的概念有關(guān)的定理和原理來解決問題的方法，統(tǒng)稱為變形能法變形能法。8、1 桿件變形能的計(jì)算桿件變形能的計(jì)算8、2 莫爾定理莫爾定理8、3 計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法8、4 卡氏定理卡氏

2、定理8、5 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理 8.1 桿件變形能的計(jì)算桿件變形能的計(jì)算一、基本變形時(shí)的變形能一、基本變形時(shí)的變形能 現(xiàn)在來研究在幾種基本變形下的變形能計(jì)算。1.軸向拉伸或壓縮軸向拉伸或壓縮 對于等直桿的軸向拉伸或壓縮，在線彈性范圍內(nèi)，外力于桿件的軸向變形量呈線性關(guān)系。ABoplD (a)plD l(b)plD 由式（8-1）可知，此功等于儲存于桿件內(nèi)的變形能。這樣桿件的變形能可寫為 (8-2a)a.若內(nèi)力沿桿件的軸線連續(xù)變化，即N=N(x)，可以先計(jì)算軸線長度為dx的微段內(nèi)的變形能dU，然后沿桿件長度對dU進(jìn)行積分 此時(shí)桿件的變形能為 (8-2b)221()

3、222N lEAUWP llEAlD D12WP lD,NlNPlEAD 2( )2llNx dxUdUEAb.若內(nèi)力是呈階梯形變化的，可以先計(jì)算出各桿件的變形能，然后再通過求和得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形能 (8-2c)式中m為組成結(jié)構(gòu)的拉壓桿件的數(shù)目。 拉壓桿件的單位體積內(nèi)的變形能（比能或能密度）為 (8-3)2112mmiiiiiiN lUUEA221222dUEudVEABoM j2.圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)(a)lMjjM 對于圓軸的扭轉(zhuǎn)，當(dāng)外力偶矩由零開始逐漸增加至最終值M時(shí)，扭轉(zhuǎn)角也由零逐漸增至最終值。在線彈性范圍內(nèi)，M與 的關(guān)系也是一條斜直線，如圖所示。 (b) 根據(jù)式（8-1），此功等于儲存于

4、圓軸中的扭轉(zhuǎn)變形能。圓軸只在兩端受外力矩作用時(shí)，扭矩為12WM,nnpM lMMGI于是，圓軸的扭轉(zhuǎn)變形能可寫為 (8-4a)a.若內(nèi)力偶矩沿圓軸的軸線連續(xù)變化，即 可得到整個(gè)圓軸的變形能為 (8-4b)221222pnpGIM lUWMGIl2( )2nllpMx dxUdUGI( )nnMMxb.若內(nèi)力偶矩沿軸線階梯形變化，得到整個(gè)圓軸的變形能為2112mmni iiiipiM lUUuGI(8-4c)圓軸單位體積內(nèi)的變形能，即純剪切狀態(tài)下的比能為 (8-5)3.平面彎曲平面彎曲a.對于直梁的平面彎曲，以自由端受到集中力偶矩的等直懸臂梁為例。當(dāng)集中力偶矩從零開始逐漸增至最終值時(shí)，懸臂梁自由

5、端的轉(zhuǎn)角也從零逐漸增至最終值圖(a)。221222dUGudVG(b)ABoqeMqeMl(a)eMj其中與 呈線性關(guān)系。集中力偶矩在梁變形過程中所作的功可以用三角形OAB的面積來表示(圖b)即 且純彎曲梁的變形能為 (8-6a)12eWMqeMeM lEIqeMM221222eM lEIUWMEIlqqb.對于直梁的橫力彎曲情況，可以從梁的x處取出一長為dx的微段，微段兩側(cè)分別作用有彎矩和剪力（圖a）。一般地說，彎矩與剪力應(yīng)是截面位置坐標(biāo)x的函數(shù)。于是對于圖b所示微段，利用式（8-6a）可以求出其變形能為對dU沿整個(gè)梁長的積分便可得到全梁的變形能為2( )2Mx dxdUEI2( )2llM

