理論力學-運動學02——無動畫

1、第第3章章 點的復合運動點的復合運動運運 動動 學學81 基本概念基本概念82 點的點的速度合成定理速度合成定理運運 動動 學學83 牽連運動是平移時點的加牽連運動是平移時點的加速度合成定理速度合成定理目錄目錄8 4 牽連運動是定軸轉動時點牽連運動是定軸轉動時點的加速度合成定理的加速度合成定理第第 七七章章點點的的復復合合運運動動 三種運動 牽連點動點和動系的選擇 兩種參考系81 基本概念1. 兩種兩種參考系參考系靜參考系（定系或靜系）：靜參考系（定系或靜系）：認定不動的參考系。認定不動的參考系。動參考系（動系）：動參考系（動系）：相對于靜系運動著的參考系。相對于靜系運動著的參考系。81 基基

2、 本本 概概 念念一般沒特別說明，常以固連于地球的一般沒特別說明，常以固連于地球的參考系取為靜系。參考系取為靜系。2. 三種運動絕對運動絕對運動: 物體相對于定參考系的運動。物體相對于定參考系的運動。相對運動相對運動: 物體相對于動參考系的運動。物體相對于動參考系的運動。牽連運動牽連運動: 動參考系相對于定參考系的運動。動參考系相對于定參考系的運動。3. 兩種運動軌跡兩種運動軌跡相對運動軌跡：相對運動軌跡：動點相對于動系的運動軌跡。動點相對于動系的運動軌跡。絕對運動軌跡：絕對運動軌跡：動點相對于定系的運動軌跡。動點相對于定系的運動軌跡。動動 點：點：桿上桿上A點點。動系：動系：固連于滑塊固連于

3、滑塊B。絕對運動絕對運動？牽連運動牽連運動？相對運動相對運動？81 基基 本本 概概 念念 思考題定系：定系：固連于墻面固連于墻面。合成運動合成運動物體的絕對運動可以看成是物體的絕對運動可以看成是和和的合成結果。所以絕對運動也的合成結果。所以絕對運動也稱為稱為復合運動或合成運動復合運動或合成運動。81 基基 本本 概概 念念幾幾點說明點說明本章只研究本章只研究點的復合運動點的復合運動理論，通過牽連運動來建立絕對運動和相理論，通過牽連運動來建立絕對運動和相對運動之間的聯系，給出這些運動特征量（對運動之間的聯系，給出這些運動特征量（軌跡、速度、加速度軌跡、速度、加速度）之）之間的關系。間的關系。

4、在復合運動的研究中，在復合運動的研究中，參考系的選擇是問題的關鍵參考系的選擇是問題的關鍵。恰當的選擇。恰當的選擇參考系，能把復雜的運動分解為若干種簡單運動，或由若干種簡單參考系，能把復雜的運動分解為若干種簡單運動，或由若干種簡單運動組成各種不同的復雜運動。運動組成各種不同的復雜運動。81 基基 本本 概概 念念必須指出在這一章，絕對運動、必須指出在這一章，絕對運動、相對運動都是指點的運動，可能是相對運動都是指點的運動，可能是直線運動，也可能是曲線運動；而牽連運動是指剛體的運動，可能是直線運動，也可能是曲線運動；而牽連運動是指剛體的運動，可能是平動、定軸轉動或下一章的平面運動等。平動、定軸轉動或

5、下一章的平面運動等。81 基基 本本 概概 念念4.牽連點的概念 動參考系給動點直接影響的是該動系上與動點相重合的一點，動參考系給動點直接影響的是該動系上與動點相重合的一點，這點稱為這點稱為瞬時重合點瞬時重合點或動點的或動點的牽連點牽連點。 牽連運動一方面是動系的絕對運動，另一方面對動點來說起牽連運動一方面是動系的絕對運動，另一方面對動點來說起著著“牽連牽連”作用。但是帶動動點運動的只是動系上在所考察的瞬作用。但是帶動動點運動的只是動系上在所考察的瞬時與動點相重合的那一點，該點稱為時與動點相重合的那一點，該點稱為瞬時重合點瞬時重合點或或牽連點牽連點。 （2）、進一步說明）、進一步說明 （1）、

