概率學(xué)生版本

1、期末復(fù)習(xí)資料之概率（教師版）一、【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】二、【知識(shí)點(diǎn)填空】1一般地，在一定條件S下， 一定會(huì)發(fā)生 的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件。 在一定條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件。在一定條件S下， 可能發(fā)生也可能不發(fā)生 的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件。隨機(jī)事件A發(fā)生的概率的范圍是：。2如果我們面臨的是從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使樣本出現(xiàn)的可能性最大”作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為 極大似然法 。3某小組3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中：A:恰有1名男生與B:恰有2名男生； A:至少有1名男生與B:至少有1名女生

2、；A:至少有1名男生與B:全是男生； A:至少有1名男生與B:全是女生；其中是互斥事件的是 、 （寫出相應(yīng)的序號(hào)即可）。4互斥事件分別發(fā)生的概率公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B互斥，那么事件A與、與及事件與也都是互斥事件；5.古典概型和幾何概型(1)計(jì)算古典概型的基本步驟有：判斷試驗(yàn)結(jié)果是否為等可能事件；求出試驗(yàn)包括的基本事件的個(gè)數(shù)n，以及所求事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；代入公式P(A)，求概率值 (2)對(duì)一些較為簡(jiǎn)單、基本事件個(gè)數(shù)不是太大的概率問題，計(jì)數(shù)時(shí)只需要用枚舉法即可計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，但應(yīng)特別注意：計(jì)算時(shí)要嚴(yán)防遺漏，絕不重復(fù)(3

3、)取球模型是古典概型計(jì)算中的一個(gè)典型問題，好多實(shí)際問題都可以歸結(jié)到取球模型上去，特別是產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)，解題時(shí)要分清“有放回”與“無放回”，“有序”與“無序”等條件的影響 6.幾何概型(1)幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型(2)在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式P(A)_.求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解7古典概型與幾何概型的區(qū)別(1)相同點(diǎn)：基本事件發(fā)生的可能性都是_；(2)不同點(diǎn)：古典概型的基本事件是有限個(gè)，是可數(shù)的；幾何概型的基本事件是_，是不

4、可數(shù)的三、【例題導(dǎo)講】例1 . 將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次,考察以下事件:“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于2”;“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4”;“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”;“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3”;“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”;“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”.(1)寫出其中所有的包含關(guān)系.(2)_;_;_; _;_;_.(3)其中互斥的事件有_;對(duì)立的事件有_.例2 某校高三為優(yōu)生提供數(shù)學(xué)和物理超級(jí)培訓(xùn),以提高優(yōu)生的奪冠能力,每名優(yōu)生可選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過數(shù)學(xué)培訓(xùn)的有60%,參加過物理培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒有影響.(1)求1名優(yōu)生參加過培訓(xùn)的概率;(2)任

5、選3名優(yōu)生,求這3人中至少有2人參加過培養(yǎng)的概率.分析：在題設(shè)的兩項(xiàng)培訓(xùn)中,每個(gè)優(yōu)生都有3種選擇方法:參加1項(xiàng)、兩項(xiàng)或不參加培訓(xùn).所以僅根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)無法判斷哪些是僅參加了一項(xiàng)培訓(xùn),哪些是兩項(xiàng)培訓(xùn)都參加了的.所以本題屬于典型的計(jì)算和事件的題型.例3在矩形ABCD中，AB5，AC7.現(xiàn)在向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，求時(shí)的概率.例4.將一個(gè)骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù).求下列事件的概率:(1)兩數(shù)之和是3的倍數(shù);(2)兩數(shù)之和為質(zhì)數(shù).(3)第二次擲得的點(diǎn)數(shù)大于第一次擲得的點(diǎn)數(shù).例5記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸.（）畫出平面區(qū)域M，并求平面區(qū)域M的面積；（）若點(diǎn)為平面區(qū)域M中任意一點(diǎn)，求直線的圖象經(jīng)過

6、一、二、四象限的概率.例6甲、乙兩艘輪船都要?？吭谕粋€(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)設(shè)甲乙兩艘輪船?？坎次坏臅r(shí)間分別是4小時(shí)和6小時(shí)，求有一艘輪船停靠泊位時(shí)必須等待一段時(shí)間的概率例7 袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè),其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè).已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是. (1)求n的值; (2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a,第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b. 例8 某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S = x + y + z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí). 若S4, 則該產(chǎn)品為一等品

7、. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下: 產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號(hào)A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)() 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率; () 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品, 四【典型習(xí)題導(dǎo)練】1.如果A、B是互斥事件，那么（ ）A.和必不互斥 B.是必然事件C.A和可能互斥 D.AB是必然事件2在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五

8、個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A. B. C. D.3考察正方體6個(gè)面的中心，從中任意選3個(gè)點(diǎn)連成三角形，再把剩下的3個(gè)點(diǎn)也連成三角形，則所得的兩個(gè)三角形全等的概率等于()A1 B. C. D04.利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x2a有實(shí)根的概率為（ ） A. B. C. D.答案：解：方程x2a即x22axab0若方程有實(shí)根，則有4a24ab0，即ba，其所求概率可轉(zhuǎn)化為幾何概率，如圖，其概率等于陰影面積與正方形面積之比P.5在一次教師聯(lián)歡會(huì)上，到會(huì)的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨

9、機(jī)挑選一人表演節(jié)目若選到男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會(huì)的教師共有_人6.在區(qū)間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|1的概率為_ 7某公路設(shè)計(jì)院有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個(gè)人參加市里召開的科學(xué)技術(shù)大會(huì)如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個(gè)體，如果參會(huì)人數(shù)增加1個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，則n是_368.在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則如程序框圖所示，則能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率是_9.某種產(chǎn)品按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí),等級(jí)編號(hào)x依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件,對(duì)其等級(jí)編號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表:x12345頻率a0.

10、20.45bc(1)若所抽取的20件產(chǎn)品中,等級(jí)編號(hào)為4的恰有3件,等級(jí)編號(hào)為5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的條件下,將等級(jí)編號(hào)為4的3件產(chǎn)品記為x1、x2、x3,等級(jí)編號(hào)為5的2件產(chǎn)品記為y1、y2,現(xiàn)從x1、x2、x3、y1、y2這5件產(chǎn)品中任取兩件(假定每件產(chǎn)品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件產(chǎn)品的等級(jí)編號(hào)恰好相同的概率.解:(1)由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, 即a+b+c=0.35.因?yàn)槌槿〉?0件產(chǎn)品中,等級(jí)編號(hào)為4的恰有3件,所以b=320=0.15.等級(jí)編號(hào)為5的恰有2件,所以c=220=0.1,從而a=0.35-b-c=0

11、.1, 所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)從產(chǎn)品x1、x2、x3、y1、y2中任取兩件,所有可能的結(jié)果為(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共10種.設(shè)事件A表示“從產(chǎn)品x1、x2、x3、y1、y2中任取兩件,其等級(jí)編號(hào)相同”,則A包含的基本事件為 (x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共4種.故所求的概率P(A)=410=0.4.10.一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1

12、球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率解方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1任取1球?yàn)榧t球，A2任取1球?yàn)楹谇?，A3任取1球?yàn)榘浊?，A4任取1球?yàn)榫G球，則P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根據(jù)題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).方法二(利用對(duì)立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1A2的對(duì)立事件為A3A4，所以取出1

13、球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因?yàn)锳1A2A3的對(duì)立事件為A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.阿11袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？解設(shè)事件A、B、C、D分別表示“任取一球，得到紅球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黃球”，“任取一球，得到綠球”，則由已知得P(A)，(3分)P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)1P(A)P(B)P(C)P(D)1.

14、 解得P(B)，P(C)，P(D).故得到黑球，得到黃球，得到綠球的概率分別為，.12.班級(jí)聯(lián)歡時(shí)，主持人擬出了如下一些節(jié)目：跳雙人舞、獨(dú)唱、朗誦等，指定3個(gè)男生和2個(gè)女生來參與，把5個(gè)人分別編號(hào)為1,2,3,4,5，其中1,2,3號(hào)是男生，4,5號(hào)是女生，將每個(gè)人的號(hào)分別寫在5張相同的卡片上，并放入一個(gè)箱子中充分混合，每次從中隨機(jī)地取出一張卡片，取出誰(shuí)的編號(hào)誰(shuí)就參與表演節(jié)目(1)為了選出2人來表演雙人舞，連續(xù)抽取2張卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)為了選出2人分別表演獨(dú)唱和朗誦，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中，充分混合后再?gòu)闹谐槿〉诙埧ㄆ?，求?dú)唱和朗誦由同一個(gè)人表演的概率解

15、(1)利用樹形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結(jié)果(如下圖所示)由上圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為20，因?yàn)槊看味茧S機(jī)抽取，因此這20種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗(yàn)屬于古典概型用A1表示事件“連續(xù)抽取2人一男一女”，A2表示事件“連續(xù)抽取2人都是女生”，則A1與A2互斥，并且A1A2表示事件“連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能結(jié)果可以看出，A1的結(jié)果有12種，A2的結(jié)果有2種，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1A2)P(A1)P(A2)0.7，即連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生的概率為0.7.(2)有放回地連續(xù)抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次

16、被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我們用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示抽取的結(jié)果，例如“第一次取出2號(hào)，第二次取出4號(hào)”就用(2,4)來表示，所有的可能結(jié)果可以用下表列出. 第二次抽取第一次抽取123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為25，并且這25種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗(yàn)屬于古典概型用A表示事件“獨(dú)唱和朗誦由同一個(gè)人表演”，由上表可以看出

17、，A的結(jié)果共有5種，因此獨(dú)唱和朗誦由同一個(gè)人表演的概率P(A)0.2.13.汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率解(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以n2 000.則z2 000(100300)(150450)600400.(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得，即a2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，