6、x dxUdUEI(a)ABlxdxEI1P2Pdx(b)( )xQ( )xM( )xM( )xQdq綜上所述，桿件的變形能在數(shù)值上等于桿件變形過程中外力所做的功。 在線彈性范圍內(nèi)，且在靜載荷情況下，由式(a)、(b)和(c)表示桿件的變形能可統(tǒng)一表示成 (8-7)式中的P和分別表示廣義力和與其相應(yīng)的廣義位移。即當(dāng)P表示力時(shí)，表示位移；當(dāng)P表示力偶矩時(shí)，表示角位移。在彈性體的情況下，廣義力與廣義位移之間的關(guān)系是線性的。12UWP二、彈性變形能的主要特征二、彈性變形能的主要特征(1)變形能是廣義力或廣義位移的二次函數(shù)，不能簡單疊加。若用 和 分別表示由外力和單獨(dú)作用時(shí)梁的橫截面彎矩，那么當(dāng)共同作

7、用時(shí)，梁的變形能為2221212( )( )( )( )( )222llllM x dxM x dxM x M x dxM x dxUEIEIEIEI1( )Mx2( )Mx12UUU1212( )( )lMx Mx dxUUEI(2)變形能僅與外力的最終值有關(guān)，而與加力次序無關(guān)。(3)當(dāng)桿件的各段截面不相同或內(nèi)力由不同函數(shù)表示時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算變形能。(4)桿件是滿足虎克定律的線彈性體,如對非線彈性體變形能將變?yōu)?)nlllUNdlM dMdqD 三、變形能的普遍表達(dá)式三、變形能的普遍表達(dá)式如圖，表示廣義力作用點(diǎn)沿其作用方向上的廣義位移，可以寫成 (e)式中 代表由廣義力 引起的廣義力 的作用點(diǎn)

8、沿作用方向上的廣義位移，余下類同。而 為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。12iiiiimi1 122iimmPPPP1212()imiimiiiiPPPPPPPPP1m1 i1PiPiP1p2p12mpm在按比例加載過程中， 也是常數(shù)，所以 與 也是線性關(guān)系。于是所做的功為 ，各載荷所作功之和在數(shù)值上等于結(jié)構(gòu)的變形能，即 (8-8)這一結(jié)論稱之為克拉貝隆原理克拉貝隆原理。它可敘述為線彈性體的變形能等于每一線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。1miiPPPPiiP12iiP112miiiUWP四、組合變形時(shí)的變形能四、組合變形時(shí)的變形能 利用變形能

9、的普遍表達(dá)式（8-8），可得到承受彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向拉壓聯(lián)合作用的桿件變形能。現(xiàn)于桿件中截取一長為dx的微段，若兩端橫截面上的軸力、彎矩和扭矩分別 、 和 (對微段dx而言， 、 和 應(yīng)看成外力)( )M x( )nMx( )N x( )M x( )nMx( )N xdx( )N x( )nMx( )nMx( )M x( )M x( )N x兩個(gè)端截面間的相對軸向位移、相對轉(zhuǎn)角和相對扭轉(zhuǎn)角分別為 、 和 。由于 、 和 各自引起的變形是相互獨(dú)立的，那么按式（8-8），微段dx內(nèi)的變形能應(yīng)為于是整個(gè)組合變形桿件的變形能為上式的積分，即 （8-9）dqdj( )N x( )M x( )nMx111(

10、 ) ()( )( )222ndUN x dlM x dMx dqjD 22( )( )222nllllnM dxNx dxM x dUdUEAEIGIq()dlD22( )( )222nnM dxNx dxM x dEAEIGIq223(22),2P aP aEAEA222,(12)2P aP aEAEA2 32 32 32 3,632P lP lP lP lEIEIEIEI例1:試求圖所示的正方形桁架試求圖所示的正方形桁架結(jié)構(gòu)的變形能，并求結(jié)構(gòu)的變形能，并求A、C兩點(diǎn)兩點(diǎn)的相對位移。已知各桿的抗拉的相對位移。已知各桿的抗拉壓剛度壓剛度EA相同。相同。解：軸力為： 變形能為：22ABBCCD

11、ADNNNN2222555111224(1)2222i iAB iBDiiiiN lN lNlP lUEAEAEAEABACDppl例1:試求圖所示的正方形桁架試求圖所示的正方形桁架結(jié)構(gòu)的變形能，并求結(jié)構(gòu)的變形能，并求A、C兩點(diǎn)兩點(diǎn)的相對位移。已知各桿的抗拉的相對位移。已知各桿的抗拉壓剛度壓剛度EA相同。相同。外力做的功為因?yàn)閁=W,故有由此可以求出12ACWP21(22)2ACP lPEA(22)ACPlEABACDppl例例2:圖為一平面剛架，試求圖為一平面剛架，試求A端的豎直位移。端的豎直位移。解解AB段：BC段：變形能為：11()M xPx2()M xPa剛架的抗彎剛度與抗拉剛度分別為

12、EI和EA222112222000()()()22allMxd xMxd xNxd xUE IE IE A1()0N x 2()N xpdy 2221122000()()22allP xd xP ad xPd xE IE IE A22()(1)232P aaPlE IE ApBACal2X1x變形能：A截面豎直位移：221()(1)2232APaaP lWPUEIEA2(1)232APaaPlEIEA例例2:圖為一平面剛架，試求圖為一平面剛架，試求A端的豎直位移。端的豎直位移。若a=l,且各桿橫截面為直徑等于d的圓形，l=10d,pBACal2X1x343APlPlEIEA得：例例2:圖為一平

13、面剛架，試求圖為一平面剛架，試求A端的豎直位移。端的豎直位移。上式括號內(nèi)的第二項(xiàng)小于0.05%，故在求解抗彎桿件結(jié)構(gòu)的變形或位移時(shí)，一般可 以不考慮軸力的影響。3243(1)34PlIEIAl343(1)36400PlEIpBACal2X1x例例3:圖示半圓形等截面曲桿位于圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力點(diǎn)受鉛垂力P的的作用，求作用，求A點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。解：由圖b可以看出，截面mn上的扭矩和彎矩分別為APROjdjpAmRmndj(b)j(1cos )nMPRjsinMPRj變形能為:整個(gè)曲桿的變形能:dUUmndj(b)j例例3:圖示半圓形等截面曲桿位

14、于圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力點(diǎn)受鉛垂力P的的作用，求作用，求A點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。2222npM RdM RdGIEIjj23223(1cos )sin22pP RdP RdGIEIjjj j2323344pP RP RGIEI23223(1cos )sin22llpP RdP RdGIEIjjj jldU設(shè)A的豎直位移為 ,在變形過程中，外力所做的功在數(shù)值上等于曲桿的變形能，即:由此求得:AWA例例3:圖示半圓形等截面曲桿位于圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力點(diǎn)受鉛垂力P的的作用，求作用，求A點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。mn

15、dj(b)j2323344pP RP RGIEI12APU33322pPRPRGIEI8.2 莫爾定理莫爾定理莫爾定理是一種能夠求解在復(fù)雜載荷作用下的結(jié)構(gòu)任一處廣義位移的有效工具?，F(xiàn)在以梁為例，利用變形能的概念和特性來導(dǎo)出莫爾定理。假設(shè)梁在外力 , 作用下發(fā)生彎曲變形，如圖a所示。今要確定在上述外力作用下，梁上任意一點(diǎn)C的撓度 。22( )2lMx dxUEI12C1p2pAB(a)首先由外力可求得梁的彎矩首先由外力可求得梁的彎矩M(x),盡而由式（盡而由式（8-6b)求出變求出變形能形能U在C點(diǎn)作用一個(gè)單位力 此時(shí)梁的彎矩為 而梁內(nèi)儲存的變形能為 接著將 ， 重新加到梁上。在 ， 重新加載的

