第五章(典型環(huán)節(jié)的頻率特性)

1、第五章第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析線性系統(tǒng)的頻域分析5.1 頻率特性的概念5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.5 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能5.6 利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能本章重點(diǎn) 開環(huán)頻率特性的繪制(包括極坐標(biāo)圖和對數(shù)坐標(biāo)圖)； 乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)及其在Bode圖中的應(yīng)用； 對數(shù)頻率特性和閉環(huán)系統(tǒng)性能的關(guān)系； 開環(huán)頻率特性指標(biāo)； 閉環(huán)頻率特性指標(biāo)。本章難點(diǎn) 開環(huán)頻率特性的繪制； 乃奎斯特判據(jù)的原理及其應(yīng)用； 剪切頻率及相角、幅值裕度的求取； 二階系統(tǒng)頻率特性指標(biāo)和時域指標(biāo)的換算； 典型二型系統(tǒng)頻、時域指標(biāo)的定性關(guān)系。時域方法準(zhǔn)確、直

2、觀。但用解析法求解系統(tǒng)的時域方法準(zhǔn)確、直觀。但用解析法求解系統(tǒng)的時域響應(yīng)不易。時域響應(yīng)不易。正弦輸入信號的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量正弦輸入信號的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應(yīng)。稱為頻率響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號的關(guān)系稱為頻率系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號的關(guān)系稱為頻率特性。特性。是一種圖解分析法，不僅可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性是一種圖解分析法，不僅可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性的暫態(tài)性能。能，而且可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性的暫態(tài)性能。具有明確的物理意義。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是傅利葉變換。具有明確的物理意義。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是傅利葉變換。5.1頻率特性的概念頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，設(shè)

3、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個給系統(tǒng)輸入一個幅值不變幅值不變頻率頻率不斷增大不斷增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲線如下曲線如下:40不不結(jié)論結(jié)論給給穩(wěn)定穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入是與輸入同頻率同頻率的正弦，幅值隨的正弦，幅值隨而而變變，相角，相角也是也是的函數(shù)。的函數(shù)。AB相角問題相角問題 穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出遲后于遲后于輸入的輸入的角度為：角度為：該角度與該角度與有有BA360o=AB該角度與初始該角度與初始關(guān)系關(guān)系 為為(),角度無關(guān)角度無關(guān) , 在在正弦輸入信號正弦輸入信號的作

4、用下，系統(tǒng)輸出的的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量與輸入量與輸入量復(fù)數(shù)之比稱為復(fù)數(shù)之比稱為頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)。 人們發(fā)現(xiàn)頻率特性雖然是一種穩(wěn)態(tài)特性，但它既反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，還可以研究系統(tǒng)的暫態(tài)性能。問題：為什么人們?nèi)绱酥匾曨l率特性的分析呢？)()()(1sRsGLtc輸出（穩(wěn)定后）輸出（穩(wěn)定后）c(t)=Cm Sin（ t+ ）系統(tǒng)系統(tǒng) 輸入輸入r(t)=X Sinr(t)=X Sin t t 本章涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傅里葉變換本章涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傅里葉變換111111)()(12sRCsCsRCssUsU例：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為例：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為若輸入為正弦信號：若輸入為正弦

5、信號：tUumsin11其拉氏變換為：其拉氏變換為：2211)(sUsUm221211)(sUssUm輸出拉氏變換為：輸出拉氏變換為：其拉氏反變換為：其拉氏反變換為：)arctansin(112212212tUeUumtm一、頻率特性的定義一、頻率特性的定義其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj上式表明：上式表明：對于正弦輸入，其輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個同頻率正弦信號。但幅值降低，相角滯后。輸入輸出為正弦函數(shù)時，可以表示成復(fù)數(shù)形式，設(shè)輸入輸出為正弦函數(shù)時，可以表示成復(fù)數(shù)形式，設(shè)輸入為輸入為XeXej0 j0，輸出為，輸出為Ye

6、Yej j，則輸出輸入之復(fù)數(shù)比為：，則輸出輸入之復(fù)數(shù)比為：)(0)(jjjjeAeXYXeYe)(A幅值頻率特性幅值頻率特性)(相角頻率特性相角頻率特性01jmeUjjmejU11111頻率特性的定義：頻率特性的定義：線性定常系統(tǒng)（或元件）的頻率特性是指：在零線性定常系統(tǒng)（或元件）的頻率特性是指：在零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出的正弦信號與輸入正弦信號的復(fù)初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出的正弦信號與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比。數(shù)比。例題中輸入信號的復(fù)數(shù)表示為：例題中輸入信號的復(fù)數(shù)表示為：例題中輸出信號的復(fù)數(shù)表示為：例題中輸出信號的復(fù)數(shù)表示為：它們之比為：它們之比為：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jA

