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文檔簡介
1、1 贈贈 言言 凡事豫則立,不豫則廢。言前定,則不跲;事前定,凡事豫則立,不豫則廢。言前定,則不跲;事前定,則不困;則不困; 行前定,則不疚;行前定,則不疚; 道前定,則不窮。道前定,則不窮。 子思中庸子思中庸 解解 釋釋 豫豫 預(yù)劃;預(yù)劃; 跲跲(JiaJia) 窒礙窒礙 困困 困擾;困擾; 疚疚 不安;不安; 窮窮 貧窮貧窮 第五章第五章 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì) (Geometrical properties of plane graph)2拉壓正應(yīng)力拉壓正應(yīng)力ANdAA扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力pITApdAI2彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力zIMyAzdAyI2應(yīng)力的計算通常用要到構(gòu)件應(yīng)
2、力的計算通常用要到構(gòu)件 截面的幾何參數(shù)截面的幾何參數(shù),例如:,例如:3統(tǒng)一為統(tǒng)一為) z, y, x,s , t ( dAstnnmm =0 零次矩零次矩(或面積或面積 ) Moment of zero orderm =1 一次矩、線性矩一次矩、線性矩(或靜矩或靜矩 ) Moment of first orderm =2 二次矩二次矩(或慣性矩、積或慣性矩、積) Moment of second order 實質(zhì)實質(zhì) 1、數(shù)學(xué),不是力學(xué)、數(shù)學(xué),不是力學(xué) 2、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序 (歷史是:(歷史是:彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力慣性矩)慣性矩)目的目的 1、翦除彎曲前面的攔
3、路虎之一(慣性矩、翦除彎曲前面的攔路虎之一(慣性矩) 2、從更高的觀點,統(tǒng)一截面幾何性質(zhì)、從更高的觀點,統(tǒng)一截面幾何性質(zhì) 3、便于學(xué)習(xí)(弊病:只有、便于學(xué)習(xí)(弊病:只有大廈大廈,無,無腳手架腳手架)4dAA零次矩:零次矩:一次矩(靜矩):一次矩(靜矩):ydASzzdASyC(zc, yc)yozdA面積面積A5.1 靜矩(靜矩(Statical moment)、 形形 心心(Centroid)5形心形心 C C 的坐標(biāo)的坐標(biāo):ASdAzdAzycASdAydAyzc1、為什么用、為什么用z-y坐標(biāo)而不是坐標(biāo)而不是x-y坐標(biāo)?坐標(biāo)?2、為什么、為什么 AydA對應(yīng)于對應(yīng)于zS而不是而不是yS思
4、考思考形心形心:使平面圖形各微元靜矩和為零的坐標(biāo)原點使平面圖形各微元靜矩和為零的坐標(biāo)原點,cdA0AcAdAc/dAdAc,ozydAC c , 6對稱圖形形心的位置對稱圖形形心的位置有一個對稱軸:有一個對稱軸:形心形心C位于該軸上位于該軸上yCz7 有兩個對稱軸:有兩個對稱軸:兩個對稱軸的交點就兩個對稱軸的交點就是形心是形心C的位置的位置zyC8Czy對某點對稱(中心對稱):對某點對稱(中心對稱):形心形心C位于對稱中心位于對稱中心9由由 n 個規(guī)則形狀組成的圖形個規(guī)則形狀組成的圖形yCzzyniiAA1niiicniizAydAyydAS11組合(復(fù)合)圖形的形心組合(復(fù)合)圖形的形心ni
5、iniiicycAAzASz11niiniiiczcAAyASy11niiicniiyAzdAzzdAS1110已知已知b, c, t ,求,求C的坐標(biāo)的坐標(biāo)22111bytzbtAcc22)(222tytczttcAcc)(21tcbtAAA)(2222211tctbtAyAySccz)(2222211tcbttAzAzSccycCzyC2C1btt0C1、C2、C的坐標(biāo)的坐標(biāo):),(11ccyz),(22ccyz),(ccyz組合圖形的形心算例組合圖形的形心算例11)(222tcbtcbtASzyc)(222tcbtctbASyzc注注1:由兩塊組成組合圖形,其復(fù)合圖形形心一定由兩塊組成組
6、合圖形,其復(fù)合圖形形心一定 位于兩個子圖的形心連線上位于兩個子圖的形心連線上注注2:組合圖形形心計算公式也適用于負面積情況,組合圖形形心計算公式也適用于負面積情況, 但要記住面積為負號但要記住面積為負號“負面積負面積”zyC1C2C212211)(AAAyAyyccc212211)(AAAzAzzccc12慣性矩慣性矩dAyIz2dAzIy2yzdAIyz慣性積慣性積ozydA面積面積Azy5.2 慣性矩慣性矩(Moment of inertia)與慣性積與慣性積(Product of inertia) ( 二次矩,二次矩,Moment of second order )13 質(zhì)點質(zhì)點Newt
