熱彈性與有限元數(shù)值仿真(傳熱學(xué)2)

1、pvTTTTCqtxxyyzz 求解導(dǎo)熱問(wèn)題的關(guān)鍵是獲得溫度場(chǎng)求解導(dǎo)熱問(wèn)題的關(guān)鍵是獲得溫度場(chǎng), ,而要獲得溫度場(chǎng)實(shí)而要獲得溫度場(chǎng)實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為對(duì)如下導(dǎo)熱微分方程式的求解。質(zhì)上歸結(jié)為對(duì)如下導(dǎo)熱微分方程式的求解。 對(duì)上述偏微分方程：對(duì)上述偏微分方程： 對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題用純數(shù)學(xué)的方法來(lái)解微分方程對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題用純數(shù)學(xué)的方法來(lái)解微分方程非常困難；非常困難； 利用計(jì)算機(jī)來(lái)獲得滿足工程要求的數(shù)值解利用計(jì)算機(jī)來(lái)獲得滿足工程要求的數(shù)值解計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真。計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真。 一、常用的數(shù)值計(jì)算方法：一、常用的數(shù)值計(jì)算方法： 1 1。有限差分法、。有限差分法、2 2。有限單元法、有限單元法、3 3。邊界元法等。邊界元法等

2、二、二、有限元分析有限元分析軟件的應(yīng)用軟件的應(yīng)用： 目前，有限元理論及其應(yīng)用已經(jīng)很成熟，有許多目前，有限元理論及其應(yīng)用已經(jīng)很成熟，有許多商業(yè)軟件可應(yīng)用，如：商業(yè)軟件可應(yīng)用，如：ANSYSANSYS、PHOENICSPHOENICS、KIVA-2KIVA-2等。等。 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解法的求解原理導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解法的求解原理 理論解 在規(guī)定的邊界條件下積分，有很大局限性； 數(shù)值解 借助計(jì)算機(jī)，前景廣闊。1.有限差分法原理（連續(xù)的問(wèn)題 離散的問(wèn)題） 以有限差分 無(wú)限微分 無(wú)限劃分 實(shí)質(zhì) 達(dá)到精度 以差分代數(shù)方程 微分方程 計(jì)算機(jī)幫助 （當(dāng)離散點(diǎn)足夠多時(shí)可以滿足要求） xtdxdt 下面先對(duì)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題中

3、位于計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)(簡(jiǎn)稱內(nèi)節(jié)點(diǎn))介紹其離散方程的建立方法，而位于邊界上的節(jié)點(diǎn)及非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散將在以后討論。 為討論方便，把如圖中的節(jié)點(diǎn)(m，n)及其鄰點(diǎn)取出并放大，如圖所示。圖4-3 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 下面以一個(gè)二維導(dǎo)熱問(wèn)題為例進(jìn)行分析：把一個(gè)二維物體在X及Y方向上分別以 及 距離分割成矩形網(wǎng)格。則其中節(jié)點(diǎn)（m，n)的坐標(biāo)為：X=m , Y=n ,其余節(jié)點(diǎn)類推。（舉例） 三種基本差分格式：以節(jié)點(diǎn)(m，n)為例（1）向前差分：（2）向后差分：（3）中心差分：XYXYyttytxttxtnmnmnmnmnmnm,1, 1,yttytxttxtnmnmnmnmnmnm1, 1,

4、yttytxttxtnmnmnmnmnmnm2/1,2/1, 2/1, 2/1,對(duì)無(wú)內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、二階導(dǎo)熱微分方程，有： 用中心差分格式因?yàn)椋核裕?2222ytxtxttxtxttxtnmnmnmnmnmnm, 1, 2/1, 1, 2/1,yttytyttytnmnmnmnmnmnm1,2/1,1,2/1,2, 1, 1, 2/1, 2/1,22)(2xtttxxtxtxtnmnmnmnmnmnm21,1,2/1,2/1,22)(2ytttyytytytnmnmnmnmnmnm2222ytxt2, 1, 1)(2xtttnmnmnm21,1,)(2ytttnmnmnm 最終得： 如果取正方