7、tanarg11)(j010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A)(2112345幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)jjG11)(頻率特性頻率特性G(j)也可以表示成實(shí)部和虛部的復(fù)數(shù)形式。也可以表示成實(shí)部和虛部的復(fù)數(shù)形式。)()()(jQPjG)(cos)()(AP)(sin)()(AQ22)()()(QPA)()(arctan)(PQ二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式為)()()()()()()()(21npsps

8、pssNsDsNsRsCsG輸入為輸入為r(t)=Msin(t)，22)(sMsR2221)()()()(sMpspspssNsCn若無重極點(diǎn)，上式可寫為若無重極點(diǎn)，上式可寫為niiipsajsbjsbsC121)(tpniijjieaebebtc121)(若系統(tǒng)穩(wěn)定，若系統(tǒng)穩(wěn)定，pi都具有負(fù)實(shí)部，則穩(wěn)態(tài)分量為：都具有負(fù)實(shí)部，則穩(wěn)態(tài)分量為：jjtebebtc21)(limjMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(1jMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(2G(j)G(j)是一復(fù)數(shù)，可寫為是一復(fù)數(shù)，可寫為)()()(jeAjG)()()(jeAjG)(1)(2jeAjMb)(2

9、)(2jeAjMb jeeMAebebtctjtjtjtjss2)()()()(21)(sin)(tMA得到線性系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性：得到線性系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性：)()(jG)()(jGA頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系為頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系為jssGjG)()(系統(tǒng)的頻率特性也是輸入信號的傅氏變換和輸出信號的傅氏變換之比。)()()(jRjCjGdtetrjRtj)()(dtetcjCtj)()(dejRjGtctj)()(21)(系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：其中其中經(jīng)過傅氏反變換經(jīng)過傅氏反變換dejGtgtj)(21)(頻率特性頻率特性三要素：三要素： 頻率：頻率：

10、不變不變 幅值：幅值： M Cm 關(guān)系為：關(guān)系為： 幅角：幅角： 0 關(guān)系為：關(guān)系為：系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號之間的關(guān)系稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號之間的關(guān)系稱為頻率特性頻率特性。幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性jSmsGAXC)()(輸入輸入r(t)=M Sin（ t+ 0）通常令通常令 0=0穩(wěn)定后輸出穩(wěn)定后輸出C(t)=CmSin（ t+ ）jS| ) s (G0)()(X)()A(jGCjGm可見：線性系統(tǒng)總結(jié)：總結(jié)：頻率特性可以分成：頻率特性可以分成： sin)(cos)()()()(jAAjGeAj幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性實(shí)頻特性實(shí)頻特性虛頻特性虛頻特性ejAjG)()

11、()()()()(1sRsGLtcj三、頻率特性的幾種圖示方法三、頻率特性的幾種圖示方法1. 1. 幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線 它是在復(fù)平面上以極坐標(biāo)的形式來描述的。又稱極坐標(biāo)圖，又稱Nyquist曲線。系統(tǒng)的頻率特性可表示為：系統(tǒng)的頻率特性可表示為：)()()(jeAjG對某一固定頻率對某一固定頻率 1 1)(111)()(jeAjG在極坐標(biāo)系中畫出該向量。在極坐標(biāo)系中畫出該向量。 從從-+-+變換時該向量在極坐標(biāo)系中形成變換時該向量在極坐標(biāo)系中形成的曲線，稱為的曲線，稱為NyquistNyquist曲線曲線。實(shí)頻特性是實(shí)頻特性是 的偶函數(shù)，虛頻特性是的偶函數(shù)，虛頻特性是 的奇函數(shù)。為

12、什么？的奇函數(shù)。為什么？慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -artan0.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o o()A()01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76 -840.450.370.240.052. 2. 對數(shù)頻率特性曲線（對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）圖） 在半對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制，由在半對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制，由對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性和和對數(shù)對數(shù)相頻特性相頻特性兩條曲線所組成。兩條曲線所組成。 頻率的對數(shù)分度半對數(shù)坐標(biāo)：橫坐標(biāo)不均勻，而縱坐標(biāo)是均勻刻度。半對數(shù)坐標(biāo)：橫

