高數(shù)D曲線凹凸與圖形

1、二、曲線的漸近線一、函數(shù)的凹凸性與拐點第五節(jié)函數(shù)的凹凸性與 函數(shù)作圖 第三三章 三、函數(shù)圖形的描繪AB定義定義 . 設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有1212( )()(),22xxf xf xf則稱( )f x為I上的上凹凹函數(shù);(2) 若恒有1212()()(),22xxf xf xf則稱連續(xù)曲線上內(nèi)點的凹凸分界點稱為拐點拐點 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox一、函數(shù)的凹凸與拐點一、函數(shù)的凹凸與拐點( )f x為I上的上凸凸函數(shù);自學定義，定理自學定義，定理1、 2 . 定理定理1*.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 上( )0,fx

2、則 為 I 上的上凹 函數(shù);)(xf(2) 在 I 上( )0,fx則 為 I 上的上凸函數(shù) .)(xf證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 兩式相加兩式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx )()(21ff ()0 ,fx說明 (1) 成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)證畢12()()()2f xf xf221xx 例例1. 判斷曲線4xy 的凹凸性.解

3、解:,43xy 212xy 時，當0 x;0 y,0時x, 0 y故曲線4xy 在),(是上凹的.說明說明:1) 若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 兩側(cè)異號異號,0 x則點)(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個拐點.則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,xyo例例2. 求曲線3xy 的拐點. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線3xy 的拐點 .oxy凹凸xxy24362 )(3632xx例例3.

4、 求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標令0 y得,03221xx對應(yīng)3) 列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點 ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0 (),(2711322xy 無漸近線 .點 M 與某一直線 L 的距離趨于 0,二、 曲線的漸近線曲線的漸近線定義定義 . 若曲線 C上的點M 沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線 L 為曲線C 的漸近線漸近線 .例如, 雙曲線1

5、2222byax有漸近線0byax但拋物線或為“縱坐標差縱坐標差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo1. 水平與鉛直漸近線水平與鉛直漸近線若,)(limbxfx則曲線)(xfy 有水平漸近線.by )(x或若,)(lim0 xfxx則曲線)(xfy 有垂直漸近線.0 xx )(0 xx或例例4. 求曲線211xy的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線.212. 斜漸近線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(li

6、mxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或例例5. 求曲線3223xxxy的漸近線 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有鉛直漸近線3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy為曲線的斜漸近線 .312 xy三、函數(shù)圖形的描繪三、函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù))(xfy 的定義域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點 ;4. 求漸近線 ;5. 確定某

7、些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點 ;并考察其對稱性及周例例6. 描繪22331xxy的圖形.解解: 1) 定義域為, ),(無對稱性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點）32(極小)4)xy1332201231例例7. 描繪方程044)3(2yxyx的圖形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定義域為), 1 ( , ) 1 ,(2) 求關(guān)鍵點)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy)

8、1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判別曲線形態(tài)00(極大極大)(極小極小)4) 求漸近線,lim1yx為鉛直漸近線無定義無定義1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊點xy049241為斜漸近線4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）繪圖(極大極大)(極小極小)斜漸近線1x鉛直

9、漸近線4541xy特殊點11302) 1( 4) 3(2xxy2無定義無定義xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例8. 描繪函數(shù)21y22xe的圖形. 解解: 1) 定義域為, ),(圖形對稱于 y 軸.2) 求關(guān)鍵點 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判別曲線形態(tài)(極大極大)(拐點拐點)(極大極大)(拐點拐點)0limyx0y為水平漸近線5) 作圖4) 求漸近線2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21內(nèi)容小

10、結(jié)內(nèi)容小結(jié)Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減1.曲線凹凸與拐點的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點 連續(xù)曲線上的凹凸分界點2. 曲線漸近線的求法 水平漸近線 ; 垂直漸近線; 斜漸近線3. 函數(shù)圖形的描繪-按作圖步驟進行思考與練習思考與練習 1. 曲線)(1122xxeey(A) 沒有漸近線；(B) 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD作業(yè)作業(yè) P1301(6); 2(2)

11、 ; 3;5; 7(3),(5)證明:20 x當時，.2sinxx有證明證明:xxxF2sin)(令, 0)0(F, 則)(xF )(xF)(xF是凸凸函數(shù))(xF即xx2sin)20( x 2 .0)2(F2cosxxsin0)2(),0(minFF0(自證)拐點為 ,凸區(qū)間是 ,),(21)1,(2121e3. 曲線21xey的凹區(qū)間是 ,提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及漸近線 .1yyox1)1 ,(2121e)1 ,(2121e112xxy有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線 證明：證明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx備用題備用題xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2令0 y得,11x, )1,1(從而三個拐點為因為32所以三個拐點共線.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831備用題備用題 求笛卡兒葉形線yxayx333的漸近線 . 解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :x,133ttay3213tta, 1tx時當因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxy