北理工物理光學(xué)教程第六章題目詳解

1、- 第七講 解題指南6-1 試說(shuō)明以下幾種光波的偏振態(tài)：（1） （2）（3） 及、的合成波。（1） 由于：所以D是2、4象限線偏振波 （2） 由于：所以D是右旋圓偏振波 （3） 由于：所以均是左旋圓偏振波6-2 （1）試分別寫(xiě)出沿z方向傳播的左、右旋圓偏振波的波函數(shù)表達(dá)式。假設(shè)兩波的頻率均為，振幅分別為：。 （2） 試用瓊斯矢量說(shuō)明上述兩圓偏振波疊加后合成波的偏振態(tài)，并畫(huà)圖表示。，合成為長(zhǎng)軸在x方向的右旋正橢圓偏振波。6-3 一束振動(dòng)方向與圖平面成角的線偏振光波垂直入射到菲涅耳菱形鏡（n=1.51）的端面上，如圖所示。試問(wèn)經(jīng)菱形鏡兩個(gè)斜面反射后，出射光的偏振態(tài)為何？ 題63圖解：入射線偏振波D

2、分解為，對(duì)應(yīng)P分量，對(duì)應(yīng)S分量。一次全反射的位相躍變之差（相對(duì)位相躍變）： 代入： 求出： 所以，出射光：，為右旋圓偏振光。6-4 有一橢圓偏振波，其瓊斯矩陣為。試求與之正交、且能量相同的橢圓偏振波的瓊斯矩陣。并畫(huà)圖表示這兩個(gè)波的矢量端點(diǎn)軌跡及旋向。 設(shè)：， 若：，則 于是有： 必有：，解出： 當(dāng)時(shí)，振幅系數(shù)滿足：， 解出： 無(wú)論那種情況，都有： 當(dāng)時(shí)，振幅系數(shù)滿足：， 解出： 于是有： 總之，是與正交，且能量相同的右旋橢圓偏振光。 6-5 試把橢圓偏振波分解成：（1） 兩個(gè)與x軸成角而且相互垂直的線偏振波；（2） 兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的圓偏振波。 按照偏振光分解基本公式（627）： 選取正交基

3、選取正交基 6-6 一束自然光入射到空氣-玻璃（=1.54）界面上。（1） 試討論在范圍內(nèi)折、反射光的偏振態(tài)。（2） 如果入射角為，試求反射光和折射光的偏振度。(1) 利用菲涅耳公式,(1-124)-(1-127)可以導(dǎo)出：反射光的偏振度：折射光的偏振度：上式推導(dǎo)中利用關(guān)系：， （1135）代入?yún)?shù)，算出結(jié)果：說(shuō)明入射角等于布儒斯特角，反射光為線偏振光。6-7如圖所示，一細(xì)束平行自然光以布儒斯特角射向反射鏡，反射光 再經(jīng)反射鏡（）反射，得到出射光。如果將鏡自圖示位置開(kāi)始繞軸旋轉(zhuǎn)一周。試問(wèn)的光強(qiáng)將如何變化？何時(shí)最強(qiáng)？何時(shí)最弱？ 題67圖解：由Brewst定律可知，成為S分量的線偏振光，振動(dòng)方向垂

4、直于紙面。當(dāng)繞軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度后，仍然滿足Brewst定律，但是由于入射面轉(zhuǎn)過(guò)了角，所以對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)以后的入射面來(lái)說(shuō)，S分量的振幅成為： 的強(qiáng)度成為：所以，當(dāng)時(shí)，最強(qiáng)，當(dāng)時(shí)，最弱。6-8 一線偏振平行光細(xì)光束B(niǎo)垂直入射到平面平行晶板Q上，由于雙折射 將在屏上形成兩個(gè)光斑和，如圖所示。假設(shè)入射光強(qiáng)度為I，偏振方向平行于圖平面，晶板的光軸在圖平面內(nèi)，相對(duì)晶板表面傾斜一個(gè)角度（見(jiàn)圖）。試問(wèn)：（1） 若將Q繞入射光束旋轉(zhuǎn)，兩光斑和的位置及強(qiáng)度將如何變化？（2） 若B是自然光，情況又如何？ 題68圖 解：（1） 設(shè)在初始位置，晶體Q的轉(zhuǎn)角此時(shí)入射光振動(dòng)在主平面內(nèi)，為光。所以為亮點(diǎn)，為暗點(diǎn)。晶體Q轉(zhuǎn)過(guò)角，即晶體Q

