計(jì)量方法與誤差理論CH5-誤差部分

1、第五章第五章 測試數(shù)據(jù)處理測試數(shù)據(jù)處理一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題:9 . 23 yx9 . 02 yx9 . 132 yx由由、3517067yx代入代入：01419 . 1351370672第五章第五章 測試數(shù)據(jù)處理測試數(shù)據(jù)處理一個(gè)實(shí)際的例子：電容器的測量（并、串聯(lián)）一個(gè)實(shí)際的例子：電容器的測量（并、串聯(lián)）uFCCCCuFCCuFCuFC1035. 04111. 02056. 02071. 021212121電容最可信賴的值是多少？電容最可信賴的值是多少？求標(biāo)準(zhǔn)米尺的溫度膨脹系數(shù)：求標(biāo)準(zhǔn)米尺的溫度膨脹系數(shù)：一個(gè)實(shí)例一個(gè)實(shí)例)1 (20ttLL為確定為確定、，需要進(jìn)行，需要進(jìn)行2組測

2、量！組測量！ 實(shí)際為提高測量精度，往往增加測量組數(shù)實(shí)際為提高測量精度，往往增加測量組數(shù)n，利，利用抵償性減小隨機(jī)誤差的影響。用抵償性減小隨機(jī)誤差的影響。根據(jù)任意根據(jù)任意2個(gè)方程求個(gè)方程求得的解代入其它方程不能完全滿足。得的解代入其它方程不能完全滿足。 希望找到一組最佳的解，使希望找到一組最佳的解，使 與零相差很小，從方程組整體上看，這組解可以理與零相差很小，從方程組整體上看，這組解可以理解為解為誤差最小的解誤差最小的解。)1 (20ttLL這就是最小二乘法的出發(fā)點(diǎn)！這就是最小二乘法的出發(fā)點(diǎn)！一、最小二乘法的基本原理一、最小二乘法的基本原理測量方程：測量方程：),.,(),.,(212111mn

3、nmxxxfyxxxfy xi為待求解的參數(shù)為待求解的參數(shù), yi為直接測量量的估計(jì)值，為直接測量量的估計(jì)值，nm誤差（殘差）方程：誤差（殘差）方程：),.,(),.,(2121111mnnnmxxxflvxxxflv 參數(shù)的最佳估計(jì)值應(yīng)在參數(shù)的最佳估計(jì)值應(yīng)在殘差平方和為最小殘差平方和為最小的條的條件下求出，即件下求出，即 。也就是說，另取任一。也就是說，另取任一組其它解，其組其它解，其 都將大于都將大于 。min12niiv2ivniiv12有誤差的實(shí)際測量值有誤差的實(shí)際測量值等精度測量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小 不等精度測量的最小二乘原理：niiinnvpvpvpv

4、p122222211最小最小二乘原理最小二乘原理 測量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方測量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方和（或加權(quán)殘余誤差平方和）最小。和（或加權(quán)殘余誤差平方和）最小。二、最小二乘法的基本運(yùn)算二、最小二乘法的基本運(yùn)算1、等精度等精度線性函數(shù)線性函數(shù)運(yùn)算運(yùn)算)()(2211121211111mnmnnnnmmxaxaxalvxaxaxalv誤差方程：誤差方程：m個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)n個(gè)方程（個(gè)方程（nm）待求解參數(shù)待求解參數(shù)矩陣形式：矩陣形式：（L、A為測量數(shù)據(jù)為測量數(shù)據(jù)）XALV待求解參數(shù)待求解參數(shù)min)()(minXALXALVV或最小二乘法要求：最小二乘法要求：利用微分求極值：

5、利用微分求極值：n個(gè)方程轉(zhuǎn)化成個(gè)方程轉(zhuǎn)化成m個(gè)新的方程，個(gè)新的方程，“正規(guī)方程組正規(guī)方程組”解出正規(guī)方程組，即得符合最小二乘原理的最佳解解出正規(guī)方程組，即得符合最小二乘原理的最佳解01212212112xvxvxvxvn先看：先看：021122111112laxaaxaaxaaxvmm將以上各式相加：將以上各式相加：nnnmnmmmnnnnlalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1221111112211111212221121121112121111111高斯符號，對應(yīng)列相加列號22112222211211221111laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalax

6、aaxaaxaammmmmmmmmm得正規(guī)方程：得正規(guī)方程：對稱分布的各系數(shù)彼此兩兩相等如何求解如何求解X？主對角線分布著平方項(xiàng)系數(shù)02211mmrrrrxaaxaaxaala對第對第r個(gè)方程：個(gè)方程：即：即：0)()()()()()(221122112222121221212111112211222222212111121211112211nnrrrmnmnnnnrmmrmmrmnmnrmmrmmrnnrrrnnrrrnnrrrvavavaxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaalalala故：正規(guī)方程可寫成故：正規(guī)方程可寫成00

7、0221122221121221111nnmmmnnnnvavavavavavavavava0VA矩陣形式：矩陣形式：XALV0VA0)(XALAVALAXAALAAAX1)(）yxmmymmxmmxxxxx(/0000183. 0/)(97.1999/(03654. 0)(97.19993 .340201565017003.1200617060220212121按矩陣形式解算，則有按矩陣形式解算，則有6111ttA0012. 0034. 0034. 013. 11C565017017061621616iiitttnAAC3 .34020103.120061161616161iiiltlllt

8、tLA03654. 097.19991LACX2、不等精度不等精度線性函數(shù)線性函數(shù)運(yùn)算運(yùn)算npppPPVVPV000000minmin212或原理：原理：)1(2iip測量值測量值 li 的方差的方差00022211122222112112212111122112222211211221111nnmnmmnnnnnnmmmmmmmmmmvapvapvapvapvapvapvapvapvaplpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapa或0PVA即PLAPAAXXPAAPLAXALPAXALV)(0)(1故：由矩陣解：矩陣解：如果在不等精度誤差方程的兩

9、端同乘以如果在不等精度誤差方程的兩端同乘以ip3、（等精度、不等精度）（等精度、不等精度）非線性函數(shù)非線性函數(shù)運(yùn)算運(yùn)算il最終的近似線性方程組：最終的近似線性方程組：再按等精度、不等精度方式處理再按等精度、不等精度方式處理4、最小二乘原理與算數(shù)平均值的關(guān)系最小二乘原理與算數(shù)平均值的關(guān)系xlvxlvxlvnn2211正規(guī)方程為：正規(guī)方程為：nnnnnnnnnppplplplpxlaplaplapxaapaapaaplpaxapa212211122121111112121211111111)()(即三、最小二乘法的精度估計(jì)三、最小二乘法的精度估計(jì)的精度估計(jì)待估計(jì)參數(shù)的精度估計(jì)直接測量量mnxxxl

10、ll,21211、測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)mnv22、最小二乘法估計(jì)量的精度最小二乘法估計(jì)量的精度nnmmnnmmmmmmladadadladadadladadadladladladx)()()(1212111221221221111111212111112121111nmmnnnmmmmadadadhadadadhadadadh12121111212212211112111212111111nnlhlhlh1212111行的第為矩陣1,111211Cdddm由于：由于：22121221121)(nxhhh)()(12121111nnlhlhlhDxD2212221221211nn

11、hhhmnpv2注：若為非等精度，注：若為非等精度，單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為：為：（需要對上式進(jìn)行化簡，使結(jié)論更明確）（需要對上式進(jìn)行化簡，使結(jié)論更明確）001)(001121222121211111211Cddddddddddddmmmmmmm001001)(001)( 1111211CCCCdddCm由于：由于：需要將左邊矩陣乘積展開：需要將左邊矩陣乘積展開：所以：即為對稱矩陣而,212221212111CCaaaaaaaaaaaaaaaaaaCmmmmmm0010010011122111121222111211122111111121121222121211111211mmmmmmmm

12、mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaadddaaaaaaaaaaaaaaaaaadddC22121221121)(nxhhh對于對于將其系數(shù)將其系數(shù)h展開，并注意到：展開，并注意到：001112211112122211121112211111mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaa適當(dāng)?shù)暮喜⑼愴?xiàng)后得：適當(dāng)?shù)暮喜⑼愴?xiàng)后得：mmxxxdddm221121 結(jié)論：結(jié)論：)(),(12211的標(biāo)準(zhǔn)差為等精度測量量對角線為lCdddmm（等精度測量等精度測量）對于非等精度測量：對于非等精度測量：mmxxxdddm221121 結(jié)論：結(jié)

13、論：nnnpppP00000021 通過直接測量待測參數(shù)的組合量（一般是等精度），然后對這些測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而求得待測參數(shù)的估計(jì)量及精度估計(jì)。四、最小二乘法的組合測量四、最小二乘法的組合測量 以檢定三段刻線間距為例，要求檢定刻線A、B、C、D間的距離 。321,xxxABCD1x3x2xABCD1l3l2l4l6l5l直接測量各組合量，得mmlmmlmmlmmlmmlmml032. 3981. 1016. 2020. 1985. 0015. 1654321首先列出誤差方程)()()(3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv由此可得：11111

14、0011100010001032. 3918. 1016. 2020. 1985. 0015. 1321654321AxxxXllllllL則LAAALACxxxXTTT11321)(式中，21012101241)(11AACT013. 1983. 0028. 1321xxxX 現(xiàn)求上述估計(jì)量的精度估計(jì)。將最佳估計(jì)值代入現(xiàn)求上述估計(jì)量的精度估計(jì)。將最佳估計(jì)值代入誤差方程中，誤差方程中，008. 0)(015. 0)(005. 0)(007. 0002. 0013. 03216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv那么，212000536.0mmvnii

15、測量數(shù)據(jù) 的標(biāo)準(zhǔn)差為654321,llllllmmmnvnii013. 012已知：已知：5 . 0412, 5 . 0412, 5 . 0412332211ddd則最小二乘估計(jì)量 的標(biāo)準(zhǔn)差為321,xxxmmdmmdmmdxxx009. 0009. 0009. 0333222111思考：思考：兩個(gè)電容器，分別測量其電容（串、并聯(lián)），兩個(gè)電容器，分別測量其電容（串、并聯(lián)），得如下結(jié)果得如下結(jié)果uFCCCCuFCCuFCuFC1035. 04111. 02056. 02071. 021212121電容最可信賴的值及精度是多少？電容最可信賴的值及精度是多少？例：確定某段導(dǎo)線的電阻與溫度之間的關(guān)系：

16、溫度19.125.030.136.040.046.550.0電阻76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散點(diǎn)圖：20 25 30 35 4045 507678828084從散點(diǎn)圖可以看出：從散點(diǎn)圖可以看出： 電阻與溫度大致成電阻與溫度大致成線性關(guān)系。線性關(guān)系。設(shè)測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：設(shè)測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：Ntxytt, 2 , 1,0思路思路：要求電阻：要求電阻y與與x的關(guān)系，即根據(jù)測量數(shù)據(jù)要求出的關(guān)系，即根據(jù)測量數(shù)據(jù)要求出0和和 的估計(jì)值。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，可以得到的估計(jì)值。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，可以得到7個(gè)測量方程，未知數(shù)有兩個(gè)，而方程個(gè)數(shù)大個(gè)測量方程，未知數(shù)有兩個(gè)，而方程個(gè)數(shù)大于