6、定）、定 義義 由于相對運動，動點在動系上的位置隨時間改變，所以牽連點由于相對運動，動點在動系上的位置隨時間改變，所以牽連點具有具有瞬時性瞬時性。 （3）、注）、注 意意復合運動實例復合運動實例81 基基 本本 概概 念念1.1.動點對動系要有相對運動動點對動系要有相對運動( (動點動系不能位于同一物體上）。動點動系不能位于同一物體上）。1.1.選擇持續(xù)接觸點為動點。選擇持續(xù)接觸點為動點。2.2.對沒有持續(xù)接觸點的問題，一般不選擇接觸點對沒有持續(xù)接觸點的問題，一般不選擇接觸點為動點。根據選擇原則具體問題具體分析。為動點。根據選擇原則具體問題具體分析?；净驹瓌t：原則：具體選擇方法：具體選擇方

7、法：動點和動系的選擇動點和動系的選擇81 基基 本本 概概 念念2.2.動點的相對運動軌跡要明確、容易確定。動點的相對運動軌跡要明確、容易確定。速度合成定理速度合成定理82 點的速度合成定理絕對速度絕對速度va ：動點相對于定系的速度。動點相對于定系的速度。三種速度81 基基 本本 概概 念念牽連速度牽連速度ve ：動系上與動點相重合的點相對于動系上與動點相重合的點相對于定系的速度。定系的速度。相對速度相對速度vr ：動點相對于動系的速度。動點相對于動系的速度。牽連點運動軌跡牽連點運動軌跡zxyOzxyM (m)M(m)絕對運動軌跡絕對運動軌跡相對運動軌跡相對運動軌跡 M1(m1)三種運動軌跡

8、三種運動軌跡 M2(m2)82 點的點的速度合成定理速度合成定理 設動點設動點M在動系中沿某一曲線在動系中沿某一曲線AB作相對運動，而動系本身相對定作相對運動，而動系本身相對定系作某種運動，相應的運動軌跡如下系作某種運動，相應的運動軌跡如下82 點的點的速度合成定理速度合成定理 速度合成定理(1) limlimlim10100tMMtMMtMMttteravvvMMMMMM11a0limvtMMtr2010limlimvtMMtMMtte1010limlimvmttvtmmtMM動點動點M在時間在時間t 內的絕對位移內的絕對位移則有則有分析其中各項分析其中各項代入（代入（1）式可得）式可得zx

9、yrr1r M(m)M (m) M1(m1) M2(m2)vevavr絕對速度絕對速度牽連速度牽連速度相對速度相對速度動點的絕對速度等于其相動點的絕對速度等于其相對速度與牽連速度的矢量對速度與牽連速度的矢量和。和。82 點的點的速度合成定理速度合成定理eravvvzxyrr1r M(m)M (m) M1(m1) M2(m2)vevavr 速度合成定理速度合成定理幾點說明幾點說明82 點的點的速度合成定理速度合成定理eravvv 牽連運動牽連運動是指剛體是指剛體(動系動系)的運動；而牽連速度是指剛體的運動；而牽連速度是指剛體 上一點上一點(與動點相重合的點與動點相重合的點)的速度。的速度。 速度

10、合成定理為速度合成定理為平面矢量方程平面矢量方程，由此可以寫出兩個投，由此可以寫出兩個投 影式，所以可以求解兩個未知量。影式，所以可以求解兩個未知量。速度合成定理對任意形式的牽連運動都適用。速度合成定理對任意形式的牽連運動都適用。(1)選定動點、動參考系和定參考系。(2)分析三種運動和三種速度。(3)作出速度平行四邊形。(4)利用速度平行四邊形中的幾何關系解出未知數。 例例8-1 8-1 軍艦以軍艦以20節(jié)（節(jié)（knot，1=1.852 km/h）的速度前進，）的速度前進，直升飛機一每小時直升飛機一每小時18 km的速度垂直降落。求直升飛機相對的速度垂直降落。求直升飛機相對于軍艦的速度。于軍艦

