物理奧賽復(fù)賽模擬題(三)與答案

1、物理奧賽復(fù)賽模擬題(三與答案題一：請(qǐng)分析解答下列幾個(gè)相對(duì)論問(wèn)題：（1）試導(dǎo)出動(dòng)量恒定的粒子體系，當(dāng)所有粒子以相同速度、沿相同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其相對(duì)論性總能量達(dá)最小值。（2）一個(gè)高能光子可產(chǎn)生一個(gè)正負(fù)電子對(duì)（e-e+）。電子對(duì)產(chǎn)生是狄拉克（1928年）預(yù)言的，要求利用動(dòng)量和能量守恒定律證明只有當(dāng)有另一粒子參與作用時(shí)，才有可能產(chǎn)生電子對(duì)。（3）一個(gè)靜止電子的在庫(kù)侖場(chǎng)中產(chǎn)生電子對(duì)，求有可能產(chǎn)生這過(guò)程的光子的最小能量（閾值）。（4）電子對(duì)e-e+）的產(chǎn)生作為光子和極端相對(duì)論性的電子相互作用的結(jié)果，電子沿光子相反方向運(yùn)動(dòng)。如果已知光子的閾能E1=10eV，求：電子的能量。分析與解答：（1）孤立粒子系的總

2、動(dòng)量、總能量和測(cè)量它們時(shí)所用的參考系有關(guān)。但是 這個(gè)物理量在所有慣性參考系是相同的，這稱為相對(duì)論不變性，在質(zhì)心參考系：             ，因此  當(dāng)在質(zhì)心參考系（ 系）中，總能量 有最小值時(shí)，在實(shí)驗(yàn)室參考系（ 系）中，給定動(dòng)量 ，能量 有最小值。                  

3、 式中 和 是第 個(gè)粒子的靜質(zhì)量和動(dòng)能。因?yàn)?總是為正（或零），當(dāng) 時(shí)， 是最小值，即當(dāng)在實(shí)驗(yàn)室參考系中，所有粒子具有相同速度沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度和質(zhì)心的速度相等。（2）如果沒(méi)有第三者參與此過(guò)程，則在電子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程中能量和動(dòng)量不可能同時(shí)守恒，有第三粒子參與時(shí)，電子對(duì)產(chǎn)生的過(guò)程可能發(fā)生，見(jiàn)下文。（3）當(dāng)反應(yīng)后三個(gè)粒子沿光子方向運(yùn)動(dòng)并具有相同的動(dòng)量時(shí)，光子的能量將為最小值（參見(jiàn)解答（1）。  根據(jù)動(dòng)量和能量守恒定律，可得              &

4、#160;                          (1式中 為光子的動(dòng)量                      

5、             (2式中 為每一粒子的總能量， 為電子的靜能。根據(jù)相對(duì)論不變性                                

6、0; (3                                        (4利用等式(2，將(3式和(4式代入(1式，得     &

7、#160;                                  (5對(duì)于電子， ，閾能 。（4）在實(shí)驗(yàn)室參考系中電子的速度接近光速，我們?cè)陔S電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)參考系來(lái)考察此問(wèn)題，其中電子是靜止的，對(duì)于動(dòng)量和能量，我們利用洛侖茲變換，可得在此參考系光子的能量為

8、                                    (6式中 和 為在實(shí)驗(yàn)室參考系中光子的能量和動(dòng)量。(6式分子上的符號(hào)“+”表示光子和電子運(yùn)動(dòng)相反，將 ， ， 代入(6式，可得    &#

9、160;                                (7當(dāng) （超相對(duì)論性電子），有               

10、60;                       (8電子的總能量為              (9用(8式除以(9 式，可得         &#

11、160;                           (10                   （在動(dòng)力學(xué)參考系中的閾能）   &