5、的主平面轉(zhuǎn)過(guò)了角，此時(shí)有：所以：當(dāng)時(shí)，最亮，為暗點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為暗點(diǎn)，最亮。 （2） 當(dāng)入射為自然光時(shí)，無(wú)論Q的主平面轉(zhuǎn)到什么方位，總可以分解為，因而總是有：位于中心，位置不變，亮度不變；繞旋轉(zhuǎn)，亮度不變。（見(jiàn)上圖）為匝數(shù)，I為電流強(qiáng)6-9 一束平行鈉光以角自空氣射向 方解石晶體，假定晶體光軸平行于界面并且垂直于入射面，如圖所示。（1） 試用折射率面作圖法畫(huà)出晶體內(nèi)o光和e光的波矢方向和振動(dòng)方向。（2） 試求兩波矢方向的夾角。 題69圖 解：（1） 負(fù)單軸晶體（2） 算出：6-10 一束平行光自空氣射向石英晶體。 若入射光方向與晶體光軸方向平行，如圖所示。 試問(wèn)這時(shí)是否會(huì)發(fā)生雙折射？題610圖 正

6、單軸晶體同樣會(huì)發(fā)生雙折射。611 一束細(xì)的鈉黃光以800角射向一平面平行石英晶板。設(shè)晶板光軸垂直入射面，厚度d =3mm.試求：（1） 兩束出射光的距離。（2） o光與e光通過(guò)晶板后的位相差。解：已知： （1）求出 （2） 612 圖示等腰棱鏡由某種單軸晶體制成。假設(shè)該棱鏡的光軸垂直于圖面，頂角。測(cè)得o光和e光的最小偏向角分別為：。 試求棱鏡晶體的O光折射率和e光折射率。 題612圖解：當(dāng)和相對(duì)于棱鏡對(duì)稱，且折射光線 與棱鏡底邊平行時(shí)，取最小偏向角。無(wú)論O光還是e光，于是：對(duì)于O光： 求出：對(duì)于e光： 求出：613 在一對(duì)主方向互相平行的線偏器、 之間放一塊光軸垂直于界面的石英晶片Q，以一束白

7、光垂直入射到該系統(tǒng)，如圖所示。若要使出射光中缺少=546.1nm的成分，試問(wèn)石英晶片厚度d最小應(yīng)為多少？ 題613圖解：自然光經(jīng)線偏器成為平行于主方向的線偏振光。石英晶體使偏振面旋轉(zhuǎn)角： 查時(shí)，當(dāng)時(shí)，偏振光正好與正交，出射光強(qiáng)第一次為零。所以： 614 試對(duì)尼科耳棱鏡（參見(jiàn)圖6-25）計(jì)算能使o光在膠合面上發(fā)生全反射的最大入射角IKH，以及保證e光不發(fā)生全反射的最大入射角GKH的大小。設(shè)入射光為鈉黃光。 設(shè)光全反射臨界角： 當(dāng)入射光沿IK方向，令，當(dāng)光在AD面上的入射角小于時(shí)，光將不發(fā)生全反射。設(shè)光在AB面上的入射角為，折射角為，可求出： 以及： 由： 求出：要計(jì)算光在AD面上發(fā)生全反射的條件

8、則要利用折射率橢球，過(guò)程比較麻煩。615 若格蘭棱鏡由方解石制成，其間用甘油（=1.474）膠合，棱鏡頂角，如圖所示。試求格蘭棱鏡的通光孔徑角。題615圖解：已知： 求出： 當(dāng)沿CB入射時(shí)，加大，光也發(fā)生全反射。設(shè)， 求出：當(dāng)沿DB入射時(shí)，減小，光不發(fā)生全反射。設(shè)， 求出：最后： 616 將兩塊線偏器疊起來(lái)使用，通過(guò)改變它們主方向之間的夾角可以控制透射光的強(qiáng)度I.假設(shè)時(shí)透射光的強(qiáng)度為，試問(wèn)： （1） 欲使, 應(yīng)為多少度？ （2） 若要求I的精度在2以內(nèi)，角的最大允許誤差為何？解：按照馬呂斯定律：（1） 要求， 求出：（2） 求出：617 欲用/4波片將沿x軸振動(dòng)的線偏振光變成（1）右旋圓偏振光

