大學數(shù)學--第七章線性變換第八節(jié)

1、從前面第五節(jié)的討論可以知道，并不是對于每從前面第五節(jié)的討論可以知道，并不是對于每一個線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣一個線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣成為對角形成為對角形. 下面先介紹一下，在適當選擇的基下下面先介紹一下，在適當選擇的基下,一般的一個線性變換能化簡成什么形狀一般的一個線性變換能化簡成什么形狀.在這一節(jié)，我們的討論限制在復數(shù)域中在這一節(jié)，我們的討論限制在復數(shù)域中. tttJ1000010000010000),(，其一般形狀如，其一般形狀如) 1 (21sAAA其中其中iikkiiiiiA111并且并且 1 , 2 , s 中有一些可以相等中有一些可以相等.例如例

2、如i10i,0100001000010000,210021002都是若爾當塊，都是若爾當塊，是一個若爾當形矩陣是一個若爾當形矩陣.410000041000004000000400000011000001而而一級若爾當塊就是一級矩陣，因此若爾當形矩一級若爾當塊就是一級矩陣，因此若爾當形矩陣中包括對角矩陣陣中包括對角矩陣.因為若爾當形矩陣是下三角形矩陣，所以不難因為若爾當形矩陣是下三角形矩陣，所以不難算出，算出，這一節(jié)我們將利用線性變換按它的不變子空間這一節(jié)我們將利用線性變換按它的不變子空間的直和分解的性質(zhì)來證明下列重要結(jié)論的直和分解的性質(zhì)來證明下列重要結(jié)論. 設設 A 的特征多項式為的特征多項式

3、為,)()()()(2121srsrrf 1 , 2 , s 是是 f ( ) 的全部不同的根的全部不同的根.由由知知 V 可分解成可分解成 A 的不變子空間的直和的不變子空間的直和V = V1 V2 Vs ,其中其中., 0)( |VViriiEA我們?nèi)缥覀內(nèi)缒茏C明在每個能證明在每個 Vi 上有一組基使上有一組基使 A |Vi 在該基下矩在該基下矩陣為若爾當形矩陣，則定理得證陣為若爾當形矩陣，則定理得證.為此需證明：為此需證明： ) 2() 0() 0() 0(.,211211121212121skkkskkkssssBBBBBBBBB于是于是 B在這組基下的矩陣為在這組基下的矩陣為)3(0

4、10100101001010k1k2ks我們對我們對 V 的維數(shù)的維數(shù) n 作歸納法作歸納法.n =1 .這時這時 V 有基有基 1 ，且，且 B 1 = 1 1 .由由B k 1 = 1k 1 = 0 ,得得 1 = 0 . 于是于是 1 ( B 1 =0 )，是要求的基，是要求的基.設線性空間維數(shù)設線性空間維數(shù) n 時，引理的結(jié)論成立時，引理的結(jié)論成立.對對滿足引理條件的滿足引理條件的 n 維線性空間維線性空間 V，考察，考察 B 的不變的不變子空間子空間 B V.若若 B V 的維數(shù)等于的維數(shù)等于 V 的維數(shù)，則的維數(shù)，則B V = V.于是于是B kV =B k-1 (B V ) =

5、B k-1V = B k-2V = =V. 但但 B kV = 0，得，得 V = 0，矛盾，矛盾. 故故 B V 的維數(shù)小于的維數(shù)小于n .將將 B 看成看成 B V 上的線性變換，仍有上的線性變換，仍有B k = 0 .由歸納法假設，由歸納法假設， BV上有基上有基) 4() 0() 0() 0(,211211121212121tkkktkkkttttBBBBBBBBB其中其中 k1 , k2 , , kt 皆為正整數(shù)皆為正整數(shù).由于由于 1 , 1 , , t 皆屬于皆屬于B V，有，有 1 , 2 , , t V使使 B 1 = 1 , , B t = t .排出下列向量集合：排出下列

6、向量集合：) 5 (,.,211211121212121tkkktkkkttttBBBBBBBBB,1st0,0,0,0,0,112211112211sttktkkkkkttBBBBBBBB其中實線方框中的向量組正是其中實線方框中的向量組正是 (4) 中的向量組，虛中的向量組，虛線方框中的向量組正是實線方框中各向量在線方框中的向量組正是實線方框中各向量在 B 下下的原像所成的向量組的原像所成的向量組. 最后一行中的最后一行中的tkktBB,11是是 B 的核的核 B -1(0) 中的向量，它們是中的向量，它們是 B V 的基中的基中的部分向量，故是線性無關的的部分向量，故是線性無關的. t+1

7、 , , s 是是 B -1(0) 中的向量，它們與中的向量，它們與tkktBB,11合起來正是合起來正是 B -1(0) 的一組基，并組成上述向量組的一組基，并組成上述向量組(5) 的最后一行的最后一行. 由由 知虛線方框中的向知虛線方框中的向量與最后一行的向量合起來就是量與最后一行的向量合起來就是 V 的一組基，且符的一組基，且符合引理的要求合引理的要求 ( 這時這時 kt+1 = = ks =1 ) .完成了歸完成了歸納法納法.現(xiàn)在回來證明定理現(xiàn)在回來證明定理 16 . 在在 Vi 上有上有.)(0EAiri作作,| )(iiVEAB則則.0Bir由引理，有由引理，有 Vi 的基使的基使

8、 B 的矩陣為形狀如的矩陣為形狀如 (3) 的若的若爾當形爾當形.于是于是 A | Vi = B + i E 在該基下的矩在該基下的矩陣陣為為 (3) 中矩陣與中矩陣與 i E 的和，即為的和，即為iiiiiiiii111111l1l2lt也是若爾當形也是若爾當形.把每個把每個 Vi 的上述基合起來是的上述基合起來是 V 的的基，基， A 在該基下的矩陣仍為若爾當形矩陣在該基下的矩陣仍為若爾當形矩陣.上述結(jié)果用矩陣表示就是：上述結(jié)果用矩陣表示就是： 定理定理 17 是借助于線性變換的不變子空間的直是借助于線性變換的不變子空間的直和分解及取適當基向量來達到證明的和分解及取適當基向量來達到證明的.這是用線性這是用線性變換的工具來解決矩陣問題的范例變換的工具來解決矩陣問題的范例. 但這方法用于但這方法用于計算一般矩陣的若爾當形卻不方便計算一般矩陣的若爾當形卻不方便.甚至也難于判甚至也難于判斷兩個斷兩個 n n 矩陣何時