12、#160;              ； 從(10式可得         題2：兩滑塊A1和A2疊放在水平的桌面上，如圖11-12所示，已知A1的質(zhì)量為m1，A2的質(zhì)量為m2，A2與桌面間的靜摩擦系數(shù)為2，設(shè)用1表示A1與A2間的靜摩擦系數(shù)，F(xiàn)表示作用于滑塊A1上的水平拉力，則當(dāng)1和F各取各種不同值時(shí)，A1與A2可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況有下列四種：（1）A2相對(duì)于桌面滑動(dòng)，但A1與A2相對(duì)靜止

13、。（2）A2相對(duì)于桌面滑動(dòng)，A1與A2間存在著相對(duì)運(yùn)動(dòng)。圖2(a圖 11-13 O（3）A2相對(duì)于桌面而靜止，A1相對(duì)于桌面滑動(dòng)。（4）A1和A2相對(duì)于桌面均靜止。1分別寫出上述各種運(yùn)動(dòng)情況中1和F滿足的條件（不要求寫出運(yùn)算過(guò)程）。 2以橫坐標(biāo)表示1，縱坐標(biāo)表示F，試在F-1圖上標(biāo)出與上述各種運(yùn)動(dòng)情況相應(yīng)的1和F的取值范圍。 圖2(b分析與解答 ： 1 、（ 1 ） （2）            （3）  （4）    ，   

14、0;     2上述各種運(yùn)動(dòng)情況相應(yīng)的 和F的取值范圍如圖2(b所示。題3：關(guān)于人體能量消耗問(wèn)題，下表為各種活動(dòng)熱能產(chǎn)生率：活動(dòng)熱能產(chǎn)生率（W）溫度變化（沒(méi)有能量損失）（°Chr-1）保持體溫不變時(shí)水的蒸發(fā)（kghr-1）休息751.0輕度工作300適度工作600重度工作12001（1）設(shè)人體與水的比熱相同，所有產(chǎn)生的熱能都能用來(lái)提高體溫（沒(méi)有從身體上損失），當(dāng)休息時(shí)每小時(shí)溫度升高約1.0°C，列于上表第二欄中。（2）復(fù)制該表，根據(jù)第一欄數(shù)據(jù)，計(jì)算其他活動(dòng)時(shí)每小時(shí)體溫的升高量，列在第二欄。（3）現(xiàn)設(shè)體溫保持不變，能量?jī)H用來(lái)使汗水蒸發(fā)，

15、計(jì)算汗水的蒸發(fā)率，以kg/hr為單位，完成表中的第三欄。（4）這些數(shù)據(jù)表明，能量被用來(lái)蒸發(fā)汗水率可能存在最大值，提出一個(gè)為什么出現(xiàn)該最大值的理由。（5）現(xiàn)在利用你得到的表，計(jì)算所產(chǎn)生每千瓦的熱源使體溫升高的度數(shù)，設(shè)沒(méi)有能量從身體上損失，并計(jì)算在保持體溫不變時(shí)，所產(chǎn)生的每千瓦熱能用于蒸發(fā)時(shí)水的蒸發(fā)率。2某一跑馬拉松的運(yùn)動(dòng)員，質(zhì)量為65kg，他產(chǎn)生的熱能為900W，用了兩個(gè)半小時(shí)跑完全程。（1）假設(shè)以最大的蒸發(fā)率蒸發(fā)汗水，計(jì)算該運(yùn)動(dòng)員每小時(shí)溫度升高多少？用所得的結(jié)果和所給出的數(shù)據(jù)解釋為什么實(shí)際上還有另一些機(jī)構(gòu)從人體內(nèi)移走能量。（2）另一個(gè)從身體耗散熱能的機(jī)構(gòu)是，從肺中蒸發(fā)的水被呼出體外，如果這是唯

16、一的其他冷卻機(jī)構(gòu)，計(jì)算要保證體溫不超過(guò)危險(xiǎn)溫度41°C時(shí)該運(yùn)動(dòng)員蒸發(fā)出的水的質(zhì)量。（3）計(jì)算在整個(gè)比賽過(guò)程中該運(yùn)動(dòng)員共損耗的水量（例如考慮兩種機(jī)構(gòu)），并說(shuō)明脫水的危險(xiǎn)。3（1）計(jì)算這個(gè)馬拉松運(yùn)動(dòng)員的平均速度（m/s）。（2）假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在空氣中運(yùn)動(dòng)，使得運(yùn)動(dòng)員身體截面前的空氣運(yùn)動(dòng)，估算每秒有多少質(zhì)量的空氣運(yùn)動(dòng)。（3）假設(shè)帶動(dòng)的空氣與運(yùn)動(dòng)員具有相同的速率，計(jì)算：每秒鐘他傳遞給空氣的動(dòng)能。為在空氣中跑動(dòng)，他必須提供的功率。通過(guò)空氣中，他所受的力。4食物的新陳代謝和熱耗散的速率隨體溫增加，解釋為什么這能被描述為正反饋，簡(jiǎn)單地討論可能的結(jié)果。公式    

17、    比熱容=             蒸發(fā)的潛熱= 數(shù)據(jù)：人體平均質(zhì)量：65kg。馬拉松的全程：42km開(kāi)始馬拉松前平均體溫:37°C從身體表面蒸發(fā)而耗散能量最大可能值為650W。身體在41°C以上停止正常功能。若由蒸發(fā)而損失的質(zhì)量達(dá)人體質(zhì)量的5%以上，出現(xiàn)嚴(yán)重脫水。水的比熱容：4200J·kg-1K-1。35°C45°C之間的平均蒸發(fā)潛熱e為： ?？諝饷芏龋?。分析與解答：1、（1）（2）設(shè)“有效人體

18、質(zhì)量”為 ，由 （其他不損耗能量）           輕度工作： 適度工作： 重度工作： （3）當(dāng)令 ， 休息時(shí)：    輕度工作：  適度工作：   重度工作：   （不能用1200W，要考慮人體最大蒸發(fā)率為650W）（4）蒸發(fā)與人體和環(huán)境的溫差有關(guān)，一般這個(gè)溫度不會(huì)變化太大，所以在人體表面溫度不變，溫差達(dá)最大值時(shí)蒸發(fā)率也就出現(xiàn)最大值。（5）（1）       （

19、2）   2（1）用來(lái)蒸發(fā)的功率為650W，用于升溫的功率為900-650=250（W）每小時(shí)升溫：         （2）設(shè)全程用于升溫的功率為                   肺中蒸發(fā)水的功率為        900-650-120=130（W）該運(yùn)動(dòng)員全程通過(guò)

20、肺呼出的質(zhì)量       （3）整個(gè)比賽過(guò)程中共損耗的水量         因2.94kg< =3.25kg，沒(méi)有脫水的危險(xiǎn)。3（1）   （2）設(shè)人體截面積約A=1.30m（身高）×0.4m（平均身寬）=0.72m2，則每秒帶動(dòng)空氣質(zhì)量=0.72×4.67×1.3=4.37(kg。（3）          &#

21、160;          4人體耗散的熱量一部分提高溫度，一部分蒸發(fā)汗水。溫度升高，加速了食物的新陳代謝，從而產(chǎn)生更多的熱能，這又會(huì)促進(jìn)溫度進(jìn)一步提高，又使新陳代謝加快，故這過(guò)程是正反饋，其結(jié)果將使溫度超過(guò)41°C危險(xiǎn)溫度（因?yàn)榭空舭l(fā)散熱有一最大值）。使身體正常功能停止。題4：一個(gè)直立的圓筒形容器，內(nèi)裝有處于熱平衡狀態(tài)的一種分子氣體，筒的上蓋是一個(gè)可以自由上下移動(dòng)的玻璃板，假設(shè)無(wú)氣體泄漏，并假設(shè)玻璃板與筒壁之間的摩擦力恰可消除振動(dòng)，但其能量損失比起其他能量來(lái)又可忽略，起初，氣體溫度等于環(huán)境溫度，筒內(nèi)氣體