7、on定律定律dtdvm F 對于平面圖形,當(dāng)密度取單位值時,對于平面圖形,當(dāng)密度取單位值時,dm = dA,此時此時轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量就等于就等于極慣性矩極慣性矩 你們是否遇到過二次矩?你們是否遇到過二次矩? 推廣到剛體,推廣到剛體,何種形式?何種形式?dtdI M I 是什么?是什么?dmI2 轉(zhuǎn)動慣量(轉(zhuǎn)動慣量(Rotational inertia):):14dtdvm F 力學(xué)問題中,有不同層次的力學(xué)問題中,有不同層次的 外因、內(nèi)因外因、內(nèi)因結(jié)果結(jié)果 關(guān)系關(guān)系1、外力、受力物性能外力、受力物性能 運動響應(yīng)運動響應(yīng)2、內(nèi)力、截面量內(nèi)力、截面量 變形響應(yīng)(應(yīng)力等)變形響應(yīng)(應(yīng)力等) 溫故知新,
8、我們進行類比溫故知新,我們進行類比 動力學(xué)動力學(xué) 材料力學(xué)材料力學(xué)dtdI M 拉拉壓壓)( AN 彎曲)彎曲)扭轉(zhuǎn))扭轉(zhuǎn))( yIM( ITz 15慣性矩、慣性積的性質(zhì)慣性矩、慣性積的性質(zhì)(1)慣性矩為正,即)慣性矩為正,即,Iz00yI(2)若圖形有一對稱軸,其慣性積為零)若圖形有一對稱軸,其慣性積為零0yzIpyzIII(3)任一點為原點的所有正交坐標(biāo)系中,兩個慣性矩之)任一點為原點的所有正交坐標(biāo)系中,兩個慣性矩之 和等于和等于 不變的極慣性矩不變的極慣性矩 Ip 值值(4)組合圖形慣性矩(積)為各個子圖慣性矩(積)之和)組合圖形慣性矩(積)為各個子圖慣性矩(積)之和CzCCzzyyy0
9、yzI0yzI?0yzICC16dA)yz(Ip21211dA)yz(22222pI座標(biāo)轉(zhuǎn)動不改變極慣性矩座標(biāo)轉(zhuǎn)動不改變極慣性矩dA 2 Z1Y1Z2Y2OA17例題例題5.4 P133 圓截面的慣性矩圓截面的慣性矩設(shè)圓截面直徑設(shè)圓截面直徑D,則圓方程為則圓方程為4222Dzy64420 02222Dd d )(cosdAzIDy zydAdsinycosz64420 02222Dd d )(sindAyIDz ?0yzI d d dA 其他方法其他方法1、書中微元、書中微元 2、極慣性矩的一半、極慣性矩的一半18 問題的提出問題的提出 工程問題的許多截面(工字、丁字、槽形等)是簡工程問題的許
10、多截面(工字、丁字、槽形等)是簡單截面(如矩形)的組合,單截面(如矩形)的組合,總慣性矩總慣性矩 = = 分慣性矩之和分慣性矩之和,而分慣性矩在而分慣性矩在 各自的各自的 形心坐標(biāo)系形心坐標(biāo)系 中計算中計算 將將 分慣性矩分慣性矩 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到 總形心坐標(biāo)系總形心坐標(biāo)系 時,要考慮坐標(biāo)時,要考慮坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的影響系轉(zhuǎn)換的影響 分坐標(biāo)系分坐標(biāo)系 與與 總形心坐標(biāo)系總形心坐標(biāo)系通常是通常是 平行關(guān)系平行關(guān)系,于是于是就抽象出就抽象出慣性矩計算慣性矩計算的的 平行移軸平行移軸 問題問題5.3 平行移軸公式(平行軸定理平行移軸公式(平行軸定理 Parallel axis theorem)19cccczy
11、zyI,I,I已知:已知:yzzyIII,計算:計算:bzzayy11oC(zc, yc)zyabdA1z1y面積Az1 y1為形心坐標(biāo)系為形心坐標(biāo)系20AaIAaAzaIdAadAyadAydA)ay(dAyIcczczz22212121222dAzdAASzyc復(fù)習(xí):形心的定義復(fù)習(xí):形心的定義dAydAASyzc同理同理AbIIcyy2abAIIccyzzy21例例 題題矩形矩形11231thIzthA 1矩形矩形21232btIztbA 2已知組合截面尺寸:已知組合截面尺寸:mmbmmhmmt100,140,20計算截面對軸計算截面對軸 z 的慣性矩的慣性矩bthtz2z1zC1C2Cy
12、s以(以(z2, y2)為基準(zhǔn)坐標(biāo),則為基準(zhǔn)坐標(biāo),則212211AAAyAysyccc2012hty ,ycc22確定移軸量(確定移軸量(a, b)矩形矩形1到到 z 軸的距離軸的距離:0,2211bshta矩形矩形2到到 z 軸的距離軸的距離:0,22bsa由平行移軸定理由平行移軸定理121)1(1AaIIzz矩形矩形1對對 z 軸的慣性矩軸的慣性矩:矩形矩形2對對 z 軸的慣性矩軸的慣性矩:222)2(2AaIIzz整個截面的慣性矩:整個截面的慣性矩:)2()1(zzzIIIbthtz2z1zCC2ysC123 sinzcosysinOFcosAFGFAEDEAEADy1 coszsiny