11、的速度。 82 點的點的速度合成定理速度合成定理例題例題 8-1解：O1xy82 點的點的速度合成定理速度合成定理1、選擇動點與動系、選擇動點與動系2、運動分析、運動分析 動系動系動點動點直升飛機直升飛機。定系定系O1xy82 點的點的速度合成定理速度合成定理3、分析三種速度，畫出速度矢量圖、分析三種速度，畫出速度矢量圖 絕對速度絕對速度va：va大小已知大小已知，方向方向鉛鉛垂向下。垂向下。 牽連速度牽連速度ve：ve大小即為艦艇的前進大小即為艦艇的前進速度速度，方向水平向右方向水平向右。應用速度合成定理應用速度合成定理eravvv 相對速度相對速度vr：大小方向均未知，為所大小方向均未知，

12、為所要求的量要求的量。hkm 18.41324137218)04.37(222a2ervvv,486.004.3718taneavv92.25可得飛機的相對速度大小可得飛機的相對速度大小方向可用方向可用 vr 與水平線夾角表示為與水平線夾角表示為 例例8-2 8-2 已知正弦機構中，曲柄已知正弦機構中，曲柄OAl，角速度角速度 , 30o 。求求T型桿型桿BCD的速度。的速度。OADCB82 點的點的速度合成定理速度合成定理例題例題 8-2OADCB解：解：1. 選擇動點與動系。選擇動點與動系。動點動點曲柄上的曲柄上的A點；點；動系動系固連于桿固連于桿BC上上。2. 運動分析。運動分析。 絕對

13、運動絕對運動以以O為圓心為圓心 、l為半徑的等速圓為半徑的等速圓 周運動。周運動。 相對運動相對運動沿沿BC方向的直線方向的直線運動。運動。牽連運動牽連運動鉛垂方向的平移。鉛垂方向的平移。82 點的點的速度合成定理速度合成定理定系定系OADCB3. 速度分析。速度分析。vrveva 牽連速度牽連速度ve： ve？, 方向沿鉛垂方向向上。方向沿鉛垂方向向上。l21sineaBCvvvsin30l絕對速度絕對速度 va ： va l，方向方向垂直于垂直于OC相對速度相對速度vr： vr？，方向沿方向沿BC。82 點的點的速度合成定理速度合成定理T型桿型桿BCD的速度的速度eravvv方向鉛垂向上方

14、向鉛垂向上 例例8-3 8-3 仿形機床中半徑仿形機床中半徑為為R的半圓形靠模凸輪以等速的半圓形靠模凸輪以等速度度v0沿水平軌道向右運動，沿水平軌道向右運動，帶動頂桿帶動頂桿AB沿鉛垂方向運動，沿鉛垂方向運動，如圖所示。試求如圖所示。試求=60時時，頂頂桿桿AB的速度。的速度。 ABnR82 點的點的速度合成定理速度合成定理例題例題 8-3ABnR 解：1. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動系動系 固連于凸輪。固連于凸輪。2. 運動分析。運動分析。 絕對運動絕對運動直線運動。直線運動。牽連運動牽連運動水平平水平平移。移。動點動點 AB 桿的端點桿的端點A 。 相對運動相對運動沿凸輪

15、輪廓曲線運動。沿凸輪輪廓曲線運動。定系定系固連于水平軌道。固連于水平軌道。82 點的點的速度合成定理速度合成定理ABnR3. 速度分析。速度分析。絕對速度絕對速度va：大小未知，方向沿大小未知，方向沿 桿桿AB向上向上。 相對速度相對速度vr： 大小未知，方向沿大小未知，方向沿 凸輪圓周的切線凸輪圓周的切線 。 牽連速度牽連速度ve：ve= v0，方向方向水平向水平向 右右。82 點的點的速度合成定理速度合成定理00ea577. 060 cot cotvvvvreavvv應用速度合成定理應用速度合成定理ABnR82 點的點的速度合成定理速度合成定理方向向上。方向向上。 可得可得因為桿因為桿AB

