中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上方程與不等式綜合復(fù)習(xí)【考綱要求】1會(huì)從定義上判斷方程(組)的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況；2掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無(wú)理式為有理式”；3理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式(組)的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；4列方程(組)、列不等式(組)解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題；5. 解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元一次方程1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.方程的解能使方程兩邊相等的未知

2、數(shù)的值叫做方程的解.3.等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.4.一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).5.一元一次方程解法的一般步驟 整理方程 去分母 去括號(hào) 移項(xiàng) 合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1(檢驗(yàn)方程的解).6.列一元一次方程解應(yīng)用題 (1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問(wèn)題” 仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加

3、，減少，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.(2)畫圖分析法：多用于“行程問(wèn)題” 利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過(guò)圖形找相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)用題的常用公式：(1)行程問(wèn)題： 距離=速度×時(shí)間 ；(2)工程問(wèn)題： 工作量=工效×工時(shí) ；(3)比率問(wèn)題： 部分=全體×比率 ；(4)順

4、逆流問(wèn)題： 順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；(5)商品價(jià)格問(wèn)題： 售價(jià)=定價(jià)·折· ，利潤(rùn)=售價(jià)-成本， ；(6)周長(zhǎng)、面積、體積問(wèn)題：C圓=2R，S圓=R2，C長(zhǎng)方形=2(a+b)，S長(zhǎng)方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S環(huán)形=(R2-r2)，V長(zhǎng)方體=abh ，V正方體=a3，V圓柱=R2h ，V圓錐=R2h.考點(diǎn)二、一元二次方程1.一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次

5、項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).3.一元二次方程的解法（1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.（2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分

6、解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商. 要點(diǎn)詮釋： 一元二次方程的解法中直接開平方法和因式分解法是特殊方法，比較簡(jiǎn)單，但不是所有的一元二次方程都能用這兩種方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用這兩種方法去解.（1）判斷

7、一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).考點(diǎn)三、分式方程1.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”.它的一般解法是：去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母；解所得的整式方程；驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.3.分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)

8、中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法.要點(diǎn)詮釋：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根 增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.考點(diǎn)四、二元一次方程（組）1.二元一次

9、方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a0，b0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解.3.二元一次方程組兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.4.二元一次方程組的解使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.5.二元一次方程組的解法代入消元法；加減消元法.6.三元一次方程（組）（1）三元一次方程把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程組由三個(gè)（或三個(gè)

10、以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：二元一次方程組的解法：消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.（3）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無(wú)解、無(wú)限多解教材中主要是研究有唯一解的情況，對(duì)于其他情況，可根據(jù)學(xué)生的接受能力給予

11、滲透考點(diǎn)五、不等式（組）1.不等式的概念 （1）不等式用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解.對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集.求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式.2.不等式基本性質(zhì) （1）不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.3.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的概念一般地，不等

12、式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；將x項(xiàng)的系數(shù)化為1.4.一元一次不等式組 （1）一元一次不等式組的概念幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組.幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集.求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組.當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集.（2）一元一次不等式組的解法分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部

13、分，即這個(gè)不等式組的解集.由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表不等式組（其中ab）圖示解集 口訣 （同大取大） （同小取?。?（大小取中間）無(wú)解 （空集） （大大、小小找不到） 注：不等式有等號(hào)的在數(shù)軸上用實(shí)心圓點(diǎn)表示.要點(diǎn)詮釋： 用符號(hào)“”“”“ ”“”“”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性質(zhì)：若ab，則ba；若ab，bc，則ac；若ab，且ba，則a=b；若a20，則a=0；若ab0或，則a、b同號(hào)；若ab0或，則a、b異號(hào).（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：a-bOab；a-b=Oa=b；a-bOab不等號(hào)具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換

14、：但ab可轉(zhuǎn)換為ba，cd可轉(zhuǎn)換為dc.【典型例題】類型一、方程的綜合運(yùn)用1如圖所示，是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)y1、y2的圖象、，設(shè)，則方程組的解是( ) A B C D【思路點(diǎn)撥】圖象、的交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解.【答案】B；【解析】由圖可知圖象、的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，3)，所以方程組的解為【總結(jié)升華】方程組與函數(shù)圖象結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也是中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透2近年來(lái)，由于受國(guó)際石油市場(chǎng)的影響，汽油價(jià)格不斷上漲請(qǐng)你根據(jù)下面的信息，幫小明計(jì)算今年5月份汽油的價(jià)格如圖所示【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“用150元給汽車加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案與解析】解：設(shè)今年

15、5月份汽油價(jià)格為x元/升，則去年5月份的汽油價(jià)格為(x-1.8)元/升根據(jù)題意，得， 整理，得 解這個(gè)方程，得x14.8，x2-3 經(jīng)檢驗(yàn)兩根都為原方程的根，但x2-3不符合實(shí)際意義，故舍去【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是從對(duì)話中挖掘出有效的數(shù)學(xué)信息，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題，讓同學(xué)們更進(jìn)一步地體會(huì)到數(shù)學(xué)就在我們身邊類型二、解不等式（組）3已知Aa+2，Ba2-a+5，Ca2+5a-19，其中a2 (1)求證：B-A0，并指出A與B的大小關(guān)系； (2)指出A與C哪個(gè)大?說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】計(jì)算B-A結(jié)果和0比大小，從而判斷A與B的大小；同理計(jì)算C-A，根據(jù)結(jié)果來(lái)比較A與C的大小【答案與解析】 (1)

16、證明：B-Aa2-2a+3(a-1)2+2 a2， (a-1)20， (a-1)2+20 a2-2a+30，即B-A0 由此可得BA (2)解：C-Aa2+4a-21(a+7)(a-3) a2， a+70當(dāng)2a3時(shí)，a-30， (a+7)(a-3)0 當(dāng)2a3時(shí)，A比C大；當(dāng)a3時(shí)，a-30， (a+7)(a-3)0 當(dāng)a3時(shí)，A與C一樣大；當(dāng)a3時(shí)，a-30， (a+7)(a-3)0 當(dāng)a3時(shí)，C比A大【總結(jié)升華】比較大小通常用作差法，結(jié)果和0比大小，此時(shí)常常用到因式分解或配方法. 本題考查了整式的減法、十字相乘法分解因式，滲透了求差比較大小的思路及分類討論的思想舉一反三：【變式1】已知：A

17、=，B=2, C=,其中.(1)求證：A-B>0； (2)試比較A、B、C的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）A-B=，A-B>0(2) C-B=C>BA-C=，A>C>B【變式2】如圖，要使輸出值y大于100，則輸入的最小正整數(shù)x是_【答案】解：設(shè)n為正整數(shù)，由題意得解得則n可取的最小正整數(shù)為11若x為奇數(shù)，即x21時(shí)，y105；若x為偶數(shù)，即x22時(shí)，y101滿足條件的最小正整數(shù)x是21類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用4宏志高中高一年級(jí)近幾年來(lái)招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”學(xué)生，也有一般普通班的學(xué)生由于場(chǎng)地、師資

18、等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學(xué)生可多招20%，“宏志班”學(xué)生可多招10%，問(wèn)今年最少可招收“宏志班”學(xué)生多少名?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)招生人數(shù)列等式，根據(jù)今年招生最多比去年增加100人列不等式.【答案與解析】設(shè)去年招收“宏志班”學(xué)生x名，普通班學(xué)生y名，由條件得將y550-x代入不等式，可解得x100，于是(1+10%)x110故今年最少可招收“宏志班”學(xué)生110名【總結(jié)升華】本題屬于列方程與不等式組綜合題.舉一反三：【變式】為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識(shí)，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小交警”活動(dòng)，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序，若每一個(gè)路口安排

19、4人，那么還剩下78人；若每個(gè)路口安排8人，那么最后一個(gè)路口不足8人，但不少于4人求這個(gè)中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人?共有多少個(gè)交通路口安排值勤?【答案】設(shè)這個(gè)學(xué)校選派值勤學(xué)生x人，共到y(tǒng)個(gè)交通路口值勤根據(jù)題意得 由可得x4y+78，代入，得478+4y-8(y-1)8，解得19.5y20.5根據(jù)題意y取20，這時(shí)x為158，即學(xué)校派出的是158名學(xué)生，分到了20個(gè)交通路口安排值勤5已知關(guān)于x的一元二次方程 .（其中m為實(shí)數(shù)）（1）若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為k， 當(dāng)k = m時(shí)，求m的值； 若記為y，求y與m的關(guān)系式；（2）當(dāng)m2時(shí)，判斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】（1）由于k為此

20、方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，故把k代入原方程，即可得到關(guān)于k的一元二次方程，把k=m代入關(guān)于k的方程，即可求出m的值；由于k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，故把方程兩邊同時(shí)除以k，便可得到關(guān)于y與m的關(guān)系式；（2）先求出根的判別式，再根據(jù)m的取值范圍討論的取值即可【答案與解析】（1） k為的實(shí)數(shù)根， . 當(dāng)k = m時(shí)， k為非零實(shí)數(shù)根， m 0，方程兩邊都除以m，得. 整理，得 . 解得 ，. 是關(guān)于x的一元二次方程， m 2. m= 1. k為原方程的非零實(shí)數(shù)根， 將方程兩邊都除以k，得.整理，得 . .（2）解法一： .當(dāng)m2時(shí)，m0，0. 0，10，0. 當(dāng)m2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 解法二：直

21、接分析m2時(shí)，函數(shù)的圖象， 該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交， 該拋物線必與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn). 當(dāng)m2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 解法三：.結(jié)合關(guān)于m的圖象可知，（如圖）當(dāng)m1時(shí)，4；當(dāng)1m2時(shí)，14. 當(dāng)m2時(shí)，0. 當(dāng)m2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【總結(jié)升華】和一元二次方程的根有關(guān)的問(wèn)題往往可以借助于二次函數(shù)圖象解決，數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題簡(jiǎn)化.舉一反三：【變式1】（2014秋天河區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k1=0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)（1）求k的值（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k1的圖象向右平移1個(gè)單位，向

22、下平移2個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式【答案】解：（1）方程2x2+4x+k1=0有實(shí)數(shù)根，=424×2×（k1）0，k3又k為正整數(shù)，k=1或2或3（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，方程為2x2+4x=0，解得x1=0，x2=2；不合題意，舍去當(dāng)k=2時(shí)，方程為2x2+4x+1=0，解得x1=1+，x2=1；不合題意，舍去當(dāng)k=3時(shí)，方程為2x2+4x+2=0，解得x1=x2=1；符合題意因此y=2x2+4x+2的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得出y=2x22【變式2】已知：關(guān)于x的方程（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根大于5且小于7，

23、求k的整數(shù)值；(3)在的條件下，對(duì)于一次函數(shù)和二次函數(shù)=，當(dāng)時(shí)，有，求b的取值范圍【答案】證明：=(k2)24(k3) =k24k+44k+12 = k28k+16 =(k4)20 此方程總有實(shí)根。解：解得方程兩根為x1=1，x2=3k方程有一根大于5且小于7，5<3k<7， 4<k<2，k為整數(shù)，k=3.解：由知k=-3， ，即 在時(shí)，有類型四、用不等式（組）解決決策性問(wèn)題6（2015春重慶校級(jí)期中）某服裝店到廠家選購(gòu)A、B兩種服裝，若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝12件，B種型號(hào)服裝8件，需要1880元；若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝9件，B種型號(hào)服裝10件，需要1810元（1）求A、B兩種服裝的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場(chǎng)需求，服裝店老板決定：購(gòu)進(jìn)A、B兩種服裝共34件，并使這批服裝全部銷售完畢后總獲利不少于906元問(wèn)服裝店購(gòu)進(jìn)B種服裝至少多少件？（3）在（2）問(wèn)的條件下，服裝店應(yīng)怎樣購(gòu)進(jìn)A、B兩種服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低？最低為多少元？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“A種型號(hào)服裝12件，B種型號(hào)服裝8件，需要1880元”和“A種型號(hào)服裝9件，B種型號(hào)服裝10件，需要1810元”，列方程組求解即可；（2）若設(shè)購(gòu)進(jìn)B種服裝m件，則購(gòu)進(jìn)A種服裝的數(shù)量是