9、，（2）左旋圓偏振光，試問(wèn)/4波片的快軸方向應(yīng)如何放置？并畫(huà)圖加以說(shuō)明。右旋 左旋618 一束線偏振光（=589.3nm）正入射到光軸平行于表面的方解石晶片上，設(shè)入射光振動(dòng)方向與光軸成角。試問(wèn)：（1） o光與e光的相對(duì)強(qiáng)度為何？（2） 若要使出射光成為正橢圓偏振光（相對(duì)于晶片光軸方向而言），晶片的最小厚度為多大？ 解：（1） 求出：， 或 （2）要求成為正橢圓，則： ，求出：619 一束強(qiáng)度為I0的左旋圓偏振光先垂直通過(guò)一塊快速方向沿y軸的片，再通過(guò)一個(gè)線偏器。假設(shè)線偏器的主方向A相對(duì)于y軸左旋了150，如圖所示。試求出射光的強(qiáng)度。 題619圖解法1：設(shè)入射光為,經(jīng)過(guò)片成為，出射光為 由于的振

10、幅，所以的振幅： 出射光強(qiáng)度：解法2.應(yīng)用公式(6-114),寫(xiě)出,求出: 和 解法3. 完全通過(guò)定性分析得出結(jié)論。重要結(jié)論：強(qiáng)度為的圓偏振光（無(wú)論旋向）通過(guò)一塊片（無(wú)論U軸在什么方向），出射光均是線偏振光，強(qiáng)度仍為。入射光為左旋時(shí)，在（U，V）坐標(biāo)系中，出射線偏振光（24象限）；入射光為右旋時(shí)，在（U，V）坐標(biāo)系中，出射線偏振光（13象限）。自選題: 一束振動(dòng)方位角的線偏振光垂直射入一塊方解石晶片（如圖3所示），設(shè)光波長(zhǎng)，方解石晶片的光軸平行于界面，厚度為，。為使出射光成為右旋和左旋圓偏振光，方解石晶片厚度的最小值分別是多少？621 在晶片Q后面放置一塊/4波片，構(gòu)成一個(gè)“Q-/4波片復(fù)合系

11、統(tǒng)”，如圖所示。設(shè)Q的兩個(gè)主軸方向平行于表面并分別取為x,y軸，在y方向引入的位相延遲較x方向多。將/4波片的主軸方向取為u，v軸，其中u軸為快軸方向，它與x軸的夾角為。（1） 寫(xiě)出該復(fù)合系統(tǒng)的瓊斯矩陣。（2） 若一束振動(dòng)方向沿u軸的線偏振光垂直入射該系統(tǒng)，試分別用瓊斯矩陣法和振動(dòng)矢量分解法證明出射光是線偏振光。（3） 試求出射光振動(dòng)方向與x軸的夾角。（因此，可以利用該復(fù)合系統(tǒng)通過(guò)測(cè)定來(lái)求取。） 題621圖 解：（1）該系統(tǒng)的復(fù)合Jones矩陣為： （2）入射光 出射光：（3）可知出射光是線偏振光，振動(dòng)方位角 用線檢偏器測(cè)出角，可以算出622 利用兩個(gè)已知主方向的線偏器P和A，以及一個(gè)已知快、

12、慢速方向的/4波片，如何確定另一個(gè)/4波片的快、慢速方向？ 解：使線偏器P和A組成正交尼科耳，的快軸方向角（如圖）。 的快、慢軸方向待測(cè)。 方法1. 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，和組成一塊波片，且快軸的方向角，它使入射線偏振光振動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)，與A的主方向平行，透射光強(qiáng)度極大。當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，組合波片的，透射光消光。由此可以確定的U，V軸方向。方法2. 如圖組成右旋圓起偏器，出射右旋圓偏振光。經(jīng)變?yōu)榫€偏振光，振動(dòng)方向在的（U，V）坐標(biāo)系第一象限，。通過(guò)旋轉(zhuǎn)A，使出現(xiàn)消光，此時(shí)與A主方向垂直的方向即是線偏振光的振動(dòng)方向，由此方向順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，即是的U軸方向。623 一束振動(dòng)方向沿x軸的線偏光射向一塊/2波片。假設(shè)/2波

13、片的一個(gè)主方向與x軸的夾角為。（1） 試證明出射光仍是線偏光，并求其振動(dòng)方向與x軸的夾角。（2） 今按逆時(shí)針?lè)较颍ㄓ饩€觀察）旋轉(zhuǎn)/2波片，使角逐漸增大。試問(wèn)出射光的振動(dòng)方向與x軸的夾角如何變化？解： 說(shuō)明出射光仍然是線偏振光，且振動(dòng)方位角，即和相對(duì)于U軸對(duì)稱。 當(dāng)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)/2波片，無(wú)論角為何值，始終保持和相對(duì)于U軸對(duì)稱。其中的特殊情形是：當(dāng)（N為整數(shù)）時(shí)，和方向重合。624 設(shè)當(dāng)用線偏振器加/4波片方法檢驗(yàn)光波的偏振態(tài)時(shí)，在步驟中發(fā)現(xiàn)線偏振器主方向角時(shí)出現(xiàn)最大透射光光強(qiáng)，在步驟中發(fā)現(xiàn)插入/4波片后當(dāng)線偏器的時(shí)出現(xiàn)零光強(qiáng)。試求橢圓偏振光的角、角及旋向，并作示意圖表示。解：由右圖可知，入