16、作平動，所以此瞬時它的速作平動，所以此瞬時它的速度大?。憾却笮。?0577.0vvvABa 例8-5 8-5 如圖所示，半徑如圖所示，半徑為為R，偏心距為偏心距為e的凸輪，以的凸輪，以勻角速度勻角速度繞繞O軸轉動，桿軸轉動，桿AB能在滑槽中上下平動，能在滑槽中上下平動，桿的端點桿的端點A始終與凸輪接觸，始終與凸輪接觸，且且OAB成一直線。求在圖示成一直線。求在圖示位置時，桿位置時，桿AB的速度。的速度。 82 點的點的速度合成定理速度合成定理例題例題 8-5eOCB解：1. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動系動系Oxy，固連于凸輪。固連于凸輪。2. 運動分析。運動分析。 絕對運動絕

17、對運動直線運動。直線運動。 相對運動相對運動 以以C為圓心的圓周運動。為圓心的圓周運動。牽連運動牽連運動 繞繞O 軸的定軸轉動。軸的定軸轉動。動點動點 AB的端點的端點A 。yx定系定系固連于機座。固連于機座。82 點的點的速度合成定理速度合成定理eOCABreavvv應用速度合成定理應用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。 絕對速度絕對速度va： va為所要求的未知量，為所要求的未知量， 方向沿桿方向沿桿AB。 相對速度相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪大小未知，方向沿凸輪 圓周的切線圓周的切線 。 牽連速度牽連速度ve： veOA ，方向垂直，方向垂直 于于OA 。eOAeOAvvcot

18、ea82 點的點的速度合成定理速度合成定理桿桿AB的速度的速度方向向上。方向向上。 例8-6 8-6 如圖所示為裁紙板如圖所示為裁紙板的簡圖。紙板的簡圖。紙板ABCD放在傳送放在傳送帶上，并以勻速度帶上，并以勻速度v1=0.05 ms-1與傳送帶一起運動。裁紙刀固傳送帶一起運動。裁紙刀固定在刀架定在刀架K上，刀架上，刀架K以勻速度以勻速度v2=0.13 ms-1沿固定導桿沿固定導桿EF運運動。試問導桿動。試問導桿EF的安裝角的安裝角應應取何值才能使切割下的紙板成取何值才能使切割下的紙板成矩形。矩形。 ABCDEFK82 點的點的速度合成定理速度合成定理例題例題 8-6ABCDEFK 1. 選擇

19、動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。相對運動相對運動垂直于紙板的運動方向垂直于紙板的運動方向 的直線運動。的直線運動。牽連運動牽連運動 隨紙板一起作水平向隨紙板一起作水平向 左的平動。左的平動。絕對運動絕對運動 沿導桿的直線運動。沿導桿的直線運動。動系動系固連于紙板固連于紙板ABCD上。上。動點動點取刀架取刀架K為動點。為動點。 2. 運動分析。運動分析。解：定系定系固連于機座。固連于機座。82 點的點的速度合成定理速度合成定理EABCDFKreavvv385. 0 sin21aevvvv6 .22故導桿的安裝角故導桿的安裝角3. 速度分析。速度分析。 絕對速度絕對速度va： va=v2，

20、方向沿桿方向沿桿EF向向 左上左上。 牽連速度牽連速度ve： ve=v1 ，方向，方向水平向左水平向左。 相對速度相對速度vr： 大小未知，方向大小未知，方向垂直于垂直于 紙板的運動方向。紙板的運動方向。由幾何關系可得由幾何關系可得應用速度合成定理應用速度合成定理82 點的點的速度合成定理速度合成定理 例8-8 8-8 船船A和船和船B分別沿夾角是分別沿夾角是的兩條的兩條直線行駛。已知船直線行駛。已知船A的的速度是速度是v1，船，船B始終在始終在船船A的左舷正對方向。的左舷正對方向。試求船試求船B的速度的速度v2和它和它對船對船A的相對速度。的相對速度。82 點的點的速度合成定理速度合成定理例

