數(shù)字運(yùn)算——容斥原理

1、數(shù)字運(yùn)算數(shù)字運(yùn)算容斥原理容斥原理2015038容斥原理“容斥原理容斥原理”一共有五種小題型，分別用五種不同的思一共有五種小題型，分別用五種不同的思路來路來解答。解答。對于對于“兩集合容斥原理兩集合容斥原理”：1. 如果題目涉及的是這樣五個(gè)量滿足條件如果題目涉及的是這樣五個(gè)量滿足條件A的數(shù)目滿的數(shù)目滿足條件足條件B的數(shù)目同時(shí)滿足條件的數(shù)目同時(shí)滿足條件A和和B的數(shù)目條件的數(shù)目條件A、B都不滿足的數(shù)目總數(shù)，那么選用都不滿足的數(shù)目總數(shù)，那么選用“兩集合標(biāo)準(zhǔn)型兩集合標(biāo)準(zhǔn)型”的的標(biāo)準(zhǔn)公式作答標(biāo)準(zhǔn)公式作答；AUB=A+B-AnB=總總-外外2. 如果題目涉及如果題目涉及“只滿足條件只滿足條件A的數(shù)目的數(shù)目”

2、或者或者“只滿足條只滿足條件件B的數(shù)目的數(shù)目”，那么標(biāo)準(zhǔn)公式無法解答，一般選用，那么標(biāo)準(zhǔn)公式無法解答，一般選用“兩集兩集合圖示標(biāo)數(shù)合圖示標(biāo)數(shù)”來完成答題來完成答題。容斥原理對于對于“三集合容斥原理三集合容斥原理”：1. 關(guān)于滿足兩個(gè)條件的描述，如果題目只涉及滿足條關(guān)于滿足兩個(gè)條件的描述，如果題目只涉及滿足條件件A、B的數(shù)目滿足條件的數(shù)目滿足條件B、C的數(shù)目滿足條件的數(shù)目滿足條件C、A的的數(shù)目，一般選用數(shù)目，一般選用“三集合標(biāo)準(zhǔn)型三集合標(biāo)準(zhǔn)型”的標(biāo)準(zhǔn)公式作答；的標(biāo)準(zhǔn)公式作答；2. 如果題目涉及如果題目涉及“只滿足條件只滿足條件A、B的數(shù)目的數(shù)目”，一般選用，一般選用“三集合圖示標(biāo)數(shù)三集合圖示標(biāo)數(shù)

3、”來作答來作答；3. 如果題目涉及如果題目涉及“滿足一個(gè)條件的數(shù)目滿足一個(gè)條件的數(shù)目”和和“滿足兩個(gè)滿足兩個(gè)條件的數(shù)目條件的數(shù)目”，只給了我們，只給了我們一個(gè)一個(gè)總數(shù)而不是分項(xiàng)的數(shù)字，總數(shù)而不是分項(xiàng)的數(shù)字，一般選用一般選用“三集合整體重復(fù)型三集合整體重復(fù)型”的公式來作答。的公式來作答。容斥原理兩集合標(biāo)準(zhǔn)兩集合標(biāo)準(zhǔn)型型核心公式核心公式：滿足條件滿足條件A的的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)+滿足滿足條件條件B 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)-兩者都滿足的個(gè)數(shù)兩者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足的兩者都不滿足的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)【例【例1】（浙江】（浙江2013-54）某班對）某班對50 名學(xué)生進(jìn)行體檢，有名學(xué)生進(jìn)行體檢，有20 人近視，人

4、近視，12 人超重，人超重，4 人人既近視既近視又超重，該班有多少又超重，該班有多少人既不近視又不超重？人既不近視又不超重？( )A. 22 人人 B. 24 人人 C. 26 人人 D. 28 人人將題干數(shù)據(jù)帶入到核心公式中：將題干數(shù)據(jù)帶入到核心公式中：20=124=50-x答案為答案為A選項(xiàng)選項(xiàng)若問題之近視不超重，或只超重不近視的，則不可解若問題之近視不超重，或只超重不近視的，則不可解容斥原理【例【例2】（天津】（天津2013-12）有）有70 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語文考名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語文考試，數(shù)學(xué)考試得試，數(shù)學(xué)考試得60 分以上的分以上的有有56 人，語文考試得人，語文考試得60 分分以上