13、坐標(biāo)不均勻，而縱坐標(biāo)是均勻刻度。十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：指指G(j)G(j)的對數(shù)值的對數(shù)值20lg|G(j)|和頻率和頻率 的關(guān)系曲線。的關(guān)系曲線。對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性：指指G(j)G(j)的相角值的相角值()和頻率和頻率 的關(guān)系曲線。的關(guān)系曲線。即縱坐標(biāo)即縱坐標(biāo))(lg20)(ALL()L()稱為對數(shù)幅值，單位是稱為對數(shù)幅值，單位是dB(dB(分貝分貝) )。縱坐標(biāo)是的單位是縱坐標(biāo)是的單位是“”。采用線性刻度。采用線性刻度。采用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：采用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：（1 1）將低頻段展開，將高頻段壓

14、縮。）將低頻段展開，將高頻段壓縮。（2 2）當(dāng)系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，簡化運(yùn)算。）當(dāng)系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，簡化運(yùn)算。)()()()(21jGjGjGjGn)(111)()(jeAjG)(222)()(jeAjG)()()(njnneAjG)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n（3 3）所有典型環(huán)節(jié)乃至系統(tǒng)的頻率特性可用分段直）所有典型環(huán)節(jié)乃至系統(tǒng)的頻率特性可用分段直線近似表示。線近似表示。（4 4）容易將頻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用分段直線擬合，從而）容易將頻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用分段直線擬合，從而得到對數(shù)頻率特性或傳遞函數(shù)。得到對數(shù)頻

15、率特性或傳遞函數(shù)。3. 3. 對數(shù)幅相特性曲線（對數(shù)幅相特性曲線（NicholsNichols圖圖) )由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性合并而成。由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性合并而成。可以方便求出系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性及有關(guān)特征可以方便求出系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性及有關(guān)特征參數(shù)，作為評估系統(tǒng)性能的依據(jù)。參數(shù)，作為評估系統(tǒng)性能的依據(jù)。一、比例環(huán)節(jié)一、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K=const 頻率特性表達(dá)式為：頻率特性表達(dá)式為： constKjG)(0)()(QconstKP00arctan)()(KconstKA 5.1典型環(huán)節(jié)的頻率特性 L()/dB0dB 0()20lgK比

16、例環(huán)節(jié)的比例環(huán)節(jié)的BodeBode圖圖二、慣性環(huán)節(jié)二、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：ssG11)(頻率特性表達(dá)式為：頻率特性表達(dá)式為：jjG11)(22221)(11)(QParctan)()(arctan)(11)()()(2222PQQPA此慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一個以(1/2,j0)為圓心，以1/2為半徑的半圓。 22221111PQPPQP22222)21()21(QP0ReG(j)ImG(j)1慣性環(huán)節(jié)1G(j)慣性環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)的bodebode圖圖 采用近似方法，即用采用近似方法，即用漸近線分段表示頻率特性。 對數(shù)幅頻特性為：對數(shù)幅頻特性為：22221lg

17、2011lg20)(L在低頻段在低頻段，1/1/，即，即1 1/1/，即，即1 1 ，可略去，可略去 1 1。頻率特性可近似為：頻率特性可近似為：L()-20lg L()-20lg 的頻率增大的頻率增大1010倍時倍時L() =L(10L() =L(101 1)-L()-L(1 1)=-20(dB)=-20(dB)高頻漸近線具有-20dB/10倍頻程的斜率，記為-20db/dec或-20。高頻漸近線正好在1處與低頻漸近線相交，交點(diǎn)處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率。 低頻漸近線高頻漸近線 w從從0到到取值，代入計算取值，代入計算,得出對數(shù)幅相頻特性曲線得出對數(shù)幅相頻特性曲線-Bode圖如圖所示圖如圖所示（通

18、常用折線近似）（通常用折線近似） Bode圖當(dāng)?shù)皖l段時：當(dāng)高頻段時： 11lg20)A(lg20)L(221dBL0)(1lg20lg20)(L11漸近線的求?。簼u近線的求?。憾x：時間常數(shù)的倒數(shù)為轉(zhuǎn)折頻率定義：時間常數(shù)的倒數(shù)為轉(zhuǎn)折頻率 慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖)(j)j(A)j(Ge11)A(221tg)(G(jG(j ) )幅值隨幅值隨 增增加而變小，加而變小，幅角從幅角從0-900-90 ，矢量末端軌跡是矢量末端軌跡是個半圓個半圓對照對照BODE圖圖L( )-90o 處處實(shí)部實(shí)部1 11 10 0，得得令令 11的近似線的近似線斜率斜率-20dB/dec,-20dB/dec,與零