5、形網(wǎng)格，即取 ，則上式為： tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0 上式說(shuō)明：在導(dǎo)熱系數(shù)為常量時(shí)，熱量的轉(zhuǎn)移可用溫度差來(lái)表達(dá)； 在穩(wěn)態(tài)下，流向任何節(jié)點(diǎn)的熱量的總和必須為零。 對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)寫(xiě)出上式，然后聯(lián)立求解方程組，即可求解。 （如邊界溫度已知，可逐步遞推求解）yx 位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn) 這時(shí)邊界節(jié)點(diǎn)(m，n)代表半個(gè)元體。如圖4-4中有陰影線的區(qū)域所示。設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw，于是該元體的能量守恒定律可表為圖4-4 平直邊界上的節(jié)點(diǎn)x=y時(shí)有(2)外部角點(diǎn) 在如圖4-5所示的二維墻角計(jì)算區(qū)域中，節(jié)點(diǎn)AE均為外部角點(diǎn)，其特點(diǎn)是每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅代表四分之一

6、個(gè)以x、y為邊長(zhǎng)的元體。今以外部角點(diǎn)D為例，假設(shè)其邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw，則其熱平衡式為圖4-5 外部角點(diǎn)與內(nèi)部角點(diǎn)x=y時(shí)有（4-5a）（4-5b）(3)內(nèi)部角點(diǎn) 圖4-5中的F點(diǎn)為內(nèi)部角點(diǎn)，代表了四分之三個(gè)元體。在同樣的假設(shè)條件下有 x=y時(shí)有（4-6b）（4-6a） 現(xiàn)在來(lái)討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況。 (1)絕熱邊界 令式(4-4)(4-6)中的qw0即可。 (2) qw值不為零 以給定的qw值代入上述方程，但要注意上述三式中以傳入計(jì)算區(qū)域的熱量為正。 (3)對(duì)流邊界 此時(shí)qwh(tf tm,n)，將此表達(dá)式代入式(4-4)(4-6)，并將此項(xiàng)中的tm,n與等號(hào)前的tm,

7、n合并。對(duì)于x=y的情形有： 平直邊界 當(dāng)計(jì)算區(qū)域中出現(xiàn)曲線邊界或傾斜的邊界時(shí)，常常用階梯形的折線來(lái)模擬真實(shí)邊界，然后再用上述方法建立起邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。例如，如要用數(shù)值方法確定如圖4-6a所示二維區(qū)域的形狀因子，顯然，根據(jù)對(duì)稱性我們只要考慮四分之一的計(jì)算區(qū)域即可。圖4-6a中的內(nèi)圓邊界可以來(lái)用圖4-6b所示的階梯形的折線邊界來(lái)近似。只要網(wǎng)格取得足夠密，這種近似處理方法仍能獲得相當(dāng)準(zhǔn)確的結(jié)果。處理不規(guī)則邊界的更好的方法要用到坐標(biāo)變換，這里不做介紹。圖4-6 不規(guī)則區(qū)域的處理 下面討論代數(shù)方程的求解方法。 前已指出，代數(shù)方程組的求解方法分為直接解法及迭代法兩大類。直接解法是指通過(guò)有限次運(yùn)算獲得

8、代數(shù)方程精確解的方法，像矩陣求逆、高斯消元法等均屬于此種方法。這一方法的缺點(diǎn)是計(jì)算所需的計(jì)算機(jī)內(nèi)存較大，當(dāng)代數(shù)方程的數(shù)目較多時(shí)使用不便。另一類方法稱迭代法。在迭代法中先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)(設(shè)定初場(chǎng))，在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算后的結(jié)果相差小于允許值為止，稱為迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。本書(shū)中只介紹迭代法。 迭代法中應(yīng)用較廣的是高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法，現(xiàn)以簡(jiǎn)單的三元方程組為例說(shuō)明其實(shí)施步驟。 設(shè)有一個(gè)三元方程組，記為 其中ai,j(i1，3，j1，3)及bi(i1，3)是已知的系數(shù)(設(shè)均不為零)及常數(shù)。采用高斯賽德?tīng)柕ㄇ蠼獾牟襟E如下： (1)將式(

