第三十六講二階常系數(shù)線性微分方程

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程第七章 常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：n了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.n了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.n會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.n知道下列高階方程的降階法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法.n熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.n掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常

2、系數(shù)非齊線性微分方 程的解法.第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程， qp、其中其中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設(shè)方程有形如假設(shè)方程有形

3、如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp ) 121，則，則實(shí)根實(shí)根特征方程有兩個(gè)不同的特征方程有兩個(gè)不同的xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故方程 (1) 的通解為的通解為 21212211。xxeCeCyCyCy二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp )221，則，則實(shí)重根實(shí)重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 11的一個(gè)解。的一個(gè)解。是方程是方

4、程此時(shí)，此時(shí)，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp021p由劉維爾公式求另一個(gè)解：由劉維爾公式求另一個(gè)解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021p d11。xxexxe于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(2121111。xCCeexCeCyxxx二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp3) 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根： i i21，則，則， )i(2)i(121xxxxeeyeey，

5、是方程是方程 ( 1 ) 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其通解為的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位 i 。 歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(2。xxeeeeyxxxx由線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無(wú)關(guān)的：的解，且它們是線性無(wú)關(guān)的： 0sin cos。，xexeWxx故當(dāng)特征方程有

6、一對(duì)共軛復(fù)根故當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 i i21，時(shí)，原方程的通解可表示為時(shí)，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根xxeCeCy2121)( 21實(shí)重根實(shí)重根)(211xCCeyx)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy 例解解 052 的通解。

7、的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解為所求通解為xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿足初始條件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 21，特征根特征根 ) ( 21。所求通解為所求通解為tCCeyt 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由初始條件由初始條件CCtsstt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test 例解解 的彈簧從靜止?fàn)顟B(tài)的彈簧從靜止?fàn)顟B(tài)用手將懸掛著的質(zhì)量為用手將懸掛著的質(zhì)量為

8、 m此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時(shí)，時(shí)，的位移為的位移為當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)xx 突然放手，突然放手，開(kāi)始拉長(zhǎng)，開(kāi)始拉長(zhǎng)，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O 例解解 的彈簧從靜止?fàn)顟B(tài)的彈簧從靜止?fàn)顟B(tài)用手將懸掛著的質(zhì)量為用手將懸掛著的質(zhì)量為 m此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時(shí)，時(shí)，的位移為的位移為當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)xx 突然放手，突然放手，開(kāi)始拉長(zhǎng)，開(kāi)始拉長(zhǎng)，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O0 xx取取

9、x 軸如如圖所示。軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有由力學(xué)的虎克定理，有 。xkf（ 恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反 ）由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得 dd22。xktxm 2，則有，則有移項(xiàng)，并記移項(xiàng)，并記mka )0( 0 dd222。，axatx它能正確描述我它能正確描述我們的問(wèn)題嗎？們的問(wèn)題嗎？ 0 ，則有初始條件：，則有初始條件：t記拉長(zhǎng)后，突然放手的時(shí)刻為記拉長(zhǎng)后，突然放手的時(shí)刻為 00 ，初始位移初始位移xxt 0 dd 0 。初始速度初始速度ttx我們要找的規(guī)律是下列初值問(wèn)題的解：我們要找的規(guī)律是下列初值問(wèn)題的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0

10、 dd 0 ttx 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特征方程特征方程a i 2, 1，特征根特征根a sin cos 21。所求通解為所求通解為taCtaCy 0100 ；，得，得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ) ( cos0。，mkataxx二、二、n 階常系數(shù)齊線性微分方程階常系數(shù)齊線性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)(ypypypynnnn )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為的方程，稱為 n 階常系數(shù)齊線性微分方

11、程，階常系數(shù)齊線性微分方程， , 1npp 其中其中n 階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為 單實(shí)根單實(shí)根xCe 1 項(xiàng)項(xiàng) 實(shí)重根實(shí)重根k)( 121kkxxCxCCek項(xiàng)項(xiàng) 一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根)sincos( 221xCxCex項(xiàng)項(xiàng) 011 1 nnnnpppi 2, 1 重復(fù)根重復(fù)根一對(duì)共軛一對(duì)共軛 ki 2, 1 2 項(xiàng)項(xiàng)k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 項(xiàng)項(xiàng) 例解解 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程xxyxyxy 0133 23，特征

12、方程特征方程 1 321，特征根特征根 ) ( 2321。所求通解為所求通解為xCxCCeyx 例解解在研究彈性地基梁時(shí)，遇到一個(gè)微分方程在研究彈性地基梁時(shí)，遇到一個(gè)微分方程 )0( 0dd444。，x試求此方程的通解。試求此方程的通解。 0 44，特征方程特征方程 i)1 (2 i)1 (2 432, 1，特征根特征根， 所求通解為所求通解為 ) 2sin2cos(212xCxCeyx ) 2sin2cos(432。xCxCex 2)(2222244三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如形如)2( )( xfyqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)