5、的有以上的有62 人，都不及格的有人，都不及格的有4 人，則兩門考試都得人，則兩門考試都得60 分以上分以上的有的有多少人？（多少人？（ ）A. 50 B. 51 C. 52 D. 53核心核心公式：公式：56+62-x=70-4數(shù)學(xué)及格數(shù)學(xué)及格+語文及格語文及格-語文數(shù)學(xué)都及格語文數(shù)學(xué)都及格=總數(shù)總數(shù)-不及格不及格X=52容斥原理兩兩集合圖示標(biāo)集合圖示標(biāo)數(shù)型數(shù)型核心核心公式公式涉及涉及到兩個(gè)集合的容斥原理問題時(shí)，如果題目提及到兩個(gè)集合的容斥原理問題時(shí)，如果題目提及“只只滿足某滿足某1 個(gè)條件個(gè)條件”的數(shù)目，的數(shù)目，那么那么我們無法通過標(biāo)準(zhǔn)的兩我們無法通過標(biāo)準(zhǔn)的兩集合容斥原理公式得到答案。這時(shí)

6、，推薦大家利用簡潔集合容斥原理公式得到答案。這時(shí)，推薦大家利用簡潔的的“文氏圖文氏圖”標(biāo)數(shù)得到所求結(jié)果。標(biāo)數(shù)得到所求結(jié)果。圖示標(biāo)數(shù)的關(guān)鍵是：從最中間圖示標(biāo)數(shù)的關(guān)鍵是：從最中間“兩個(gè)條件都滿足兩個(gè)條件都滿足”的數(shù)的數(shù)字入手。字入手。【例【例3】（北京】（北京2013-73）一批游客中每人都去了）一批游客中每人都去了A、B 兩兩個(gè)景點(diǎn)中至少一個(gè)。只去了個(gè)景點(diǎn)中至少一個(gè)。只去了A的的游客和沒去游客和沒去A 的游客數(shù)量的游客數(shù)量相當(dāng)，且兩者之和是兩個(gè)景點(diǎn)都去了的人數(shù)的相當(dāng)，且兩者之和是兩個(gè)景點(diǎn)都去了的人數(shù)的3 倍。則倍。則只去一只去一個(gè)景點(diǎn)個(gè)景點(diǎn)的人數(shù)占游客總?cè)藬?shù)的比重為（的人數(shù)占游客總?cè)藬?shù)的比重為（

7、 ）A. 2/3 B. C. 4/5 D. 5/6答案為答案為B選項(xiàng)選項(xiàng) 1 1.5 1.5 A B容斥原理【例【例4】（國考】（國考2014-67）工廠組織職工參加周末公益活）工廠組織職工參加周末公益活動(dòng)，有動(dòng)，有80%的職工報(bào)名參加，的職工報(bào)名參加，報(bào)名報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2：1，兩天的活動(dòng)都報(bào)，兩天的活動(dòng)都報(bào)名參加的名參加的人數(shù)人數(shù)為只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)的為只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)的50%。問。問未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)是只報(bào)名參加周六活動(dòng)未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)是只報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)的人數(shù)的的？A. 20% B

8、. 30% C. 40% D. 50%總數(shù)為10個(gè)人，未報(bào)名人數(shù)為2，答案為2/5，C選項(xiàng) 1 2 5六日容斥原理三三集合標(biāo)準(zhǔn)型集合標(biāo)準(zhǔn)型特別特別注意：上式左邊代表至少滿足三個(gè)條件之一的情況，注意：上式左邊代表至少滿足三個(gè)條件之一的情況，也等于總數(shù)減去三個(gè)條件也等于總數(shù)減去三個(gè)條件都不都不滿足的情況。滿足的情況?！纠纠?】（安徽】（安徽2011-15）如圖所示：）如圖所示：A、B、C 分別是面分別是面積為積為60、170、150 的三張不同形狀的卡片，它們部分重的三張不同形狀的卡片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的住的面積為面積為280，且，且A 與與B

9、、B 與與C、C 與與A 重疊部分的面積分別是重疊部分的面積分別是22、60、35。問。問陰影部分的面積是多少？（陰影部分的面積是多少？（ ）A.15 B.16 C.17 D.18三集合容斥原理公式：280=60+170+150-22-60-35+x， x=17，C選項(xiàng)容斥原理三集合標(biāo)準(zhǔn)型三集合標(biāo)準(zhǔn)型【例【例6】（】（2012 年年421 聯(lián)考聯(lián)考54）某公司招聘員工，按規(guī)）某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個(gè)職位定每人至多可投考兩個(gè)職位，結(jié)果，結(jié)果共共42 人報(bào)名，甲、乙、人報(bào)名，甲、乙、丙三個(gè)職位報(bào)名人數(shù)分別是丙三個(gè)職位報(bào)名人數(shù)分別是22 人、人、16 人、人、25 人，其中人，其中同

