Z變換-反變換求系統(tǒng)響應(yīng)及穩(wěn)定性判斷

1、燕山大學(xué)課 程 設(shè) 計 說 明 書題目：Z變換-反變換求系統(tǒng)響應(yīng)及穩(wěn)定性判斷學(xué)院（系）： 電氣工程學(xué)院 年級專業(yè)：學(xué) 號：學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 教師職稱：燕山大學(xué)課程設(shè)計（論文）任務(wù)書院（系）：電氣工程學(xué)院 基層教學(xué)單位：自動化儀表系學(xué) 號學(xué)生姓名專業(yè)（班級）設(shè)計題目Z變換-反變換求系統(tǒng)響應(yīng)及穩(wěn)定性判斷設(shè)計技術(shù)參數(shù)傳遞函數(shù)的分子系數(shù)a1，a2，a3和分母系數(shù)b1，b2，b3設(shè)計要求利用Z變換-反變換的方法求取系統(tǒng)的響應(yīng)，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)計三個離散線性定常系統(tǒng)（其中包括穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的），并利用Z變換和反變換的方法計算系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，并通過極點判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。工作量工作計

2、劃 7月5日：上午：講課，總體安排，布置設(shè)計題目，借閱書籍； 下午：閱讀文獻 7月6日： 相關(guān)理論學(xué)習(xí) 方法設(shè)計； 7月7日15日：程序設(shè)計參考資料1. 林洪彬.謝平.王娜.信號處理原理及應(yīng)用. 機械工業(yè)出版社，2009年2. 薛年喜 MATLAB在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用 清華大學(xué)出版社2003年3. 吳湘淇 肖煕 郝曉莉 信號 系統(tǒng)與信號處理的軟硬件實現(xiàn) 電子工業(yè)出版社2002年 4. 周浩敏.王睿.測試信號處理技術(shù). 北京航空航天大學(xué)出版社，2005年5. 指導(dǎo)教師簽字基層教學(xué)單位主任簽字說明：此表一式四份，學(xué)生、指導(dǎo)教師、基層教學(xué)單位、系部各一份。年 月 日 目 錄第1章 摘要11引言1第

3、2章 基本原理22.1 MATLAB及數(shù)字信號處理22.2 Z變換與Z反變換的概念與原理22.3系統(tǒng)的穩(wěn)定性8第3章 程序?qū)崿F(xiàn)及結(jié)果分析9學(xué)習(xí)心得13燕山大學(xué)數(shù)字信號處理課程設(shè)計報告第1章 摘要1.引言介紹了Z變換及其逆變換的基本概念，論述了利用極點判斷方法判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的原理和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，并用MATLAB具體實現(xiàn)了的程序。任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原平衡狀態(tài),開始產(chǎn)生偏差.所謂穩(wěn)定性,是指系統(tǒng)在擾動消失后,由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能.系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)設(shè)計與運行的首要條件,只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才值得分析與研究,才有必要分析研究該系統(tǒng)的其他自動控制問題.在經(jīng)典控制理

4、論中,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。利用極點判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該方法最有效，其計算相對復(fù)雜，而matlab又能利用其工具箱快速計算出一個系統(tǒng)的零極點坐標(biāo)并能繪制出系統(tǒng)的零極點分布圖，用戶可以直觀地判定一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定，簡便快捷。利用matlab分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，具有運算簡單、操作方便、處理速度快、分析結(jié)果準(zhǔn)確可靠等優(yōu)點。由此可見，MATLAB為工程技術(shù)人員分析、設(shè)計較優(yōu)的控制系統(tǒng)提供了強有力的工具。 關(guān)鍵詞MATLAB;控制系統(tǒng);Z變換及反變換；穩(wěn)定性;極點；單位脈沖響應(yīng)；單位階躍響應(yīng) 第2章 基本原理2.1 MATLAB及數(shù)字信號處理MATLAB是矩陣實驗

5、室之意。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學(xué),工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完全相同的事情簡捷得多.可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自在新的版本中也加入了對C,FORTRAN,c+ ,JAVA的支持. 可以直接調(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用。信號是數(shù)字信號處理領(lǐng)域中最基本、最重要的概念。簡單的說，信號就是信息的載體，是信息的物理體現(xiàn)。信號既可以分為時間連續(xù)、

