一_二維形式的柯西不等式

1、設(shè)設(shè) 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). ., , ,a b c d()()2222 abcd聯(lián)聯(lián) 想想分析分析: 展開(kāi)乘積得展開(kāi)乘積得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而而(ad-bc)20,因此因此(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2提示提示 上式上式(1)是本節(jié)課所要研究是本節(jié)課所要研究的柯西不等式的柯西不等式.(1)二維形式的柯西不等式 定理1:(二維形式的柯西不等式) .,)()(,等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)

2、當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若bcadbdacdcbadcba22222容易得出等式根據(jù)二維形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立對(duì)于任何實(shí)數(shù)所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成成立立述述不不等等式式中中的的等等號(hào)號(hào)何何時(shí)時(shí)上上請(qǐng)請(qǐng)同同學(xué)學(xué)考考慮慮不不等等式式這這也也是是兩兩個(gè)個(gè)非非常常有有用用的的討論討論 對(duì)一個(gè)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行最簡(jiǎn)單的詮釋?zhuān)瑢?duì)一個(gè)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行最簡(jiǎn)單的詮釋?zhuān)柚庇^(guān)的幾何背景。討論柯西往往要借助直觀(guān)的幾何

3、背景。討論柯西不等式的幾何意義。不等式的幾何意義。0 xy, a b, c d 設(shè)在平面直角坐標(biāo)系設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xoy中有向量中有向量=(a,b), =(c,d) ，與之間的夾角為，與之間的夾角為，0 （如圖）（如圖）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有.=cos 用平面向量的坐標(biāo)表示不等式用平面向量的坐標(biāo)表示不等式(2)得：得：所以所以.=cos 因?yàn)橐驗(yàn)閏os1,所以所以 . 2222dcbabdac定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式） 設(shè)設(shè)，是兩個(gè)向量，則是兩個(gè)向量，則 .,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在是零向量或存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k,使使=k時(shí)，等號(hào)成立

4、時(shí)，等號(hào)成立.觀(guān)察觀(guān)察 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P1,P2 的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是(x1,y1)(x2,y2)，根據(jù)，根據(jù)oP1P2 的邊的邊長(zhǎng)關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這四個(gè)實(shí)數(shù)長(zhǎng)關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這四個(gè)實(shí)數(shù) x1,y1,x2,y2蘊(yùn)含著蘊(yùn)含著何種大小關(guān)系嗎？何種大小關(guān)系嗎？0 xy 111,Pxy 222,Pxy0 xy 111,Pxy 222,Pxy.定理定理3(二維形式的三角不等式二維形式的三角不等式) 112222222211221212,xy xyRxyxyxxyy 設(shè)設(shè)那那么么 22222211221212xyxyxxyy 所所以以2212212221212

5、221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 證明證明22122122222121)()( yyxxyxyx 二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxzyxzyx 三三維維形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式分析分析 雖然可以作乘法

6、展開(kāi)上式的兩雖然可以作乘法展開(kāi)上式的兩邊，然后在比較它們的大小。但如邊，然后在比較它們的大小。但如果注意到不等式的形式與柯西不等果注意到不等式的形式與柯西不等式的一致性，既可以避免繁雜了。式的一致性，既可以避免繁雜了。例例1已知已知a,b為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。試證試證(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)證證 明明根據(jù)柯西不等式，有根據(jù)柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2反思反思 在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算. .分析分析 利用不等式解決極值問(wèn)題，通

7、常設(shè)法在利用不等式解決極值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的等號(hào)的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化成和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。等式求其最大值。 例例21102 .xx求求函函數(shù)數(shù)y=5y=5 22221 50.512552156 321551276 3.27yyxxxxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?， ，且且當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，等等號(hào)號(hào)成成立立，即即時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)取取最最大大值值1.354 6yxx 求求函函數(shù)數(shù)的的最最

8、大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)定定義義域域?yàn)闉?，且且X+2y=2x(1/2)+3y(2/3)6 (5/6)=5例例3,114.a bab 設(shè)設(shè)R R ，a a+ +b b= =1 1, , 求求證證分析分析 問(wèn)題中問(wèn)題中a+b=1這個(gè)條件，由于常這個(gè)條件，由于常數(shù)數(shù)1的特殊性，用的特殊性，用a+b去乘任何數(shù)或去乘任何數(shù)或式子，都不會(huì)改變它們的值式子，都不會(huì)改變它們的值.證證 明明 2,11114.1,114.a bRabababababab 由由于于根根據(jù)據(jù)柯柯西西不不等等式式，得得又又所所以以三三維維柯柯西西不不等等式式三三維維三三角角不不等

9、等式式22222221231231122332222221112222221212122.(a +a +a )(b +b +b )(a b +a b +a b ) ;x +y +z +x +y +z(x -x ) +(y -y ) +(z -z )222.236,211.xyxy 已已知知求求證證 222236,1422311.23211.yxyxyxy 證證明明：因因?yàn)闉? 2x x所所以以因因此此補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題:.1,yb, 1的的最最小小值值求求且且已已知知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxyb

10、xaRbayx 時(shí)時(shí)取取等等號(hào)號(hào)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解變式引申變式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)為為的的最最小小值值為為得得由由時(shí)時(shí)取取等等號(hào)號(hào)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范圍圍是是則則且且若若補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值為為函函數(shù)數(shù) xxy_2, 623,. 422值是值是的最大的最大則則滿(mǎn)足滿(mǎn)足設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的最小值是的最小值是則則若若bbaaba AB311225小結(jié)小結(jié): .,),()()()1(22222等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在