高考常用的數(shù)學(xué)概念、公式和結(jié)論(高考必備)

1、 高考常用的數(shù)學(xué)概念、公式和結(jié)論一復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)的定義 形如a+bi(a、bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中實部是a,虛部是b(i是虛數(shù)單位)，其中2.復(fù)數(shù)的分類 3.復(fù)數(shù)相等 a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).特別地,a+bi=0a=0且b=0(a,bR).4.共軛復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)為=a-bi5.復(fù)數(shù)的模 (1)|z|=|a+bi|=. (2) (3) （4） 二簡易邏輯1.充分必要條件 當要判斷的命題與方程的根、不等式的解集，以及與集合有關(guān)，我們可以借助集合間的包含關(guān)系來進行充分條件與必要條件的判斷. 對于集合A=，B=，具體情況如下：若，則是的充分不必要條件；若，

2、則是的必要不充分條件；若，則是的充要條件；若，則是的既不充分也不必要條件.2.全稱命題和特稱命題的否定 (1)全稱命題p:xM,p(x)的否定為特稱命題p:M,p().(2)特稱命題p:M,p()的否定為全稱命題p:xM,p(x).三函數(shù)及其性質(zhì)1.函數(shù)的對稱性（1） 函數(shù)關(guān)于直線對稱.（2） 函數(shù)關(guān)于點對稱.2.函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)： （1）.（2）.（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則（4）奇函數(shù)在對稱區(qū)間上增減性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上增減性相反（5）若為偶函數(shù)，則.3.函數(shù)的周期性（1） （2） （3） （4）偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則周期 （5）奇函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱

3、，則周期4. 圖像的變換(1) 平移變換 原圖像對應(yīng)的函數(shù) 圖像變換過程變換后的圖像對應(yīng)的函數(shù) 向左平移個單位 向右平移個單位 向上平移個單位 向下平移個單位 （2）對稱變換 函數(shù)A 函數(shù)B A與B的圖像間的對稱關(guān)系 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱 關(guān)于原點軸對稱 關(guān)于直線軸對稱（3）翻折變換 原圖像對應(yīng)的函數(shù) 圖像變換過程變換后的圖像對應(yīng)的函數(shù) 將的圖像在軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，去掉軸下方部分，并保留原軸上方部分 將的圖像在軸右邊的部分沿軸翻折到軸左邊，替代原軸左邊部分，并保留原軸右邊部分 5.對數(shù)式與指數(shù)式的互化 6.對數(shù)相關(guān)性質(zhì)（1）對數(shù)基本性質(zhì)：(1) (2) (3) (4)（2）運算性

4、質(zhì)：(1) (2) (3)（3）換底公式：7.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)函數(shù)解析式 y=(a0且a1) y=(a0且a1)圖象 定義域 R 值域 R過定點 (0,1) (1,0)單調(diào)性a1時,在R上單調(diào)遞增0a1時,在(0,+)上單調(diào)遞增0a0且a1)； ()； ()(a0且a1)； (ln x).(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則u(x)v(x)=u(x)v(x);u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);=(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為=f(u)g(x).3.求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值與最

5、小值的步驟:求，令判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.五三角函數(shù)及三角變換1.任意角的三角函數(shù) （1）定義:設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sin=y, cos=x, tan=. （2）已知角終邊上一點，設(shè)（為坐標原點），則sin=, cos=,tan=. 注：各象限角的三角函數(shù)值的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2. 特殊角的三角函數(shù)值； ；.； ； . 3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)商數(shù)關(guān)系：tan.(+k,kZ)；(2)平方關(guān)

6、系：sin2cos214.誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin -sin-sin sin cos cos 余弦cos -coscos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口訣 函數(shù)名不變 符號看象限函數(shù)名改變符號看象限 誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限其中，“奇、偶”是指“k(kZ)”中k的奇偶性；“符號”是把任意角看作銳角時，原函數(shù)值的符號5正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖象定義域RRx+k,kZ值域-1,1-1,1R單調(diào)性在(kZ)上單調(diào)增;(kZ)上單調(diào)遞減在2k-,2k

7、(kZ)上單調(diào)增;在2k,2k+(kZ)上單調(diào)遞減在 (kZ)上單調(diào)遞增最值x=時,ymax=1;x=2k-,kZ時,ymin=-1x=2k(kZ)時,ymax=1;x=2k+(kZ)時,ymin=-1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(k,0)(kZ)對稱中心(kZ)對稱中心(kZ)對稱軸對稱軸x=k(kZ)周期22注：的周期為，的周期為.6.函數(shù)的周期.7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(+)=cos cos -sin sin ,余余正正符號異(2)cos(-)=cos cos +sin sin . (3)sin(+)=sin cos +cos sin ,正余余正符

8、號同(4)sin(-)=sin cos -cos sin (5)tan(+)=,(6)tan(-)= 8.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin 2=2sin cos .(2)cos 2=cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 .(3)tan 2=.9.公式的常見變式(1)tan tan =tan()(1tan tan ).(2)sin2=; cos2=; sin cos =.(3)1+cos =; 1-cos =;（4）1+sin =; 1-sin =.10.輔助角公式asin x+bcosx=sin(x+)(其中sin =,cos =).五解三角形1.正弦定理: =2R

9、(2R為ABC外接圓的直徑).變形:a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.sin A=, sin B=, sin C=.abc=sin Asin Bsin C.2.余弦定理: a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C.推論:cos A=, cos B=, cos C=.3.三角形常用面積公式(1)S=aha(ha表示邊a上的高); (2)S=absin C=acsin B;六平面向量1.平面向量的兩個重要定理(1)向量共線定理:向量a(a0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù),使b=a.(2)平面向量