9、a)改寫(xiě)成關(guān)于t1、t2、t3的顯式形式(迭代方程)，如 (2)假設(shè)一組解(即迭代初場(chǎng))，記為t1(0)、t2(0)及t3(0)，由式(b)逐計(jì)算出改進(jìn)值t1(1)、t2(1)及t3(1)。每次計(jì)算均用t的最新值代人。例如當(dāng)由式(b)中的第三式計(jì)算t3(1)時(shí)代入的是t1(1)及t3(1)之值。 (3)以計(jì)算所得之值作為初場(chǎng)，重復(fù)上述計(jì)算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，此時(shí)稱為已達(dá)到迭代收斂，迭代計(jì)算終止。 判斷迭代是否收斂的淮則一般有以下三種： 其中上角標(biāo)k及(k十1)表示迭代次數(shù)，tmax(k)為第k次迭代計(jì)算所得的計(jì)算區(qū)域中的最大值。當(dāng)計(jì)算區(qū)域中有接近于零的t時(shí)，采用式(4-10c)

10、比較合適。允許的相對(duì)偏差之值常在10-310-6之間，視具體情況而定。43 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要差別在于控制方程中多了一個(gè)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，而其中擴(kuò)散項(xiàng)的離散方法與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是一樣的。因此，本節(jié)討論重點(diǎn)將放在非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散以及擴(kuò)散項(xiàng)離散時(shí)所取時(shí)間層的不同對(duì)計(jì)算帶來(lái)的影響上。1.泰勒展開(kāi)法 首先以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例討論時(shí)間空間區(qū)域的離散化。如圖4-8所示，x為空間坐標(biāo)，我們將計(jì)算區(qū)域劃分為(N-1)等份，得到N個(gè)空間節(jié)點(diǎn)；為時(shí)間坐標(biāo)，我們將時(shí)間坐標(biāo)上的計(jì)算區(qū)域劃分為(I-1)等份，得到I個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)。從一個(gè)時(shí)間層到下一個(gè)時(shí)間層的間隔稱為時(shí)間步長(zhǎng)。空間網(wǎng)格線與時(shí)間網(wǎng)格線的交點(diǎn)，

11、如(n，i)，代表了時(shí)間空間區(qū)域中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置，相應(yīng)的溫度記為tn(i)。 非穩(wěn)態(tài)項(xiàng) 的離散有三種不同的格式。如果將函數(shù)在節(jié)點(diǎn)(n，i+1)對(duì)點(diǎn)(n，i)作泰勒展開(kāi)，可有 由式(b)可得在點(diǎn)(n，i)處一階導(dǎo)數(shù)的一種差分表示式 , 的向前差分: 類似地，將t在點(diǎn)(n，i-1)對(duì)點(diǎn)(n，i)作泰勒展開(kāi)，可得 的向后差分的表達(dá)式： 如果將t在點(diǎn)(n，i+1)及(n，i-1)處的展開(kāi)式相加，則可得一階導(dǎo)數(shù)的中心差分的表達(dá)式： 在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算中，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的上述三種差分格式都有人采用，本書(shū)主要采用向前差分的格式，但也簡(jiǎn)單介紹了向后差分的格式。 如果把式(4-14a)中的擴(kuò)散項(xiàng)也用(i+1

12、)時(shí)層上的值來(lái)表示，則有 式中已知的是i時(shí)層的值tn(i)，而未知量有3個(gè)，因此不能直接由上式立即算出tn(i+1)之值，而必須求解(i+1)時(shí)層的一個(gè)聯(lián)立方程才能得出(i十1)時(shí)層各節(jié)點(diǎn)的溫度，因而式(4-15)稱為隱式差分格式。從時(shí)空坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)(n，i+1)來(lái)看，式(4-15)的左端是非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的一種向后差分。隱式格式的缺點(diǎn)是計(jì)算工作量大，但它對(duì)步長(zhǎng)沒(méi)有限制，不會(huì)出現(xiàn)解的振蕩現(xiàn)象。 以上是將一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程中的兩個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)用相應(yīng)的差分表示式代替而建立差分方程的，這種方法稱為泰勒展開(kāi)法。2.熱平衡法 這種方法不受網(wǎng)格是否均分及物性是否為常數(shù)等限制，是更為一般的方法。 圖4-9示出了一無(wú)限大