22、可以認(rèn)為是理想氣體。假設(shè)圓筒(包括上蓋和筒底的熱導(dǎo)率和熱容量均很小，因此，氣體和外界的熱傳遞很緩慢，在解本題時(shí)可以忽略。一束由功率固定的激光器發(fā)射的光穿透玻璃板照入圓筒，此光輻射很容易無(wú)吸收地穿過(guò)空氣和玻璃板，卻被筒內(nèi)氣體完全吸收。吸收輻射能后，筒內(nèi)氣體分子進(jìn)到激發(fā)態(tài)，接著它們又很快放出紅外輻射，逐步回到分子的基態(tài)，這種紅外輻射又為其他分子吸收，并被筒壁、筒底和玻璃板反射。因此，從激光器中吸收的能量在很短的時(shí)間內(nèi)就轉(zhuǎn)化為熱運(yùn)動(dòng)(分子混沌，隨后較長(zhǎng)時(shí)間地保留在氣體中，我們觀察到玻璃板向上運(yùn)動(dòng)，在輻照一定時(shí)間后，關(guān)掉激光器，測(cè)量玻璃板的位移。(1用題后的數(shù)據(jù)(必要的話，還可用附錄的物理常數(shù)表計(jì)算輻

23、照后氣體的溫度和壓強(qiáng)。(2計(jì)算氣體吸收輻射后所做的機(jī)械功。(3計(jì)算在輻照過(guò)程中氣體所吸收的輻射能。(4計(jì)算被氣體吸收的輻射功率以及相應(yīng)的單位時(shí)間內(nèi)的光子數(shù)。(5計(jì)算光能轉(zhuǎn)化為玻璃板的機(jī)械勢(shì)能這一能量轉(zhuǎn)化過(guò)程的效率。然后把圓筒慢慢旋轉(zhuǎn)90°，使其成水平方向，仍設(shè)氣體和容器間的熱交換可以忽略。(6說(shuō)明這樣旋轉(zhuǎn)后氣體的壓強(qiáng)和溫度是否會(huì)改變？如果改變了，新的值是多少？數(shù)據(jù)：室內(nèi)大氣壓強(qiáng)： 室溫： 玻璃板質(zhì)量： 筒內(nèi)氣體的量：     n=0.100mol氣體等容摩爾比熱 圓筒的內(nèi)直徑：     2r=100mm激

24、光波長(zhǎng)：        輻照時(shí)間：         輻照后玻璃板的位移: 分析與解答：按題意可知，氣體對(duì)外所做功和氣體內(nèi)能增量均來(lái)自氣體所吸收的輻射能，另在容器旋轉(zhuǎn)這一絕熱過(guò)程中遵循 =常數(shù)，利用氣態(tài)方程和熱力學(xué)第一定律本題即可求解。(1平衡時(shí)，筒內(nèi)壓強(qiáng)p必須等于室內(nèi)壓強(qiáng)加上由可移動(dòng)的蓋子產(chǎn)生的壓強(qiáng)這在輻射之前和輻射之后均如此。開(kāi)始時(shí)，氣體溫度為室內(nèi)溫，由理想氣體狀態(tài)方程知，開(kāi)始時(shí)氣體體積為(R是氣體常數(shù)，因此，氣體所占有筒形容器高度 為 輻照后

25、，此高度變?yōu)閔2=h1+ ，因此新的溫度為數(shù)值結(jié)果為： (2氣體對(duì)抗蓋子重量做的機(jī)械功為 ，對(duì)抗室內(nèi)壓強(qiáng)做的功為 ，因此總的功為(3由于溫度改變，氣體內(nèi)能的改變量為 ，在輻照的 時(shí)間內(nèi)送入系統(tǒng)的熱量為此熱量純由吸收光輻射而來(lái)，因此與吸收的光能一致，Q=84J，利用等壓過(guò)程也可得到同樣結(jié)果(4因?yàn)榧す馄鞯墓β适呛愣ǖ模虼宋盏墓獾墓β蕿槊恳粋€(gè)光子的能量為 ，因此單位時(shí)間吸收的光子數(shù)為(5勢(shì)能的改變等于對(duì)蓋子重量所做的機(jī)械功，因此能量轉(zhuǎn)換的效率 為(6柱形容器倒下，這是一個(gè)絕熱過(guò)程，而壓強(qiáng)由p變?yōu)閜0，溫度變?yōu)樾碌闹礣3，絕熱變換過(guò)程中， =常數(shù)，利用氣態(tài)方程我們可得即其中  