10、基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù),使a=+，其中,是一組基底.2.平面向量數(shù)量積（1）定義：. (2)向量在向量方向上的投影為. (3)幾何意義：等于向量的與向量在向量方向上的投影的乘積.3.平面向量的運算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=(x1x2,y1y2); (2)若a=(x,y),則|a|. (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，則中點；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則；cos .4.平面向量平行與垂直的充要條件 若兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),

11、則(1)abab(b0)x1y2-x2y1=0.(2)abab=0x1x2+y1y2=0|ab|ab|. 七數(shù)列1.an與Sn的關(guān)系(1)Sn=.(2)若數(shù)列an的前n項和為Sn,則an= （需檢驗a1是否符合n2時,an的表達式,若符合則把通項公式合寫,否則應(yīng)分n=1與n2兩段來寫.）2.等差數(shù)列(1)通項公式:an=a1+(n-1)d. an=am+(n-m)d.(2)前n項和公式:Sn= (3)等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若，則；特別地若，則.仍是等差數(shù)列，公差為.4.等比數(shù)列(1)通項公式an=a1qn-1. an=amqn-m.(2)前n項和公式 ： Sn（）(3)等比數(shù)列的性質(zhì)：

12、在等比數(shù)列中，若，則；特別地若，則.仍是等比數(shù)列，公比為.5.求數(shù)列通項公式的方法（1） 累加法：已知數(shù)列滿足：，則可用累加法求它的通項公式.（2） 累乘法：已知數(shù)列滿足：，則可用累乘法求它的通項公式.(3) 構(gòu)造等差、等比數(shù)列 若，可構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，求得. ,則兩端同除以，即得.6.數(shù)列求和方法（1）分組求和法：若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比數(shù)列的和或差組成，則可用分組求和法，先分別求和而后再相加減.例如，可用分組求和法求它的前項和.（2）裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和. =; =;=.（3）錯位相減法：若一個數(shù)列的通項公式是

13、由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積組成，則可用錯位相減法求和.例如，可用錯位相減法求它的前項和.八不等式1.重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR); (2)(a,b0);(3)ab（）2(a,b); (4) (a,b0);(5)2(a2+b2)(a+b)2(a,bR,當a=b時等號成立).2.一元二次不等式的解集 若，是方程的兩不等實根（），則 的解集為的解集為的解集為 的解集為.提示:若a0(或Ax+By+C0);圓心(a,b),半徑為r;（2）一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);圓心(-,-),半徑.5.直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓的半徑為r，圓心到直

14、線的距離為d，則 dr相離；dr相切6.圓與圓的位置關(guān)系幾何法:設(shè)圓O1的半徑為r1,圓O2的半徑為r2 兩圓外離|O1O2|r1+r2; 2條內(nèi)公切線，2條外公切線 兩圓外切|O1O2|=r1+r2;1條內(nèi)公切線，2條外公切線 兩圓相交|r2-r1|O1O2|r1+r2; 2條外公切線 兩圓內(nèi)切|O1O2|=|r2-r1|;1條外公切線 兩圓內(nèi)含|O1O2|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2ab0)-=1 (a0,b0)y2=2px (p0)圖形范圍|x|a,|y|b|x|ax0頂點(a,0)(0,b)(a,0)(0,0)對稱性關(guān)于x軸,y軸和原點對稱關(guān)于x軸對稱焦點(c,0)(,

15、0)軸長軸長2a, 短軸長2b實軸長2a, 虛軸長2b離心率e=(0e1)e=1準線x=-漸近線y=x雙曲線相關(guān)結(jié)論：（1） 等軸雙曲線的方程的一般可設(shè)為；其漸近線方程為；離心率為.（2） 若已知雙曲線漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為.（3）當雙曲線焦點位置無法確定時，則雙曲線方程可設(shè)為 (4)雙曲線(a0,b0）的漸近線方程為；雙曲線的漸近線方程為.9.直線與橢圓的位置關(guān)系 將直線與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個一元二次方程,若0,則直線與橢圓相交;若=0,則直線與橢圓相切;若0時，表明兩個變量正相關(guān)；當r0時，表明兩個變量負相關(guān). (2)r的絕對值越接近與1，表明兩個變量的線性相

16、關(guān)性越強；r的絕對值越接近與0，表明兩個變量的線性相關(guān)性越弱.通常時，認為這兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.7.獨立性檢驗（1） 列聯(lián)表 總計 總計 (2) 利用隨機變量來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗. 獨立性檢驗公式，其中.(3) 隨機變量越大，說明變量A與變量B有關(guān)系的可能性越大；反之，越小. 當時，可以認為變量A與變量B沒有關(guān)系； 當時，有%的把握判定變量A與變量B有關(guān)系； 當時，有%的把握判定變量A與變量B有關(guān)系； 當時，有%的把握判定變量A與變量B有關(guān)系； 十二極坐標與參數(shù)方程1.極坐標 （1）定義 設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為.

17、以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標,記作M(,).（2）常用簡單曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為r的圓=r(02)圓心為(r,0),半徑為r的圓=2rcos(-)圓心為(r,),半徑為r的圓=2rsin(0)過極點,傾斜角為的直線=(R) 或 =+(R)過點(a,0),與極軸垂直的直線cos=a(-)過點(a,),與極軸平行的直線sin=a(0b0)的參數(shù)方程 (為參數(shù))（2） 直線參數(shù)方程的相關(guān)結(jié)論已知直線的參數(shù)方程為，則若直線與圓錐曲線相交于兩點，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則.若定點是弦的中點，則；設(shè)弦的中點為，則點對應(yīng)的參數(shù).十三不等式選講1.定理:如果a,b是實數(shù),則|a+b|a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成