13、cosOFsinAFOGFEOGGDODz1z1y1OAzyHBCDEFG如同平行移軸問題,轉(zhuǎn)軸問題也很重要如同平行移軸問題,轉(zhuǎn)軸問題也很重要, 且對彎曲受力合理很關(guān)鍵且對彎曲受力合理很關(guān)鍵 書上的推導(dǎo)書上的推導(dǎo)5.4 轉(zhuǎn)軸公式(轉(zhuǎn)軸公式(Formula of rotation of axes)、主慣性軸主慣性軸 (Principal axes) 和主慣性矩和主慣性矩 (Principal moment of inertia)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式 zyzy cossinsincos1124),(),(11zyAzyAGFycosy1 z1y1OAzyHBCDEFG操作式的推導(dǎo)操
14、作式的推導(dǎo)用投影代替轉(zhuǎn)動用投影代替轉(zhuǎn)動 y y 變變 y y1 1 的操作的操作 1 1、y y(AFAF)向向 y y1 1 軸投影得軸投影得 y y1 1 + + GF GF 2 2、再減去、再減去GF GF 得得y y1 1 sinzcosy GFcosyy125GDzcosz1 coszsinycoszFEcoszGDz1z1y1OAzyHBCDEFG z z 變變 z z1 1 的操作的操作 1 1、z z(OFOF)向向z z1 1 軸投影得軸投影得 z z1 1 - - GD GD 2 2、再加上、再加上GD GD 得得z z1 1 思考思考 能否用復(fù)數(shù)推導(dǎo)?能否用復(fù)數(shù)推導(dǎo)?C1
15、,C 為復(fù)數(shù)(為復(fù)數(shù)(Complex number),),i為虛單位為虛單位 sinicose ,CeCiyzC ,iyzCii111126已知:截面對已知:截面對 y、z 軸的慣性矩、慣性積軸的慣性矩、慣性積yzzyIII,求解:截面對求解:截面對y1、z1軸的慣性矩、慣性積軸的慣性矩、慣性積1111,zyzyIII2sin2cos22)2(sin22cos122cos12sin22cos122cos1cossin2sincos)sincos(2222222211yzyzyzyzyzzIIIIIIIIyzdAdAzdAydAyzdAzdAydAzydAyI27pyzyzIIIII11顯然顯然
16、 22221sinIcosIIIIIyzyzyzz 22221sinIcosIIIIIyzyzyzy 22211cosIsinIIIyzyzzy28 創(chuàng)造的機遇創(chuàng)造的機遇提出問題提出問題:因為因為角度角度對應(yīng)對應(yīng)坐標(biāo)系坐標(biāo)系,在哪個坐標(biāo)系中,慣性矩為極大(在哪個坐標(biāo)系中,慣性矩為極大( 或極?。炕驑O?。?? 意義意義對于給定的截面,選擇坐標(biāo)系使對于給定的截面,選擇坐標(biāo)系使慣性矩慣性矩最大最大(抵抗彎曲的能力最強),避免(抵抗彎曲的能力最強),避免慣性矩最小慣性矩最小01ddIz0)2cos2sin2(2yzyzIIIyzyzIIItg2201ddIy011zyI說明取說明取極大(或極?。T性矩
17、極大(或極?。T性矩時時 慣性積慣性積等于零等于零29yzyzIIItg22 21,2250121/ ),II/(I(tg arc .yzyz 由方程由方程21,確定兩個相互垂直的軸確定兩個相互垂直的軸 主慣性軸主慣性軸z1y1O1zy2 也就是說:也就是說:1、對于給定的截面對于給定的截面坐標(biāo)軸選擇得恰當(dāng),坐標(biāo)軸選擇得恰當(dāng),慣性矩極大;慣性矩極大;2、同時,慣性矩極小的、同時,慣性矩極小的坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸,恰好與前者(慣性矩極大的恰好與前者(慣性矩極大的坐標(biāo)軸)坐標(biāo)軸)垂直;垂直;3、兩個、兩個坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸組成了組成了 主慣性坐標(biāo)系主慣性坐標(biāo)系求解出求解出30主慣性矩:主慣性矩:主慣性軸上的慣性矩主慣性軸上的慣性矩2sin2cos222sin2cos2211yzyzyzyyzyzyzzIIIIIIIIIIII將將 代入代入21 ,得到一大一小兩個主慣性矩:得到一大一小兩個主慣性矩:xyyzyzmaxI)II(III224212xyyzyzminI)II(III224212主形心慣性系:主形心慣性系:坐標(biāo)原點取在截面形心上的主慣性系坐標(biāo)原點取在截面形心上的主慣性系主形心慣性矩:主形心慣性矩:主形心慣性軸上的慣性矩主形心慣性軸上的慣性矩31 截面幾何性質(zhì)小結(jié)截面幾何性質(zhì)小結(jié)1. 靜矩、慣性矩依賴坐標(biāo)
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