26、;          最后            題5：如圖5所示，兩根平行金屬棒與兩金屬?gòu)椈蓸?gòu)成回路。已知棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，只能作左右對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)，邊緣效應(yīng)可以忽略。已知彈簧的勁度系數(shù)為K，原長(zhǎng)為L(zhǎng)0（L0«L）， 用某種方式使回路有恒定的電流I， 電磁感應(yīng)可以忽略。求兩根棒圍繞平衡位置作小振動(dòng)的周期。圖5(b分析與解答： 兩棒中通有等值反向的電流，彼此間有斥力作用。當(dāng)彈簧伸縮時(shí)又有彈

27、力作用。先確定兩 根 棒的平衡位置。設(shè)平衡時(shí)，彈簧伸長(zhǎng) ，彈簧長(zhǎng)度為 ， 兩 根 棒所受彈力 ， 安培力 故平衡條件為：                     （1）即    解出正根                  

28、;                  （2）平衡時(shí)兩根棒的距離                          （3）取 軸如圖43-20（b），原點(diǎn)O設(shè)在右棒的平衡位置。假設(shè)右

29、邊棒向右偏離小量 ，同時(shí)左邊棒向左偏離小量 ，即當(dāng)兩根棒相距（ ）時(shí)，右邊棒受力          令                               而    題6：2004年12月26日，印度洋發(fā)生特大海嘯。全世界

30、為之震驚，紛紛奉獻(xiàn)愛(ài)心，以資助他們重建家園。假設(shè)如圖6(a所示，海嘯聲源S和經(jīng)歷者A都沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于地面的速度分別為 ，空氣中聲音傳播的速率為 ，設(shè) ，空氣相對(duì)地面沒(méi)有流動(dòng)。（1）若海嘯聲源相繼發(fā)出兩個(gè)信號(hào)，時(shí)間間隔為 。請(qǐng)根據(jù)發(fā)出的這兩個(gè)聲信號(hào)從聲源傳播到經(jīng)歷者的過(guò)程，確定經(jīng)歷者接收到這兩個(gè)聲信號(hào)的時(shí)間間隔 。（2）請(qǐng)利用（1）的結(jié)果，推導(dǎo)此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出的聲波頻率間的關(guān)系。圖6(a分析與解答 ： （1）設(shè) 為聲源S發(fā)出兩個(gè)信號(hào)的時(shí)刻， 、 為經(jīng)歷者接收兩個(gè)信號(hào)的時(shí)刻，則第一個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)( -t1時(shí)間被經(jīng)歷者A接收到，第二個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)（ -t2）時(shí)間被經(jīng)歷者A收

31、到，且     設(shè)聲源發(fā)出第一個(gè)信號(hào)時(shí)，S、A兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，兩個(gè)聲信號(hào)從聲源傳播到經(jīng)歷者的過(guò)程中，它們運(yùn)動(dòng)的距離關(guān)系如圖6(b所示,可得： 圖6(b 由以上各式得：（2）設(shè)聲源發(fā)出聲波的振動(dòng)周期為T，這樣，由以結(jié)論，經(jīng)歷者接收到的聲波振動(dòng)的周期：由此可得，觀察者接收到聲波頻率與聲源發(fā)出聲波頻率間的關(guān)系為：題7：想討論地球外洋潮汐的某些數(shù)值特征，為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，作如下假設(shè)：（1）地球和月球組成一個(gè)封閉系統(tǒng)；（2）月球到地球的距離為一常量；（3）地球完全由海洋覆蓋；（4）地球繞其軸自轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)影響被略去；（5）地球提供的萬(wàn)有引力等于地球質(zhì)量全部集中于地球中心時(shí)提供的