10、同時(shí)報(bào)甲時(shí)報(bào)甲、乙職位的人數(shù)為、乙職位的人數(shù)為8 人，同時(shí)報(bào)甲、丙職位的人，同時(shí)報(bào)甲、丙職位的人數(shù)為人數(shù)為6 人，那么同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人，那么同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人數(shù)為：人數(shù)為：A. 7 人人 B. 8 人人 C. 5 人人 D. 6 人人42=22+16+25-8-6-x+0 x= 7容斥原理三集合圖示標(biāo)數(shù)型三集合圖示標(biāo)數(shù)型【例【例7】外語學(xué)校有英語、法語、日語教師共】外語學(xué)校有英語、法語、日語教師共27 人，其人，其中中只能只能教英語的有教英語的有8 人，人，只能只能教教日語的有日語的有6 人，能教英、人，能教英、日語的有日語的有5 人，能教法、日語的有人，能教法、日語的有3 人，能教英、

11、法語的人，能教英、法語的有有4人人，三種都能教的有，三種都能教的有2 人，則人，則只能只能教法語的有多少人教法語的有多少人（ ）A.4 人人 B.5 人人 C.6 人人 D.7 人人當(dāng)當(dāng)題目條件不能直接代入標(biāo)準(zhǔn)公式時(shí)，我們可以考慮利題目條件不能直接代入標(biāo)準(zhǔn)公式時(shí)，我們可以考慮利用圖示配合，標(biāo)數(shù)解答。用圖示配合，標(biāo)數(shù)解答。1. 特別注意特別注意“滿足某條件滿足某條件”和和“僅滿足某條件僅滿足某條件”的區(qū)分；的區(qū)分；2. 特別注意有沒有特別注意有沒有“三個(gè)條件都不滿足三個(gè)條件都不滿足”的情形；的情形；3. 標(biāo)數(shù)時(shí)，注意由中間向外圍標(biāo)記。標(biāo)數(shù)時(shí)，注意由中間向外圍標(biāo)記。容斥原理三集合整體重復(fù)型三集合整

12、體重復(fù)型【例【例8】（陜西】（陜西2013-78）五年級一班共有）五年級一班共有55 個(gè)學(xué)生，在暑個(gè)學(xué)生，在暑假期間都參加了特長培訓(xùn)班假期間都參加了特長培訓(xùn)班，35 人參加書法班，人參加書法班，28 人參加人參加美術(shù)班，美術(shù)班，31 人參加舞蹈班，其中以上三種特長培訓(xùn)班都參人參加舞蹈班，其中以上三種特長培訓(xùn)班都參加加的有的有6 人，則有（人，則有（ ）人只參加了一種特長培訓(xùn)班）人只參加了一種特長培訓(xùn)班。A.45 B.33 C.29 D.22 55=x+y+694=x+2y+18得出y=27，則x=22容斥原理三集合整體重復(fù)型三集合整體重復(fù)型【例【例9】（北京】（北京2014-80）某旅行團(tuán)共有

13、）某旅行團(tuán)共有48 名游客，都報(bào)名名游客，都報(bào)名參觀了三個(gè)景點(diǎn)中的至少參觀了三個(gè)景點(diǎn)中的至少一個(gè)一個(gè)。其中，只參觀了一個(gè)景點(diǎn)。其中，只參觀了一個(gè)景點(diǎn)的人數(shù)與至少參觀了兩個(gè)景點(diǎn)的人數(shù)相同，是參觀了三個(gè)的人數(shù)與至少參觀了兩個(gè)景點(diǎn)的人數(shù)相同，是參觀了三個(gè)景點(diǎn)景點(diǎn)A CB的的人數(shù)的人數(shù)的4 倍。則需要為這些游客購買多少張景點(diǎn)倍。則需要為這些游客購買多少張景點(diǎn)門票門票？A. 48 B. 72 C. 78 D. 84W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z；根據(jù)題干條件：根據(jù)題干條件：x=y+z=4z，求，求A+B+Cy=3z，x=4z，代入上式得出，代入上式得出z=6，則，則x=24，y=18答案為？答案為？容斥原理三集合整體重復(fù)型三集合整體重復(fù)型【例【例10】（春季聯(lián)考】（春季聯(lián)考2013-42）有）有100 人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的三個(gè)人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的三個(gè)比賽項(xiàng)目，每人至少參加比賽項(xiàng)目，每人至少參加一項(xiàng)一項(xiàng)，其中未參加跳遠(yuǎn)的有，其中未參加跳遠(yuǎn)的有50 人，人，未參加跳高的有未參加跳高的有60 人，未參加賽跑的有人，未參加賽跑的有70 人。問至少人。問至少有多有多少少人參加了不止一個(gè)項(xiàng)目？（人參加了不止一個(gè)項(xiàng)目？（ ） A. 7 B. 10 C. 15 D. 20100=x+y+z120=x+2y+3z (120=5