6、幅度也連續(xù)的模擬信號和在時間和幅度上都經(jīng)過量化的數(shù)字信號，也可以劃分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。幾乎在科學(xué)技術(shù)的每一領(lǐng)域，為了，為了信號的提取，都要進行信號處理，就是一數(shù)值計算的方法對信號進行采集，變換，綜合，估計，與識別的加工處理過程，借以達到提取信息和便于應(yīng)用的目的。隨著計算機和信息科學(xué)的飛速發(fā)展，信號處理已經(jīng)逐漸發(fā)展為一門獨立的學(xué)科，是信息科學(xué)的重要組成部分。在語音處理，雷達，航空，航天，地質(zhì)勘探，通信，生物醫(yī)學(xué)工程等眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。MATLAB軟件，在數(shù)字信號處理方面具有得天獨厚的優(yōu)勢。利用目錄下的系統(tǒng)函數(shù)，用戶可以實現(xiàn)波形的產(chǎn)生，信號的變換，濾波，功率譜估計，系統(tǒng)設(shè)計與穩(wěn)定

7、性分析，小波信號分析等眾多功能。本文既是以數(shù)字信號處理的理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用MATLAB軟件用Z變換與Z反變換設(shè)計控制系統(tǒng)并分析穩(wěn)定性的一個具體事例。2.2 Z變換與Z反變換的概念與原理2.2.1 Z變換理論Z變換的思想來源于連續(xù)系統(tǒng)。線性連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)性能及穩(wěn)定性，可以用拉氏變換的方法來進行分析，與此類似，線性離散系統(tǒng)的性能，可以采用Z變換的方法來獲得。Z變換是從拉氏變換直接引申出來的一種變換方法，它實際上是采樣函數(shù)拉氏變換的變形。因此，Z變換又稱為采樣拉氏變換，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具其拉氏變換為 （7-13）上式中是s的超越函數(shù)，不便于直接運算。因此引入一個新的復(fù)變量 將其代入到式（

8、7-13），得到 （7-14）式（7-14）被定義為采樣函數(shù)的Z變換。它和式（7-13）是互為補充的兩種變換形式。前者表示Z平面上的函數(shù)關(guān)系，后者表示S平面上的函數(shù)關(guān)系。（2）對Z變換還必須強調(diào)指出以下兩點：1. 變量z是一個復(fù)變量,變量s在拉氏變換中也是一個復(fù)變量，可表示為 s=j于是 （7-15）其中 式（7-15）就是變量z以模和幅角形式表示的復(fù)變量。2. 在Z變換過程中，由于考慮的僅是連續(xù)時間函數(shù)經(jīng)采樣后的離散時間函數(shù)，或者說僅是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻上的采樣值，所以式（7-14）表達的僅是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻上的信息，而不反映采樣時刻之間的信息，從這個意義上來說，連續(xù)時間函數(shù)與相應(yīng)

9、的離散時間函數(shù)具有相同的Z變換，即 ZZ=F(z)（3） Z變換的求法1. 級數(shù)求和法設(shè)連續(xù)時間函數(shù)為,對應(yīng)的離散時間函數(shù)為,將展開如下 然后逐項進行拉氏變換，得到 或者 （7-16）上式就是離散時間函數(shù)進行Z變換的一種級數(shù)表達形式。由這種表達形式可知，如果知道連續(xù)時間函數(shù)在各采樣時刻nT（n=0,1,2,）上的采樣值，便可根據(jù)式（7-16）求得其Z變換的級數(shù)展開式，它是一個無窮項的級數(shù)。2. 部分分式法設(shè)連續(xù)函數(shù)為，其對應(yīng)的拉氏變換為。為求拉氏反變換，可將寫成部分分式之和的形式其中: n的極點數(shù)目；的極點；常系數(shù)。只要求出 及，就可以按下式求出所對應(yīng)的Z變換式： （7-20）綜上所述，已知求

10、時，既可以按下面的虛線箭頭的步驟求取，又可以按實線箭頭的步驟求。3留數(shù)法（圍線積分法）在X(z)的收斂域內(nèi)選擇一逆時針圍線C包圍原點，然后，上式兩邊繞C積分。由留數(shù)定理：2.2.2 Z反變換理論（1）Z反變換的定義在離散系統(tǒng)中應(yīng)用Z變換，是為了把s的超越方程或者描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為z的代數(shù)方程，然后寫出離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，再用Z反變換法求出離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)。所謂Z反變換，是已知Z變換表達式，求相應(yīng)離散序列的過程。記為 進行Z反變換時，信號序列仍是單邊的，即當(dāng)n<0時，=0。（2）Z反變換的方法1. 冪級數(shù)展開法根據(jù)Z變換的定義，將象函數(shù)展開成的無窮冪級數(shù)，即=設(shè)形如函數(shù)是z

11、的有理函數(shù)，可表示為兩個z的多項式之比，即 （ (7-25)對上式用長除法，用分母多項式去除分子多項式，所得商按的升冪排列=如果所得到的無窮冪級數(shù)是收斂的，則按Z變換定義可知，上式中的系數(shù)就是采樣脈沖序列的脈沖強度。因此，根據(jù)上式可以直接寫出的脈沖序列表達式=2. 部分分式法部分分式法又稱查表法，其基本思想是根據(jù)已知的，通過查Z變換表找出相應(yīng)的，或者，采用部分分式法可以求出離散函數(shù)的閉合形式。其方法與求拉普拉斯反變換的部分分式法相似。稍有不同的是，由于在分子中通常都含有z，因此先將除以z然后再展開為部分分式，最后將所得結(jié)果的每一項都乘以z，即得的部分分式展開式。3. 留數(shù)計算法由Z變換的定義用

12、z同乘上式兩端得由復(fù)變函數(shù)理論可知積分曲線C可以是包含z全部極點的任何封閉曲線，表示函數(shù)在極點處的留數(shù)。對于一階極點的留數(shù)為對于階重復(fù)極點的留數(shù)為2.3系統(tǒng)的穩(wěn)定性這就是離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由于因果系統(tǒng)當(dāng)h（n）為有限序列，或衰減序列時必定滿足絕對可積條件。由上述分析知，當(dāng)H（z）的極點位于Z平面單位圓內(nèi)，h（n）是衰減序列，所以因果系統(tǒng)的充要條件是H（z）的極點全部位于 Z平面的單位圓內(nèi)，或者說收斂域|z|>1對于因果系統(tǒng)仍然對可積條件判別，則同樣要求收斂域包含單位圓。第3章 程序?qū)崿F(xiàn)及結(jié)果分析1基本程序function y=mytest(num,den)H=tf(num,den,

13、'Ts',0.5)zeros=roots(num);poles=roots(den);z,p,k=tf2zp(num,den);ii=find(abs(p)>1);n1=length(ii);if(n1>0)disp('系統(tǒng)不穩(wěn)定');disp('系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點是');disp(p(ii);elsedisp('系統(tǒng)是穩(wěn)定的');endsubplot(2,2,1);zplane(num,den);title('系統(tǒng)的零極點分布圖 ');subplot(2,2,2);dstep(num,den);titl

14、e('系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖 ');grid on;subplot(2,2,3);dimpulse(num,den);title('系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)圖 ');系統(tǒng)1處理結(jié)果num=1 1 1;den=1 0.5 -0.25;mytest(num,den)結(jié)果：Transfer function: z2 + z + 1-z2 + 0.5 z - 0.25 Sampling time: 0.5系統(tǒng)是穩(wěn)定的結(jié)果分析：得到的零極點分布和單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)如上圖。它的零點在單位圓上，而極點在單位圓的內(nèi)部，可以保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由響應(yīng)圖知，系統(tǒng)在經(jīng)過幾次在平衡點周為震蕩后逐

15、漸趨向一個穩(wěn)定的點即一個常數(shù)。系統(tǒng)2處理結(jié)果num=1 6 4 8 9 2;den=1 0 3 0 0 0;mytest(num,den)結(jié)果：Transfer function:z5 + 6 z4 + 4 z3 + 8 z2 + 9 z + 2- z5 + 3 z3 Sampling time: 0.5系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點是 0 + 1.7321i 0 - 1.7321i結(jié)果分析：得到的零極點分布和單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)如上圖。它的零點既有在單位圓內(nèi)的也有在單位圓外的，而極點同樣也是，可見系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由響應(yīng)圖知，系統(tǒng)在經(jīng)過震蕩以后趨向無窮。系統(tǒng)3處理結(jié)果num=1 -1 -4