32、萬(wàn)有引力。參考數(shù)據(jù)：地球質(zhì)量： 月球質(zhì)量： 地、月的中心間距： 萬(wàn)有引力常量：  地球半徑：      1月球和地球以相同的角速度圍繞系統(tǒng)質(zhì)心C作圓周運(yùn)動(dòng)，試求地球中心到C的距離 的數(shù)值，并確定數(shù)值。地球到月球如圖7在P平面 ， P平面現(xiàn)在取這樣一個(gè)參照系，此參照系與地球、月球中心一起同步地圍繞系統(tǒng)的統(tǒng)質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)，在這一參照系中，地球的液體表面形狀保持不變。此參照系內(nèi)與轉(zhuǎn)軸垂直過(guò)質(zhì)心C的平面P中，地球液體表面上質(zhì)點(diǎn)的位置可用極坐標(biāo)量r，表述，如圖7所示，其中r是到地球中心距離。在后面的討論中，地球液體表面在P平面內(nèi)的形狀將表述為

33、60;             r(=R+h( 式中R為地球半徑。2在平面P中，考慮在地球液體表面上質(zhì)量為m的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在所取參照系中，此質(zhì)點(diǎn)受慣性離心力和月球、地球引力的作用。求：與這三個(gè)力相應(yīng)的總勢(shì)能表達(dá)式。注意：相應(yīng)于坐標(biāo)原點(diǎn)的任何一種球?qū)ΨQ徑向?yàn)镕（r），是對(duì)一個(gè)球?qū)ΨQ勢(shì)能U（r）求導(dǎo)數(shù)的負(fù)值，即當(dāng)r趨近于零時(shí)有：圖7(a            3用已給出的M， 諸量，

34、給出潮面的高度 h(的近似表述式。試問(wèn)：最高漲潮位和最低落潮位之間的高度差為多少米？解答本小問(wèn)時(shí)，可利用下述近似展開(kāi)式：                 分析與解答：1、系統(tǒng)質(zhì)心C與地球中心的間距 滿足如下關(guān)系式：               解得     &

35、#160;      將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，可算得                此值小于地球半徑R，因此系統(tǒng)質(zhì)心C位于地球內(nèi)部。地球繞C作圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力由月球萬(wàn)有引力提供，即有                 由此解得  

36、60;             將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，可算得               （對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)周期為 ）2地球液體表面上質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)所具有的勢(shì)能包括如下三項(xiàng)：（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中的離心勢(shì)能            &#

37、160;      其中 為質(zhì)點(diǎn)到系統(tǒng)質(zhì)心C的距離。此項(xiàng)勢(shì)能對(duì)應(yīng)的力是慣性離心力 ，（2）地球的萬(wàn)有引力勢(shì)能圖7(b （3）月球的萬(wàn)有引力勢(shì)能             其中 為質(zhì)點(diǎn)到月球中心的距離。在P平面中質(zhì)點(diǎn)m的極坐標(biāo)r，如圖7(b所示，圖中各種量有如下關(guān)系：質(zhì)點(diǎn)m的總勢(shì)能為          其中   

38、      3因r/L«1，可利用題文所給近似展開(kāi)式，得         將它代入到U（r,）表述式，可得                            因   

39、     所以     于是有因， ，L均為常量，故可引入新的勢(shì)能函數(shù)U（r,），使得       作如下近似計(jì)算：                 便有             

40、                                利用          可得           

41、60;               其中 為第二次引入的新勢(shì)能函數(shù)。考慮到                  所以 /m表述式中第一項(xiàng)和第四項(xiàng)相對(duì)第二項(xiàng)均可略，便有            地球液體表面為等勢(shì)面，在表面上U（r,）/m為常量，從面 /m， /m也都是常量。設(shè)后一常量為C，則有h(的下述相對(duì)表述式：由此可以看出，當(dāng) 取得最大值為2時(shí)，即當(dāng)，或 時(shí)，h取得最大值 ，即為最高漲潮位。當(dāng) 取得最小值-1時(shí)，即當(dāng)