19、分貝線交于與零分貝線交于 處處101lg20)(L1lg20lg20lg20)(L1慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性通常用折線近似慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性通常用折線近似: :11)A(22L( )-90o 1/1-20dB/dec1L()()-90L()110-84.3 -45 101-5.7 繪制繪制慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的的Bode圖圖的方法的方法2、1部分畫部分畫0dB/dec線線3、延長至、延長至1/ 處斜率轉(zhuǎn)折為處斜率轉(zhuǎn)折為-20dB/dec線線 1、找出、找出 1/ 稱稱 /轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率需要時，對近似特需要時，對近似特性進(jìn)行校正，通過性進(jìn)行校正，通過轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率/處處33d dB B點(diǎn)畫光滑

20、曲線點(diǎn)畫光滑曲線 0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 01)(ssG410)(ssG8dbo90 o45 o0 慣性環(huán)節(jié)L()三、積分環(huán)節(jié)三、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ：ssG1)(頻率特性表達(dá)式為：頻率特性表達(dá)式為： 11)(jjjG21je1)(0)(QP90)(1)(Alg20)(lg20)(AL 1 1時，時，L()L()-20lg1=0dB-20lg1=0dB 1010時，時，L()L()-20lg10=-20dB-20lg10=-20dB-20dB/dec20dB-20dB/decS1) s (G傳

21、遞函數(shù)：j1)j (G頻率特性：lg20)L(L1SK) s (G1傳遞函數(shù)：20lgK1)A(90)(1100.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(積分環(huán)節(jié)L()四、微分環(huán)節(jié)四、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)此微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為此微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ：ssG)(頻率特性表達(dá)式為：頻率特性表達(dá)式為： jjG)(2je)(0)(QP90)()(Alg20)(lg20)(AL 1 1時，時，L()L()20lg1=0dB20lg1=0dB 1010時，時，L()L()20lg10=20dB20lg10=20

22、dB0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20ssG)(ssG2)(ssG1 . 0)(微分環(huán)節(jié)L() （2 2）一階微分環(huán)節(jié)）一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ：ssG1)(頻率特性為：頻率特性為： jjG1)()(1)(QParctan)(1)(22A221lg20)(lg20)(AL在低頻段在低頻段，即，即1 1 1 ，可略去，可略去 1 1。0)(Llg20)(lg20)(AL0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 0)( ssG?)( sG-8dbo90o4

23、5o0 一階微分L() )A(90)(S) s (G傳遞函數(shù)：j)j (G頻率特性：lg20)L(120dB/dec1/()-90L()1-45 -20dB/decL()+45 G(jj j微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為倒數(shù)，它們的環(huán)節(jié)互為倒數(shù)，它們的BodeBode圖以實(shí)軸相互對稱；圖以實(shí)軸相互對稱；而一階微分環(huán)節(jié)則與慣性而一階微分環(huán)節(jié)則與慣性環(huán)節(jié)對稱。環(huán)節(jié)對稱。（3 3）二階微分環(huán)節(jié)）二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 ：2221)(sssG頻率特性為頻率特性為 ：22)()(21)(jjjG2)(1)(22QP1,12arctan1,12arctan)()2()1 (

24、lg20)(22222222L二階微分二階微分22222212)(nnnssTssTsGT1n o1800)j (G ,01)0j (Go ,902)j (Gon j01幅相曲線幅相曲線o902 對數(shù)幅頻漸近曲線對數(shù)幅頻漸近曲線0dBL()dB+40n2nr21 2m12lg20L 2lg20)(Ln00.707時有峰值：時有峰值：0db20db40db-20db-40dbL()1ss25. 0) s (G2 o90o0 0.1110100o18040212lg20 2lg20二階微分L() 五、振蕩環(huán)節(jié)五、振蕩環(huán)節(jié)222222121)(nnnssssG1n211)(22jjG1,12arct

25、an1,12arctan)()2()1 (1)(22222222Ao01)0 j (G o1800)j (G onjGjG9021)()(1得得令令,0d)(dA 2nr21 (00.707)2mr121A)(A 0ReG(j)ImG(j)1ABA:2212121 rnrAB:onnA90)(21)( 2222)(nnnsssG 振蕩環(huán)節(jié)G(j)12 j1)G(j22幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特性：對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：2222)2()1 (1)A(2212arctan)()2()1lg(10)L(222211221)2(20)L(1)lg(10)L(222)lg(40)L(對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性 低頻段低頻段0dB/dec0dB/dec線，過線，過轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率 1 1=1/=1/ 后斜率變?yōu)楹笮甭首優(yōu)?40dB/dec-40dB/dec直線直線-180L(L( ) )1/-