13、平板的右面部，其右側(cè)面受到周圍流體的冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。此時(shí)邊界節(jié)點(diǎn)N代表寬度為x/2的元體(圖中有陰影線的部分)。對(duì)該元體應(yīng)用能量守恒定律可得經(jīng)整理得 式中 是以x特征長(zhǎng)度的傅里葉數(shù)，稱為網(wǎng)格傅里葉數(shù)， 一項(xiàng)可作如下變化： 式中Fo及Bi分別為網(wǎng)格傅里葉數(shù)及網(wǎng)格畢渥數(shù)。于是式(4-16b)又可改寫(xiě)為 至此，我們可以把第三類邊界條件下、厚度為2的無(wú)限大平板的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題作一歸納。由于問(wèn)題的對(duì)稱性，只要求解一半厚度即可，其數(shù)學(xué)描寫(xiě)見(jiàn)式(3-10)(3-13)，此處不再重復(fù)。設(shè)將計(jì)算區(qū)域等分為N-1等份(N個(gè)節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖4-10)，節(jié)點(diǎn)1為絕熱的對(duì)稱面，節(jié)點(diǎn)N為對(duì)流邊界，則與微分形式的數(shù)學(xué)描寫(xiě)相

14、對(duì)應(yīng)的離散形式為 其中式(4-20)是絕熱邊界的一種離散方式，在確定t1(i+1)之值時(shí)需要用到t-1(i) 。根據(jù)對(duì)稱性該值等于t2(i)。這樣，從已知的初始分布t0出發(fā)，利用式(4-17)及(4-19)可以依次求得第二時(shí)層、第三時(shí)層直到I時(shí)層上的溫度值(見(jiàn)圖4-8)。至于空間步長(zhǎng)x及時(shí)間步長(zhǎng)的選取，原則上步長(zhǎng)越小，計(jì)算結(jié)果越接近于精確解，但所需的計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間則大大增加。此外，x及之間的關(guān)系還受到顯式格式穩(wěn)定性的影響。下面我們從離散方程的結(jié)構(gòu)來(lái)分析，說(shuō)明穩(wěn)定性限制的物理意義。 式(4-17)的物理意義是很明確的。該式表明，點(diǎn)n上i+l時(shí)刻的溫度是在該點(diǎn)i時(shí)刻溫度的基礎(chǔ)上計(jì)及了左右兩鄰

15、點(diǎn)溫度的影響后得出的。假如兩鄰點(diǎn)的影響保持不變，合理的情況是：i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越高，則其相繼時(shí)刻的溫度也較高；反之，i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越低，則其相繼時(shí)刻的溫度也較低。在差分方程中要滿足這種合理性是有條件的，即式(4-17)中tn(i)前的系數(shù)必須大于或等于零。如用判別式表示，則為必須保證 ANSYSANSYS軟件在求解柴油機(jī)零部件溫度場(chǎng)的應(yīng)用軟件在求解柴油機(jī)零部件溫度場(chǎng)的應(yīng)用 180活塞二維軸對(duì)稱模型穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng) 180活塞三維軸對(duì)稱模型穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng) 二維結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)循環(huán)瞬態(tài)溫度場(chǎng)動(dòng)畫(huà)演示 三維結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)循環(huán)瞬態(tài)溫度場(chǎng)動(dòng)畫(huà)演示第二部分第二部分 有限元法原理有限元法原理v有限差分法要對(duì)網(wǎng)格規(guī)則劃分而

16、有限單元法可以進(jìn)行不規(guī)則的劃分v缺點(diǎn)：死板，不利于復(fù)雜問(wèn)題求解v變分原理可以允許網(wǎng)格任意劃分v變分法是有限元法的基礎(chǔ)v如何把微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢拊ǖ幕居?jì)算公式?v古典的偏微分方程的近似（無(wú)限逼近達(dá)到要求）計(jì)算：1.有限差分法 2.變分法有限單元法 泛函的基本定義v定義函數(shù)y=f(x) 則定義泛函J=Jy(x) vJ值依賴于自變函數(shù)y(x)的變化v函數(shù)y(x)又依賴于自變量x的變化v泛函是函數(shù)的函數(shù)v研究泛函的極值問(wèn)題的方法變分法v研究函數(shù)的極值問(wèn)題的方法微分法v采用變分法求泛函J=Jy(x)的極值問(wèn)題（變分法）v最簡(jiǎn)單的一維泛函一般形式Jy(x)= v變分v變分運(yùn)算與微分運(yùn)算幾乎相同（注意在