21、題例題 8-81. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。相對運動相對運動沿沿AB的直線運動。的直線運動。牽連運動牽連運動 隨動系隨動系Ax y的直線平動。的直線平動。絕對運動絕對運動 沿沿OB的直線運動。的直線運動。動系動系 Ax y固連于船固連于船A上。上。動點動點取船取船B上任一點為動點。上任一點為動點。 2. 運動分析。運動分析。yx解：定系定系固連于海岸。固連于海岸。82 點的點的速度合成定理速度合成定理3. 速度分析。速度分析。4. 求速度。求速度。, cos12vv tan1rvv reavvv應用速度合成定理應用速度合成定理 絕對速度絕對速度va： va =v2，大小大小待

22、求待求，方向，方向沿沿OB。 相對速度相對速度vr：大小未知，方向沿大小未知，方向沿AB 。 牽連速度牽連速度ve： ve = v1 ，方向，方向沿軸沿軸Ox正向。正向。得船得船B的絕對速度和對于船的絕對速度和對于船A的相對速度的大小的相對速度的大小yx82 點的點的速度合成定理速度合成定理 加速度加速度合成定理合成定理 三種加速度三種加速度83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理絕對加速度絕對加速度動點相對于定系的加速度稱為絕對加速動點相對于定系的加速度稱為絕對加速度，用度，用aa表示。表示。相對加速度相對加速度動點相對于動系的加速度稱為相對加速動點相對于動系的加速度稱為相對加速度，用度，用

23、ar表示表示。牽連加速度牽連加速度動系上與動點相重合的那一點（牽連點）動系上與動點相重合的那一點（牽連點）對于定系的加速度稱為牽連加速度，用對于定系的加速度稱為牽連加速度，用ae表示表示。83 83 牽連運動是平移時點的加速度合成定牽連運動是平移時點的加速度合成定理理1. 三種加速度動點動點M在定系和動系中的矢徑分別用在定系和動系中的矢徑分別用r和和r表示。表示。kjirrrr zyxookjirra2222222222addddddddddtztytxtto上式在定系中對時間上式在定系中對時間t 求二階導數，有求二階導數，有OiOkjxryrO yzxzM(m)r有關系式有關系式83 83

24、牽連運動是平移時點的加速度合成定牽連運動是平移時點的加速度合成定理理2.牽連運動是平移時點的加速度合成定理OiOkjxryrOyzxzM(m)root ar22ddaOaearreaaaakjirra2222222222adddddddddtzdtytxtto 加速度合成定理加速度合成定理 牽連運動為平移時，牽連運動為平移時，點的絕對加速度等點的絕對加速度等于牽連加速度、相對加速度的矢量和。于牽連加速度、相對加速度的矢量和。83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理 例8-5 8-5 曲柄曲柄OA繞固定軸繞固定軸O轉動，丁字形桿轉動，丁字形桿BC沿水平方向往復平

25、沿水平方向往復平動，如圖所示。鉸鏈在曲柄端動，如圖所示。鉸鏈在曲柄端A的滑塊，可在丁字形桿的鉛直槽的滑塊，可在丁字形桿的鉛直槽DE內內滑動。設曲柄以角速度滑動。設曲柄以角速度作勻角速轉動，作勻角速轉動，OA=r，試求桿，試求桿BC 的加速度。的加速度。 OABDE83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理例題例題 8-11COABDE解：1. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動系動系固連于丁字形桿。固連于丁字形桿。2. 運動分析。運動分析。 絕對運動絕對運動以以O為圓心的圓周運動為圓心的圓周運動。 相對運動相對運動沿槽沿槽CD的直線運動。的直線運動。

