專題2 第2講 三角恒等變換與解三角形

1、第2講三角恒等變換與解三角形(建議用時：60分鐘)一、選擇題1(2014·湖州模擬)已知sin，則cos(2)的值為()ABCD解析由題意，得sincos .所以cos(2)cos 2(2cos21)12cos2.答案B2(2013·濟(jì)寧二模)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a1，B45°，SABC2，則b等于()A5B25CD5解析SacsinB2，×1×c×sin 45°2.c4.b2a2c22accos B1322×1×4×cos 45°.b225，b5.答案

2、A3(2014·北京東城區(qū)期末)在ABC中，A，B，C為內(nèi)角，且sin Acos Asin Bcos B，則ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析由sin Acos Asin Bcos B得sin 2Asin 2Bsin(2B)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰或直角三角形答案D4(2013·浙江卷)已知R，sin 2cos ，則tan 2等于()A.BCD解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2.化簡，得4sin 23cos 2，tan 2.答案C5(2013·湖南卷)在銳

3、角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin Bb，則角A等于()A.BCD解析在ABC中，利用正弦定理得3sin Asin Bsin B，sin A.又A為銳角，A.答案D6在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cos C等于()A.BC±D解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解由，且8b5c，C2B，所以5csin 2B8csin B，所以cos B.所以cos Ccos 2B2cos2 B1.答案A7已知tan ，sin()，其中，(0，)，則sin 的值為()A.BC.D或解析依題意得sin ，cos ；注意到sin()&l

4、t;sin ，因此有>(否則，若，則有0<<，0<sin <sin()，這與“sin()<sin ”矛盾)，則cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .答案A二、填空題8(2014·衡水調(diào)研)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b_.解析在ABC中，sin Acos C3cos Asin C，則由正弦定理及余弦定理有a·3··c，化簡并整理得2(a2c2)b2.又由已知a2c22b，則4bb2，解得b4或b0(舍

5、)答案49在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC_.解析在ABC中，由余弦定理得AC2BA2BC22BA·BCcos ABC()2322××3cos 5.AC，由正弦定理得sin BAC.答案10如圖，在ABC中，已知點D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長為_解析sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22AB·ADcosBAD(3)2322×3×3×3，即BD.答案11若，cos ，sin ，則cos ()_.解析，<<，<<，由

6、cos 和sin 得±，當(dāng)，時，0，與，矛盾；當(dāng)，時，此時cos ().答案12(2014·四川卷改編)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC_m.解析如圖，在ACD中，CAD90°30°60°，AD60 m，所以CDAD·tan 60°60(m)在ABD中，BAD90°75°15°，所以BDAD·tan 15°60(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案12

7、0(1)三、解答題13已知函數(shù)f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期為10.(1)求的值；(2)設(shè)，f，f，求cos()的值解(1)由題意知f(x)2cos的最小正周期T10，則.(2)由(1)知f(x)2cos，又，f，f，即cos，cos ，sin ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.14(2013·新課標(biāo)全國卷)如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.解(1)因為在RtBPC中，BC1，PB，所以CBP60°，所以PBA30°，由余弦定理，得PA.(2)設(shè)PBA，由已知得PBsin ，由正弦定理，得，化簡得cos 4sin ，故tan .即tanPBA.15(2013·新課標(biāo)全國卷)ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos C