二項式定理常見題型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上常見二項式定理題型總結(jié)一、二項式展開式中某一項的求解方法：1.特定項：使用展開式通項例1：已知的展開式中所有項的系數(shù)和為.(1)求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求的展開式中的常數(shù)項.解析：(1)由題意,令得,即,展開式中二項式系數(shù)最大的項是第項,即.(2)展開式的第項為,由得.由得.展開式中的常數(shù)項為.例2：已知的展開式的各項系數(shù)和比二項式系數(shù)和大.(1)求的值;(2)求展開式中所有有理項.解析：(1)由題意,二項式的展開式的各項系數(shù)和比二項式系數(shù)和大,可得,解得.(2)展開式的通項為,當時 是整數(shù),故展開式中所有有理項為:,.例3：寫出的展開式中:(

2、1)二項式系數(shù)最大的項;(2)項的系數(shù)絕對值最大的項;(3)項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項;解析：(1)二項式系數(shù)最大的項為中間兩項: (2)展開式的通項為因為項的系數(shù)的絕對值為，所以項的系數(shù)的絕對值等于該項的二項式系數(shù)，其最大的項也是中間兩項，·(3)由(2)知中間兩項系數(shù)絕對值相等，又第6項系數(shù)為負，第7項系數(shù)為正，故項的系數(shù)最大的項為，項的系數(shù)最小的項為.例4：(1)求的展開式中的系數(shù);(2)求的展開式中的系數(shù).解析：(1)的展開式的通項是,令,解得.則含的項為第項,即;的系數(shù)為.(2)的通項為,的通項為,其中,令,則有,;,;,.的系數(shù)為.二、展開式特定項求法：組合

3、法（原理法）例1. 已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）解析：由題意得，令，則，解得，即展開式的通項為，令，則，又二項式的展開式中項為，所以展開式中的系數(shù)為.法二：由題意得，令，則，解得，此時(2x2+x-y)n=(2x2+x-y)5,可以利用2個2x2,1個x，2個-y,進行組合，即C52(2x2)2C31xC22(-y)2=120x5y2.例2：將多項式分解因式得,為常數(shù),若,則解析：因為通項公式為,又,.例3.的展開式中常數(shù)項是解析：原二項式可化為，由于二項式的展開式，令，則當時， ，此時對應的項是，所以常數(shù)項的系數(shù)為.法二：分兩類：第1類：1個x2,

4、2個-1x,1個3；第2類：4個3；所以由加法原理得：常數(shù)項為：C41C32(-1)2×3+34=117.三、多項式系數(shù)的和：賦值法例1：已知，求：(1)；(2)；(3).解析：(1)當時，展開式右邊為， . 當時， . (2)令， 令， 由，得， .（3）根據(jù)（2）中式子得， .例2：若 ，則解析：令可得： ，令，可得： ，據(jù)此可得：.例3：設(shè),則解析：令,得到,再令,得到,.例4：設(shè)，則代數(shù)式的值為解析：設(shè) ，令，例5. 設(shè)二項展開式,則.解析：二項展開式,兩邊對求導可得

5、.令,可得.由二項展開式,令,可得.例6. ，則解析：將所給的等式兩側(cè)求導可得： ，令 可得：  ，令 可得：  ，據(jù)此可得： 四、多項式系數(shù)的和：組合數(shù)的性質(zhì)法例1：已知,且.求(1)展開式中各項的二項式系數(shù)之和.(2).(3).解析：設(shè),則,相加得,即,.(1)展開式中各項的二項式系數(shù)之和為.(2)令,得,令,得,相加得(或).(3)令,得.例2：如果,求的展開式中系數(shù)最大的項.解析：由可得:,.即,.展開式中系數(shù)最大的項為.例3：的展開式中的系數(shù)為.(用數(shù)字作答).解析：因,故只要求中的的系數(shù)即可.因,故,則的系數(shù)是。五、二項式定理的應用例1：設(shè),則除以的余數(shù)為解析：,當為奇數(shù)時,余數(shù)為,當為偶數(shù)時,余數(shù)為,例2：已知數(shù)列的通項公式為,則的最簡表達式為解析：由題意可得:例3：設(shè)，則等于解析：，當時，可得： .例4.求1.0210的近似值（保留到0.0001）解析：1.0210=(1+0.02)10=C100