16、過程中，單位力 又完成了數(shù)值為 的功。于是在圖c的情況下，梁的變形能為02( )2lMxdxUEI(b)BAC0p01 0( )Mx122100100UUUP0p2p1pCBA(c) 因?yàn)樵?和 共同作用下的彎矩為 ，所以還可以表示為 兩式是相等的，即： 021( )( )2lM xMxUdxEI0200( )( )2M xMxUUdxEI0P12，0( )( )M xMx將(a)和(b)式代入并考慮 可得： （8-10）這就是莫爾定理莫爾定理也稱莫爾積分莫爾積分。莫爾定理還可以求解平面曲桿的彎曲變形，對于小曲率曲桿，可把莫爾積分推而廣之，得到求曲桿彎曲變形的莫爾積分 （8-11）00( )(

17、 )lM x MxPdxEI0( )( )sM s MsdsEI01 利用莫爾定理計(jì)算桁架節(jié)點(diǎn)位移公式 （8-12）計(jì)算組合變形結(jié)構(gòu)位移的莫爾公式：01miiiiiN N lEA01( )( )miiliiM x MxdxEI0011( )( )( )( )mmniniiilliiniiMx MxN x NxdxdxGIEA使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：M0(x)與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可 自由建立。莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。M0去掉主動力，在所求 點(diǎn)，沿所求的方向加時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為

18、功的量綱。例：例：已知梁的抗彎剛度EI為常量，試用莫爾定理計(jì)算自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。2( )2qxM x xlqA(a)x1(b)由單位力引起的彎矩為0( )Mxx 解解 懸臂梁的彎矩方程為按莫爾定理得A截面的撓度為 240()()28lq xd xq lxE IE IxlqA(a)x1(b)例：例：已知梁的抗彎剛度EI為常量，試用莫爾定理計(jì)算自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。00( )( )lAM x MxfdxEIx1(c)由單位力偶引起的彎矩為: 0( )1Mx 由莫爾定理得00( )( )lAM x MxdxEIqxlqA(a)x1(b)例：例：已知梁的抗彎剛度EI為常量，試用莫爾定理計(jì)算

19、自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。2301()( 1)26lqxqldxEIEI例：桁架中各桿的抗拉(壓)剛度EA君相同，試求B、D兩點(diǎn)間的相對位移。31452llP2PDACB31452llDA111CB例例 圓截面鋼架受力如圖a所示，整個(gè)鋼架的抗扭剛度分別為 和EI，若不計(jì)剪力對變形的影響，試求鋼架C截面沿豎直方向的位移。pGIABlq(a)Cl在計(jì)算鋼架內(nèi)力時(shí)，各段內(nèi)力的正負(fù)可仍遵循桿件在各種基本變形下的內(nèi)力的符號規(guī)定。BC段 AB段 211()2qxM x 011()Mxx 22()M xqlx 22()2nqlMx 022()Mxx 02()nMxl 1x2x2x1x(b)ABC1ABl(a

20、)Clq利用式（8-13）可以求得C截面的數(shù)值位移為 221122212000()()()()()()22lllpqxqlxl dxqlxxdxdxEIEIGI000112222212000( )( )()()()()lllnnCpM x MxM x MxMx Mx dxdxdxEIEIGI4411242pqlqlEIGI例例 試求A的豎直位移及轉(zhuǎn)角?？箯潉偠菶I為常數(shù)( )(1cos )MPRjjpAdsdjjR(a)解解 曲桿由載荷引起的彎矩為在A點(diǎn)作用一個(gè)集中力得彎矩0( )(1cos)MRjjA1(b)0( )( )AlM s MsdsEI例例 試求A的豎直位移及轉(zhuǎn)角?？箯潉偠菶I為常

21、數(shù)A點(diǎn)的豎直位移為pAdsdjjR(a)A1(b)322013(1cos )2PRPRRdEIEIjj00( )( )MMRddsEIjjj0( )( )AsM s M sdsEIq0( )1MjA(c)例例 試求A的豎直位移及轉(zhuǎn)角?？箯潉偠菶I為常數(shù)在A點(diǎn)施加一單位力偶矩，可求出:00( )( )MMRdEIjjj20(1cos ) 1PRRdPREIEIjjpAdsdjjR(a)A1(b)83 計(jì)算莫爾積分的圖形互乘計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法法對于等截面梁的彎曲變形，在這種情況下,抗彎剛度EI為常數(shù) (8-10)變?yōu)?（a）由于式中的 是由單位力引起的內(nèi)力因而必定由直線或折線組成。00( )

22、( )lMx MxPdxEI01()()lMx Mx dxEI0( )Mx 設(shè)在載荷與單位力作用下的一段長為l的直桿的M(x)和 圖分別為如圖的形式。其中的圖為一段 斜直線。 此直線方程為 0()Mxk xb0( )Mx0( )MxCxxl0( )Mx0( )Mx( )M x( )M x將上式代入（a）式得 (b) 若用表示M(x)圖形的面積，用 表示M(x)圖的形心位置坐標(biāo)，則（b）式成為 （c）那么根據(jù)(c)式，莫爾積分公式可寫成1()()cckxbkxbEIEI00( )( )clMMx MxdxEIEI01()()lMxMx d xE I1( )( )llkM x xdxbM x dx

23、EIcX 將 代入 得 (b) 0()Mxkxb01()()lMx Mx dxE I01()()lMx Mx d xE I1( )( )llkM x xdxbM x dxEI若用表示M(x)圖形的面積，用 表示M(x)圖的形心位置坐標(biāo)，則成為 (c)1( )( )llkMx xdxbMx dxEI1()()cckxbkxbEIEIcX上式中的 實(shí)際上是圖中 M(x)與 圖的形心C相對應(yīng)的縱坐標(biāo)( )M x( )M xdxxcxCx0cMx0( )M x( )0M xl1()()cckxbkxbEIEIck xb0( )Mx若用 來表示之，那么根據(jù)莫爾積分公式可寫成1()()cck xbkxbE

24、IEI00( )( )lM x MxPdxEI00( )( )clMMx MxdxEIEI( )M x( )M xdxxcxCx0cMx0( )M x( )0M xl0cM這種將計(jì)算等直梁變形的莫爾積分運(yùn)算簡化為圖形間的代數(shù)運(yùn)算的方法稱為圖形互乘法，簡稱圖乘法圖乘法。只要是求等直桿（包括分段等直桿）的變形或位移，都可以使用圖乘法。 abh3l+a3l+blCh n+2 (n+1)llCn+2 lh4 3llC4 lh8 5llC8 3l頂點(diǎn)三角形 ： 12lh二次拋物線：23lh二次拋物線：13lhn 次拋物線：11lhn例例 1 外伸梁受載如圖所示。若抗彎剛度EI為常量，試求外伸端C的撓度。

25、 AqBCeMla解解 ： 梁在荷載作用下的彎矩圖，如圖所示。 28ql1 1C2 2CeMC3 3AqBCeMla其中面積為 的拋物線部分是由均布載荷引起的，面積為 和 的折線部分是由集中力偶引起的。由單位力作用引起的 圖由圖給出。 2123 8qll212eM l 3eM a 28ql1 1C2 2CeMC3 31230( )MxAqBCeMla圖中三部分圖M(x) 的形心對應(yīng)的 的值可利用線段之間的比例關(guān)系求出?？汕蟮腃截面的撓度為0001122331()cfMMMEI21 212()()()3 82232eeqlaaalM lM aEI3()3224eMalaqalE IE IABC1

26、01M02M03Ma0cM例2 抗彎剛度EI為常量的鋼架如圖a所示，試求A截面的豎直位移。BCAq2a2a解:首先畫出鋼架在載荷作用下的彎矩圖，如圖所示。22qa22qaBCAq2a2a 計(jì)算A截面的豎直位移，需要在A截面作用一個(gè)豎直方向的單位力,然后畫出相應(yīng)的 圖。 CBA12 a2a02M01MBCAq2a2a22qa22qa22C1C1( )oMx如圖，并利用相應(yīng)的公式，可以求出AB和BC兩桿的彎矩圖面積為23112222aqaqa232282233qaaqaCBA122qa22qa22C1C1 在圖d中與和的形心對應(yīng)的 為0143Ma0254MaBCAq2a2a2 a2a02M01M0

27、cM 于是由式可求出A截面的豎直位移001122AMMfEIEI43314856(2)334qaqaaqaEIEI1()()cck xbkxbEIEICBA1 例3:已知抗彎剛度EI為常量，試求中間鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。 AqBCDaa/2a/2a/2解: 在利用莫爾定理計(jì)算中間鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角時(shí)，應(yīng)該在C鉸的兩側(cè)截面上各作用一個(gè) 單位力偶矩，且方向相反（圖b）。 (a)(b)ABDC11AqBCDaa/2a/2a/2這是因?yàn)橹虚g鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角即C鉸兩側(cè)截面的轉(zhuǎn)角之和，在豎直上等于上述的一對單位力偶矩在各自角位移（轉(zhuǎn)角）上所做的功之和。 (a)(b)ABDC11AqBCDaa/

28、2a/2a/2 由荷載引起的子母梁的彎矩已按疊加法畫成圖c的形式由單位力偶矩引起 圖，則在圖 d中給出。28qa4pa4pa32101M02M03M04MqABCDaa/2a/2a/2ABCD1133C11C22C44C0( )Mx28qa4pa4pa33C11C22C44C32101M02M03M04M計(jì)算莫爾積分的圖乘法公式求得C鉸兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角為1()()cck xbkxbEIEI0000112233441()CMMMMEIq0000112233441()CMMMMEIq2123138424qaPaaaEI11211(1)24223242Pa aPaa3217()1648qaPaEI

29、28qa4pa4pa33C11C22C44C32101M02M03M04M8.4 卡氏定理卡氏定理一、卡氏定理及其證明一、卡氏定理及其證明 設(shè)一抗彎剛度為EI的等直懸臂梁的自由端A受集中力P的作用，不難求出懸臂梁內(nèi)儲存的變形能為梁內(nèi)的變形能在數(shù)值上等于外力功W，即2222 30( )226llMx dxP x dxP lUEIEIEI12AUWPfplxABAf由此求出懸臂梁自由端的撓度為 若將梁的變形能U對A截面處的集中力P求偏導(dǎo)數(shù)則有這正好等于自由端撓度。33APlfEI2 33()63UP lPlPPEIEIAUfP即梁的變形能對集中力P的偏導(dǎo)數(shù)等于P力作用點(diǎn)沿P力作用方向的位移。此即為

30、卡氏卡氏定理定理。卡氏定理可以敘述為：彈性體內(nèi)的變形能對任一載荷的偏導(dǎo)數(shù)等于該載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移。即 （8-15）nnUP現(xiàn)在以梁為例來證明這一定理。設(shè)作用在梁上的一組靜載荷 使梁發(fā)生彈性變形。與這些載荷響應(yīng)的位移為 。在變形過程中，上述載荷所做的功等于梁內(nèi)儲存的變形能，即變形能U為載荷 的函數(shù)，可以表示為 (a)12 ，12UU PP （ ，）12 ，12 、1p2pnp12n(a)如果給上述載荷中的某一個(gè) 以增量 ，則變形能U也將有一增量 ，這樣梁的彈性變形能可以寫成 (b)改變加載次序，首先在梁上加 ，然后再作用 首先加 時(shí)， 引起其作用點(diǎn)沿著與其同方向的位移 此時(shí)梁內(nèi)的變形

31、能應(yīng)為 nPndPnnUdPP1nnUUUdPPndP12 ，ndPndPnd12nndP d作用載荷 的變形能仍為（a）式，同時(shí) 在 方向上引起了位移 ，因此又繼續(xù)完成了 的做功。于是在上述改變次序的加載全部完成后，梁內(nèi)儲存的變形能應(yīng)為 (c)12PP、ndPnnndPnP212nnnnUdP ddPU因?yàn)閺椥泽w內(nèi)的變形能只取決于載荷與變形的最終值，而與加載次序無關(guān)，所以忽略二階微量，即可得 （8-15）這是卡氏定理卡氏定理的表達(dá)式。卡氏定理只適用于線彈性結(jié)構(gòu)?？ㄊ隙ɡ碇贿m用于線彈性結(jié)構(gòu)。12UU12nnnnnnUUdPdP ddPUPnnUP二、卡氏定理的特殊形式二、卡氏定理的特殊形式 1