13、非齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程， qp、其中其中它對(duì)應(yīng)的齊方程為它對(duì)應(yīng)的齊方程為) 1 ( 0 。 yqypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡(jiǎn)單情形下，的幾種簡(jiǎn)單情形下，(2) 的特解。的特解。常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法參考書：參考書：常微分方程講義常微分方程講義王柔懷王柔懷 伍卓群伍卓群 編編人民教育出版社人民教育出版社)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的情形的情形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 對(duì)應(yīng)的齊方程對(duì)應(yīng)的

14、齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特征方程特征方程qp 21。，特征根特征根單根單根二重根二重根一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根假設(shè)方程假設(shè)方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx則則 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系數(shù)與方程的系數(shù)與方程 (2) 的特征根有關(guān)。的特征根有關(guān)。)2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun

15、 ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的特征根時(shí)，的特征根時(shí)，不是方程不是方程中的中的故當(dāng)故當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx )2(是單特征根，則是單特征根，則若若 02，qp由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的單特征根時(shí)，的單特征根時(shí)，是方程是方程中的中

16、的故當(dāng)故當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 為為。此時(shí)，方程。此時(shí)，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若 02，qp由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的二重特征根時(shí)，的二重特征根時(shí)，是方程是方程中的中的故當(dāng)故當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式

17、的特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 為為。此時(shí)，方程。此時(shí)，方程，即，即且且pp )(。xPun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時(shí)，時(shí)，的右端為的右端為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xQexynxk其中：其中： 0 ；不是特征根時(shí)，取不是特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 1 ；是單特征根時(shí)，取是單特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 2 。是二重特征根時(shí)，取是二重特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k :?？梢詾閺?fù)數(shù)可以為復(fù)數(shù)注意注意 例解解

18、 2。的通解的通解求方程求方程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為 012，特征根為特征根為 i2, 1。對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所

19、述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy 例解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為 0322，特征根為特征根為 1 321。，對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原方程有特解是單特征根，故取是單特征根，故取由于由于k *0，bexyx將它代入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb上式即上式即 140， b 410，b故原方程有一特解為故原方程有一特解

20、為 41*。xexy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy 例解解 1332 。的通解的通解求方程求方程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。xexeCeCyyyxxx)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的情形的情形、xxPexfxxPexfnxnx )( 1110。其中其中nnnnna

21、xaxaxaxP)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的情形的情形、xxPexfxxPexfnxnx歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。 )( 1是方程是方程的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則xy )( 2是方程是方程的一個(gè)特解；的一個(gè)特解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 實(shí)部實(shí)部 *mI 2yy 虛部虛部 cos)( xxPeyqypynx sin)( xxPe

22、yqypynx )( )i(xPeyqypynx )(*)i(xQexynxk*Re*1yy*Im*2yy i不是特征根，不是特征根， 0 ；取取k i是特征根，是特征根， 1 ；取取k 例解解 cos 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。求方程求方程xyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即有，即有beexbxbbxx從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin21)cosisi

23、n(21 Re。xxxxxx)2i( Re*Re*i1xexyy 例解解 sin 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。求方程求方程xxyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，xebxbxy代入上述方程，得代入上述方程，得 i22i4100，xbbxb比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得 1i40，b 0i10，bb 41 4i10，bb從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 )cossin()cossin(41 Im22xxxxixxxxxexyyi2)41

24、4i( Im*Im*故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy )cossin(412。xxxx 例解解 sincos 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。求方程求方程xxxyy 由上面兩個(gè)例題立即可得由上面兩個(gè)例題立即可得)cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx 例解解 sin2 )4(的通解。的通解。求方程求方程xyyy 012 24，特征方程特征方程)( i i 4, 32, 1二重共軛復(fù)根二重共軛復(fù)根，特征根特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 sin)(cos)(2121。xxDDxxCCy 2 i)4(有特解有特解由于方程由于方程xeyyy ) 2 ( *i20。二重根，取二重根，取，kexbyx將它代入此方程中，得將它代入此方程中，得 810，故，故b 81*i2，xexy從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin81*Im*21，xxyy故原方程的通解為故原方程的通解為 sin81sin)(cos)(22121。xxxxDDxxCCy我想，我想， 你一定會(huì)做這種推廣工作。你一定會(huì)做這種推廣工作。四、歐拉方程四、