14、射光是長(zhǎng)軸在，短軸在的橢圓偏振光。將片插入，使，于是，出射光成為線偏振光，其振動(dòng)方位角，所以，檢偏器的方位角時(shí)出現(xiàn)消光。由于在坐標(biāo)系的第一象限，說(shuō)明進(jìn)入片之前，入射光是右旋橢圓偏振光。（因?yàn)橛倚龣E圓偏振光，而片引入）由右圖的幾何關(guān)系還很容易地得出：橢圓的長(zhǎng)軸方位角： 625 一束時(shí)間圓頻率為的左旋圓偏振光射向一塊/2波片，令/2波片以角速度沿入射偏振光的旋轉(zhuǎn)方向勻速旋轉(zhuǎn)。試證明：（1） 從/2波片出射的光為右旋圓偏振光。（2） 出射光的時(shí)間圓頻率變成-2（因此，本方法可以通過(guò)機(jī)械旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)光波的時(shí)間移頻）。解：入射左旋圓偏振光的Jones矢量為： 其中是的時(shí)間角頻率。設(shè)在時(shí)刻，矢量的方向如圖所示

15、，它以角速度左旋。如圖所示，首先考慮在/2波片靜止不動(dòng)的情形，設(shè)其快速方向?yàn)椋芍獣r(shí)刻的矢量通過(guò)/2波片后，其方向變?yōu)椋拖鄬?duì)于對(duì)稱，且都以角速度左旋。只不過(guò)在/2波片的入射面上，而在/2波片的出射面上旋轉(zhuǎn)。現(xiàn)在考慮/2波片轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度（以的方向?yàn)閰⒄眨?，從轉(zhuǎn)到了。按照前面分析，出射光矢量應(yīng)轉(zhuǎn)到，轉(zhuǎn)過(guò)，仍然保證和相對(duì)于對(duì)稱。如果/2波片以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可知從/2波片出射的光矢量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)角速度為的附加轉(zhuǎn)動(dòng)。由于/2波片的旋轉(zhuǎn)方向和左旋圓偏振光的旋向相同，所以由/2波片旋轉(zhuǎn)引入的附加位相延遲應(yīng)和的時(shí)間位相因子相加，以保證相對(duì)位相延遲減小。所以旋轉(zhuǎn)/2波片的Jones矩陣可以表示為： 因此，出

16、射光的Jones矩陣可以表示為： 說(shuō)明從旋轉(zhuǎn)/2波片出射的光波成為右旋圓偏振光，且時(shí)間角頻率成為。此方法可用于改變光波的時(shí)間頻率。626 將一巴比內(nèi)補(bǔ)償器（其兩塊光楔均由石英制成，楔角為）放在正交尼科耳光路中，構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)。若用波長(zhǎng)=589nm的平行自然光照明該系統(tǒng)，試問(wèn)：（1） 通過(guò)檢偏器觀察補(bǔ)償器表面，所看到的干涉條紋形狀為何？（2） 條紋間距為多大？ 這是一個(gè)平行偏振光干涉系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。取補(bǔ)償器光軸C平行于軸。當(dāng)入射線偏振光振動(dòng)方向與補(bǔ)償器的主方向平行時(shí)，進(jìn)入補(bǔ)償器只有一個(gè)本征振動(dòng)，補(bǔ)償器引入均勻位相延遲，看不到干涉條紋。當(dāng)線偏振光振動(dòng)方位角時(shí)（如圖所示），入射線偏振光表示為： 設(shè)補(bǔ)償器引入的附加位相差為，則系統(tǒng)出射光的強(qiáng)度分布可按照正交尼科耳光路的平行偏振光干涉強(qiáng)度公式（6126）計(jì)算，即： 式中表示入射線偏振光振動(dòng)方向與補(bǔ)償器光軸C之間夾角（見(jiàn)講義圖638及公式6126的推導(dǎo)）。如果補(bǔ)償器光軸C平行于Y軸，則，則上式簡(jiǎn)化為：將觀察到一組干涉條紋，等強(qiáng)度線即等位相差線。下面計(jì)算補(bǔ)償器引入的附加位相差：如圖畫(huà)出了補(bǔ)償器垂直于光軸的主截面，設(shè)補(bǔ)償