16、4;den=1 1 2 1;mytest(num,den)結(jié)果：Transfer function:z3 - z2 - 4 z + 4-z3 + z2 + 2 z + 1 Sampling time: 0.5系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點是 -0.2151 + 1.3071i -0.2151 - 1.3071i結(jié)果分析：得到的零極點分布和單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)如上圖。它的零點既有在單位圓內(nèi)的也有在單位圓外的，而極點同樣也是，可見系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由響應(yīng)圖知，系統(tǒng)在經(jīng)過震蕩以后趨向無窮。實驗總結(jié)：通過這次實驗，對Z變換的了解更進了一層。通過例題，知道離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由H(z)的極點位置決定，零

17、點只影響h(n)時域波形的幅度和相位。從變換域的角度看，離散LTI集總參數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)總能用兩個有理多項式表示，因此其所有極點都位于單位圓內(nèi)是保證它穩(wěn)定的充要條件。系統(tǒng)的位置對系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)由特別明顯的影響。（1） 在單位圓內(nèi)的單極點和重極點：當(dāng)n趨于無窮時，脈沖響應(yīng)趨于0；（2） 在單位圓外的單極點和重極點：當(dāng)n趨于無窮時，脈沖響應(yīng)趨于無窮大；（3） 在單位上外的單極點：當(dāng)n趨于無窮時，脈沖響應(yīng)趨于常數(shù)和等幅震蕩；（4） 在單位上外的重極點：當(dāng)n趨于無窮時，脈沖響應(yīng)趨于無窮大。學(xué)習(xí)心得MATLAB語言除了具有的強大數(shù)值計算和圖形功能以外，還有其他語言難以比擬的功能

18、，如其提供的應(yīng)用于許多領(lǐng)域的工具箱。以外，MATLAB與其他語言的接口能保證它可以和各種強大的計算機軟件相組合，發(fā)揮更大的作用。經(jīng)過一個星期的編程操作，初步了解了MATLAB的概況和語言特征特點，掌握了MATLAB一些函數(shù)的初步用法，并會編寫一些很基本的函數(shù)。MATLAB具有功能強大的編程語言和交互是計算機環(huán)境。MATLAB語言可以被認為是一種解釋性語言，用戶可以再MATLAB的命令空間中間如一個命令就可以直接進行數(shù)字運算，也可以應(yīng)用MATLAB語言編寫應(yīng)用程序，運行程序及跟蹤調(diào)試程序。MATLAB軟件會對命令和程序的各條語句進行翻譯，然后在MATLAB環(huán)境中對它進行處理，最終返回結(jié)果。本程序

19、主要是多給定差分方程的系統(tǒng)進行Z變換，然后求解系統(tǒng)的零極點，并畫出系統(tǒng)的零件點分布圖，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進性分析，并且畫出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)及對正弦輸入信號的響應(yīng)。此試驗可以看作是MATLAB在控制系統(tǒng)的應(yīng)用，MATLAB中含有極為豐富的專門用于控制系統(tǒng)分析與設(shè)計的函數(shù)，例如，復(fù)數(shù)運算，求解特征值，方程的根，矩陣求逆以及快速傅立葉變換等一些復(fù)雜的運算，在MATLAB中僅用一條函數(shù)便能實現(xiàn)。更為方便的是，MATLAB中的線性代數(shù)，矩陣計算和數(shù)值分析等功能為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計了可靠的基礎(chǔ)和技術(shù)。MATLAB可以實現(xiàn)對線性系統(tǒng)的時域或頻域分析。設(shè)計與建模，利用的就是工具箱中的各種算法，而這些算法大部分都是M文件，可以直接調(diào)用。MATLAB既可以處理連續(xù)的系統(tǒng)，也可以處理離散的系統(tǒng)。根據(jù)控制系統(tǒng)的描述方法不同，例如，系統(tǒng)是用傳遞函數(shù)來表達，還是用狀態(tài)時間來表達，可以選擇經(jīng)典的或現(xiàn)代控制技術(shù)來處理。不僅如此，還可以利用MATLAB提供的函數(shù)來進行模型之間的轉(zhuǎn)換。對于經(jīng)典控制系統(tǒng)的分析中常用的一些分析方法，例如，時間響應(yīng)，頻率響應(yīng)，根軌跡等能夠很方便