32、、桁架、桁架 若整個(gè)桁架由m根桿組成，那么整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形能可用式（8-2c）計(jì)算，即 按照卡氏定理有 （8-16） 212miiiiN lUEA1mi iinininN lNUPEAP2、直梁、直梁 對于發(fā)生平面彎曲的直梁，變形能可以用式（8-6b）計(jì)算，即應(yīng)用卡氏定理得 2( )2lMx dxUEI2( )()2nlnnUMx dxPPEI 上式中只有彎矩M（x）與載荷 有關(guān)，積分變量x和 無關(guān)，因而可以將被積函數(shù)先對 求偏導(dǎo)數(shù)，然后再積分。 （8-17）( )( )nlnnUM xM xdxPEIPnPnPnP3、平面曲桿、平面曲桿 平面小曲率曲桿，其應(yīng)力分布與直梁很相似。彎曲變形能可以寫

33、成按照卡氏定理得 （8-18）222( )2sMs dsUabEI( )( )nsnnUM sM sdsPEIP4、組合變形桿件、組合變形桿件 對于承受拉伸（壓縮）、彎曲和扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用的桿件，變形能可以由式（8-9）寫出，即應(yīng)用卡氏定理得 （8-19） 222( )( )( )222nlllnMx dxNx dxMx dxUEAEIGInnUP( )( )( )( )( )( )nnlllnnnnN xN xM xM xMxMxdxdxdxEAPEIPGIP解解：AC段 ： 11( )()2eePMM xMxl11()1eM xxMl 11()2M xxP例例1: A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)截面的

34、轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。的撓度。pBACeM/2L/2LpBACeM1X/ 2L/ 2LBC段 ：pBACeM1X/ 2L/ 2L例例1: A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。的撓度。pBACeM1X/2L/2L2X22()()2eMPM xxl22()eM xxMl22()2eM xxMA截面的轉(zhuǎn)角:例例1: A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。的撓度。pBACeM1X/ 2L/ 2LpBACeM1X/2L/2L2X( )( )AleeUMxMxdxMEIMq121102222201()(1)21()2316leeleePMxxMdxEIllPMxM lPlx

35、dxEIllEIEIC截面的撓度為:例例1: A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。的撓度。pBACeM1X/ 2L/ 2LpBACeM1X/2L/2L2X( )( )clUM xM xfdxPEIP122211220011()()2222lleeeMMxxPPxMdxxdxEIlEIl231648eM lPlEIEI三、卡氏定理的特殊處理三、卡氏定理的特殊處理卡氏定理計(jì)算結(jié)構(gòu)某處沿某一方向的廣義位移，需要有與所求廣義位移的形式及方向相應(yīng)的廣義外力。如果在所求廣義位移處并沒有與之相應(yīng)的廣義力，則不能直接應(yīng)用卡氏定理求結(jié)構(gòu)的位移，而需要采用附加力法，即設(shè)想在所求的廣義位移處附加一個(gè)

36、與所求位移相應(yīng)的廣義力，然后再應(yīng)用卡氏定理進(jìn)行求解。 例例2 求剛架B帶內(nèi)的水平位移和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。解解:AB段：BC段： 11( )()fM xPaP x11()fM xxP22()M xPx2()0fM xPlaABCp(a)BACpfp2x(b)B截面的水平位移為 (d) B截面的水平位移為 (e)( )( )BlfM xM xdsEIP22BPalEIlaABCp(a)BACpfp2x(b)111220011()( )0lafPaP xx dxPxdxEIEI321()23fP lPalEI應(yīng)用卡氏定理，并在積分前令等于0，求得C截面的轉(zhuǎn)角為 和 為正值，說明其方向與附加力、附加力偶矩方向相同。1220011()(1)()(1)()2laCPadxPxdxEIEIPaalEIqCqBlaABCp(a)BACpfp2x(b)例例3 求B點(diǎn)的豎直和水平位移。解解:任意橫截面mm上的彎