17、變分計(jì)算中自變量x做常數(shù)處理v因?yàn)槲⒎址匠糖蠼馔ǔ６急容^困難，而計(jì)算泛函變分求極值比較方便，所以常常把微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)泛函的極值問(wèn)題21)(),(,1xxdxxyxyxF)(xyJJv舉例：v求泛函Jy(x)= ，在邊界條件y(0)=0，y(1)=1下達(dá)到極值的曲線。v解：這里 v則v 既v一維歐拉方程dxxyy1022)(xyyyyxF2)(),(211 2)(2,2yyFdxdyyFxyFxyyx 02212 21cxy21361cxcxy210)(xxydxyFdxdyFJ即極值條件是： 利用邊界條件：y(0)=0，y(1)=1得到： 極值曲線0)(yFdxdyFxxcxc

18、xy6561613213泛函，變分舉例分析 在鉛垂平面xoy上有2點(diǎn)A，B（它們不在同一鉛垂線上），如圖所示：連接A，B兩點(diǎn)的曲線有很多，要求找到一條曲線，使垂物W憑自重又A點(diǎn)沿此曲線滑到B點(diǎn)（忽略摩擦）所需的時(shí)間最短？ 解：兩點(diǎn)間直線距離最短，但所需的時(shí)間不是最短 連接A，B兩點(diǎn)的曲線很多，設(shè)每一條曲線的 函數(shù)為 而每一條曲線對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)間量T，那么T即函數(shù)y (x)的泛函，T=Ty (x)4 . 3 . 2 . 1)(ixfyivA(0.0) Xv v p(x,y) B(x,y) v VY要求最短時(shí)間，即求T=Ty (x)的極值（最小值）泛函的變分問(wèn)題21)(),(,Jy(x)1xxdxxy

19、xyxF二維歐拉方程v二維泛函的一般形式 v其中v變分v其中dxdyuuuyxFDyx,y)(x,Ju yyxuuxyxuuyx),(,),(dxdyuuFuuFuuFJyyxdx)(),(uyyuuuxxuuyx最后可變?yōu)闃O值條件是即二維歐拉方程為其中udxdyFyFxuFJyxuud)()(0J0yFxFuFyxuuyuxuuFFuFFyx,瞬態(tài)溫度場(chǎng)的變分原理公式邊界條件為第二類其中 為換熱系數(shù),Tf為周圍介質(zhì)溫度,求其溫度函數(shù) 02222ytxt)(Ttntf),(yxtt 這個(gè)溫度場(chǎng)的泛函為:應(yīng)用二維歐拉方程可證明,為極值函數(shù)時(shí),必須滿足微分方程 和邊界條件參考書(shū):(機(jī)械結(jié)構(gòu)分析的有

20、限元方法,楊萊柏主編) dstttdxdyytxtyxtJRf)21()()(2),(2202222ytxt)(TTntf函數(shù)和泛函極值的類比若函數(shù)y=f(x)在x有極值,則 ， 為極值點(diǎn)若泛函在曲線 上達(dá)到極值,則在此曲線上有: 為極值函數(shù),怎么把變分和有限元法聯(lián)系到一起?0)(0 xf0 x)(0 xy0)(0 xyJ)(0 xy里茲法設(shè)要求得滿足微分方程以及邊界條件 的函數(shù)在區(qū)間a,b連續(xù) ,這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于求解相應(yīng)的泛函 達(dá)到極值時(shí)的極值函數(shù))(22xfdxdBbAa)(,)()(),(xfxbadxxxfdxdxJ)()()(21)(2)(x里茲求解法極值函數(shù)展開(kāi)成 是滿足邊界條件的可

21、能解 是待定系數(shù)則上式可變?yōu)?這樣,泛函可看成n個(gè)變量的多元函數(shù),對(duì)于n元函數(shù)的極值條件: niiinnxxxxxx1332211)()()()()()()()(1xxnn1,)(21nJxJ0,0,0,213212211nnnJJJ有限元法的變分解釋對(duì)二維問(wèn)題:由邊界條件其泛函為:把求解區(qū)域D劃分成有限個(gè)子區(qū)域,分成n個(gè)三角形單元,單元記作De02222yuxu),(),(yxfyxucdxdyyuxuyxuJD)()(21),(22則整個(gè)區(qū)域D為各個(gè)單元的組合同樣:求解區(qū)域D的泛函可寫(xiě)成個(gè)單元泛函的組合. 若為三角形單元,有三個(gè)節(jié)點(diǎn),按照里茲法,將函數(shù)近似地展開(kāi)成K為總節(jié)點(diǎn),由泛函極限條件