26、牽連運動牽連運動丁字形桿丁字形桿BC 沿水平方沿水平方 向的平動向的平動。動點動點滑塊滑塊A 。定系定系固連于機座。固連于機座。83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理COABDE應用加速度合成定理應用加速度合成定理3. 加速度分析。加速度分析。 絕對加速度絕對加速度aa： aa = OA 2 ，沿著，沿著 OA，指向指向O。 相對加速度相對加速度ar：大小大小未知未知，方向沿方向沿 鉛直槽鉛直槽DE。 牽連加速度牽連加速度ae：大小未知大小未知，為所要，為所要 求的量，求的量，沿沿水平水平方方向。向。reaaaa cos cos2aeraaaBC得桿得桿BC

27、 的加速度的加速度83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理C水平向左。水平向左。 例8-6 8-6 凸輪在水平面凸輪在水平面上向右作減速運動，如圖上向右作減速運動，如圖所示。設凸輪半徑為所示。設凸輪半徑為R，圖，圖示瞬時的速度和加速度分示瞬時的速度和加速度分別為別為v和和a。求桿。求桿AB在圖示在圖示位置時的加速度。位置時的加速度。 ABnR83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理例題例題 8-12ABnR 解：1. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動系動系Oxy，固連于凸輪。，固連于凸輪。2. 運動分析。運動分析。

28、 絕對運動絕對運動直線運動。直線運動。牽連運動牽連運動水平平水平平動。動。動點動點 AB的端點的端點A 。 相對運動相對運動沿凸輪輪廓曲線運動。沿凸輪輪廓曲線運動。Oxy定系定系固連于機座。固連于機座。83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理ABnROxy3. 速度分析。速度分析。 絕對速度絕對速度va：大小未知，方向沿桿大小未知，方向沿桿AB 向上向上。 相對速度相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪大小未知，方向沿凸輪 圓周的切線圓周的切線 。 牽連速度牽連速度ve： ve= v ，方向，方向水平向右水平向右。根據速度合成定理根據速度合成定理sinsinerv

29、vvreavvv可求得：可求得：83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理ABnROxy 4. 加速度分析。加速度分析。絕對加速度絕對加速度aa：大小未知大小未知，為所要求的量，為所要求的量， 方向沿直線方向沿直線AB。 相對加速度切向分量相對加速度切向分量art：大小大小未知未知，垂直于垂直于 OA，假設，假設指向指向右下。右下。牽連加速度牽連加速度ae： ae= a ，沿沿水平水平方方向向。相對加速度法向分量相對加速度法向分量arn： aen = vr 2 / R，沿沿 著著OA，指向指向O。aeaanratra83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運

30、動是平移時點的加速度合成定理根據加速度合成定理根據加速度合成定理nrea cossinaaa上式投影到法線上式投影到法線 n 上，得上，得解得桿解得桿AB在圖示位置時的加速度在圖示位置時的加速度3222asin cot)sin cos( sin1RvaRvaarnrteaaaaaABnROxyaeaanratra83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理鉛直向下。鉛直向下。 例8-108-10 具有曲面具有曲面AB的靠模沿水平方向運動時，推動頂桿的靠模沿水平方向運動時，推動頂桿MN沿鉛直固沿鉛直固定導槽運動。已知在圖中瞬時靠模具有水平向右的速度定導槽運動。已知在

31、圖中瞬時靠模具有水平向右的速度v1，水平向右的加速，水平向右的加速度度a1，曲線，曲線AB在桿端在桿端M接觸點的切線與水平線的夾角為接觸點的切線與水平線的夾角為；曲線；曲線AB在桿端接在桿端接觸點觸點M的曲率半徑是的曲率半徑是；試求頂桿；試求頂桿 MN 在這瞬時的速度及加速度。在這瞬時的速度及加速度。 83 牽連運動是平移時點的加速度合成定理牽連運動是平移時點的加速度合成定理例題例題 8-101. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動點動點頂桿端點頂桿端點M。動系動系固連于靠模上。固連于靠模上。2. 運動分析。運動分析。絕對運動絕對運動M點點沿鉛直方向的直線運動。鉛直方向的直線運動。牽連運動牽連運動 靠模水