22、: neeDD1neeeyxuJyxuJ1),(),(),(yxuemmjjiieuNuNuNyxu),(,),(21kuuuJyxuJ0J即得到線性方程組,求k個(gè)節(jié)點(diǎn)的值從而獲得整個(gè)區(qū)域的解.k) 1,2=(i, 0iuJkuuu21,單元剖分和溫度場(chǎng)離散溫度插值函數(shù) YO XYO X),(jjJyxT),(iiiyxTmTmSjS),(yxTiS 用有限元法將區(qū)域D剖分成 個(gè)單元,n個(gè)節(jié)點(diǎn),把區(qū)域內(nèi)連續(xù)的溫度場(chǎng)離散到幾個(gè)節(jié)點(diǎn)上去,最后只需要求節(jié)點(diǎn)上的溫度. 對(duì)于三角形單元內(nèi)的溫度T,假設(shè)其為x和y坐標(biāo)的線性函數(shù)(因?yàn)閱卧銐蛐?總可以做到),即: 是待定系數(shù) 同理3E321321,aaay

23、axaaTmmmjjjiiiyaxaaTyaxaaTyaxaaT321321321矩陣簡(jiǎn)化寫(xiě)成 即 mjimmjjiiTTTaaayxyxyx321, 1, 1, 1mjimjimjimjiTTTcccbbbaaaaaa,21321)()()(21mmmmjjjjiiiiTycxbaTycbaTycxbaTmmjjiiTNTNTNTkjimjiTTTNNNT,eeTNT導(dǎo)熱微分方程線形方程組對(duì)于第二類邊界條件二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的微分方程為: 相應(yīng)泛函為:對(duì)泛函求極值,極值條件為:)(, 02222TTnTyTxTfdSTTTdxdyyTxTyxTJkfd)21()()(2),(222ekekTJT

24、T0其中 為單元泛函, 為求和(三角形單元k為i,j,m)我們對(duì)內(nèi)部單元有而我們前面推導(dǎo)得出,對(duì)三角形單元有: 所以 同理: eJeeiiiedxdyyTTxTTTJ)()(2220)()(eiidxdyyTTyTxTTxTijkmmjjiiTNTNTNT)(21)()()(mmjjiimmjjiiTbTbTbTNxTNxTNxxT)(21TcTcTcyTmijii以及 ijk注意到所以有:同理:求得. iiicyTTbxTT21)(,21)(edxdy0)()()(422mmimijjijiiiiieTccbbTccbbTcbTJmejeTJTJ,得到 mjimmmjmjjjmimijiji

25、iimejeieTTTcbccbbcbccbbccbbcbTJTJTJ222222, 0 , 0, 0,40,eemjimmmjmijmjjjiimijiimejeieTHTTThhhhhhhhhTJTJTJ其中 為單元溫度剛度矩 為單元節(jié)點(diǎn)溫度向量同理:對(duì)邊界單元可得到對(duì)總體 eHeT)3 , 2 , 1( , 0nkPTHeeennnnnnnnPPPTTThhhhhhhhh2121212222111211,PTHnkTJTJekek3 , 2 , 1, 0第三部分 熱彈性力學(xué)v基本概念v應(yīng)力(材料力學(xué)定義)vP分解得到垂直與截面的分量稱為正應(yīng)力，相切于截面的分量稱為剪應(yīng)力。單位為v變形:

26、其中 為變形量，沿x方向的應(yīng)變v剪應(yīng)變，角應(yīng)變v胡克定律： 或 （橫向應(yīng)變 ）v 或APPAlim02mNxSxlim0SEEuGrGr廣義胡克定律：其中E為拉壓彈性模量G為剪切彈性模量 為橫向收縮系數(shù)（泊松系數(shù)）考慮溫度應(yīng)變影響：GrGrGrEEEzxxzyzyzxyxyyxzzzzyyzyxx,)(1)(1)(1)1 (2EG有 其中 為物體線膨脹系數(shù),則有 TTxxTzyx000TETETEyxzzxzyyzyxx)(1)(1)(1熱應(yīng)力和熱彈性概念P71平面熱彈性問(wèn)題平面熱彈性平衡方程 00YxyXyxxyyyxxyxxy平面熱彈性運(yùn)動(dòng)方程 (求解動(dòng)態(tài)熱應(yīng)力)邊界條件 2222tYxytXyxxyyyxxlmQmlQxyyyyxxx平面應(yīng)力問(wèn)題xyxyxxyyyyyxxxrEEE)1 (2)()(1)()(1002002用AN