2.1.2《橢圓的簡單幾何性質(zhì)(一)》解析

1、2.1.2橢圓的簡單橢圓的簡單幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)(一一)復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入1. 橢圓的定義是什么？橢圓的定義是什么？復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入1. 橢圓的定義是什么？橢圓的定義是什么？2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？利用利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)研究橢圓的幾何性質(zhì)以焦點在以焦點在x軸上的橢圓為例軸上的橢圓為例(ab0)12222 byax講授新課講授新課A1講授新課講授新課(ab0)12222 byax1范圍范圍, 122 by, 122 ax橢圓上點的坐標(biāo)橢圓上點的坐標(biāo)(x, y)都適合不等式都適合不等式B2byOF1F2xB1A2-aa-bA1講授新課講授新課(

2、ab0)12222 byax橢圓位于直線橢圓位于直線xa和和yb圍成的矩形里圍成的矩形里|x|a，|y|b1范圍范圍, 122 by, 122 ax即即x2a2，y2b2，橢圓上點的坐標(biāo)橢圓上點的坐標(biāo)(x, y)都適合不等式都適合不等式B2byOF1F2xB1A2-aa-b22(1)1259xy22(2)416xy練習(xí)練習(xí)1：分別說出下列橢圓方程中：分別說出下列橢圓方程中x，y的取值范圍的取值范圍-5x 5-3y 3-2x 2-4y 4221416xy(ab0)12222 byax2對稱性對稱性講授新課講授新課yOF1xF2 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，把在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，把x換成換成x，或，或把把

3、y換成換成y，或把，或把x、y同時換成同時換成x、y時，時，方程有變化嗎？這說明什么？方程有變化嗎？這說明什么？(ab0)12222 byax2對稱性對稱性講授新課講授新課yOF1F2xYXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱圖形的對稱實質(zhì)是圖形上點的對稱圖形的對稱實質(zhì)是圖形上點的對稱22221(0)xyabab新課探究新課探究二、橢圓的對稱性二、橢圓的對稱性22221(0)xyabab 把把x換成換成-x,方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把y換成換成-y,方程不

4、變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把x換成換成-x, y換成換成-y,方程還是不變方程還是不變, 說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )對稱；對稱；中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。結(jié)論：坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。結(jié)論：坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。y x 原點原點oxy( , )P x y橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于y軸軸、x軸軸、原點原點都是對稱的都是對稱的原點原點是橢圓的對稱中心是橢圓的對稱中心橢圓的對稱中心叫做橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心橢圓的中心 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，把在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，把x換成換成x，或

5、，或把把y換成換成y，或把，或把x、y同時換成同時換成x、y時，時，方程有變化嗎？這說明什么？方程有變化嗎？這說明什么？(ab0)12222 byax2對稱性對稱性講授新課講授新課yOF1F2x坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸是橢圓的對稱軸A1講授新課講授新課3頂點頂點 只須只須令令x0，得，得yb，點點B1(0,b)、B2(0, b)是橢圓和是橢圓和y軸的兩個交點；軸的兩個交點；令令y0，得得xa，點點A1(a,0)、A2(a,0)是橢圓和是橢圓和x軸的兩個交點軸的兩個交點yOF1F2xB2B1A2(ab0).12222 byax2、橢圓的頂點、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令令 x

6、=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點（軸的交點（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點（軸的交點（ ）。）。*頂點頂點：橢圓與它的對稱橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*長軸長軸、短軸短軸： 線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸和短軸。長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半長半軸長軸長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上!A1講授新課講授新課3頂點頂點 只須令只須令x0，得，得

7、yb，點，點B1(0,b)、B2(0, b)是橢圓和是橢圓和y軸的兩個交點；令軸的兩個交點；令y0，得得xa，點，點A1(a,0)、A2(a,0)是橢圓和是橢圓和x軸的兩個交點軸的兩個交點yOF1F2xB2B1A2(ab0).12222 byaxA1講授新課講授新課3頂點頂點橢圓有四個頂點：橢圓有四個頂點：A1(a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)橢圓和它的對稱軸的四個交點叫橢圓和它的對稱軸的四個交點叫橢圓的頂點橢圓的頂點 只須令只須令x0，得，得yb，點，點B1(0,b)、B2(0, b)是橢圓和是橢圓和y軸的兩個交點；令軸的兩個交點；令y0，得得xa，點，點A

8、1(a,0)、A2(a,0)是橢圓和是橢圓和x軸的兩個交點軸的兩個交點yOF1F2xB2B1A2線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸長軸和和短軸短軸. 長軸長軸的長等于的長等于2a. 短軸短軸的長等于的長等于2b.A1講授新課講授新課3頂點頂點yOF1F2xB2B1A2cb線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸長軸和和短軸短軸. 長軸長軸的長等于的長等于2a. 短軸短軸的長等于的長等于2b.A1講授新課講授新課3頂點頂點yOF1F2xB2B1A2cba叫做橢圓的叫做橢圓的長半軸長長半軸長b叫做橢圓的叫做橢圓的短半軸長短半軸長線段線段A1A2、B1B2分

9、別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸長軸和和短軸短軸. 長軸長軸的長等于的長等于2a. 短軸短軸的長等于的長等于2b.A1講授新課講授新課3頂點頂點yOF1F2xB2B1A2cba叫做橢圓的叫做橢圓的長半軸長長半軸長b叫做橢圓的叫做橢圓的短半軸長短半軸長|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸長軸和和短軸短軸. 長軸長軸的長等于的長等于2a. 短軸短軸的長等于的長等于2b.A1講授新課講授新課3頂點頂點yOF1F2xB2B1A2cba叫做橢圓的叫做橢圓的長半軸長長半軸長b叫做橢圓的叫做橢圓的短半軸長短半軸長|B1F1|B1F2|B2F1|

10、B2F2|aa線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸長軸和和短軸短軸. 長軸長軸的長等于的長等于2a. 短軸短軸的長等于的長等于2b.A1講授新課講授新課3頂點頂點yOF1F2xB2B1A2cba叫做橢圓的叫做橢圓的長半軸長長半軸長b叫做橢圓的叫做橢圓的短半軸長短半軸長|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在在RtOB2F2中，中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即，即c2a2b2講授新課講授新課 由橢圓的范圍、對稱性和頂點，由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進(jìn)行描點畫圖，只須描出較少的再進(jìn)行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形點，就可以得到較正確的

11、圖形.小小 結(jié)結(jié) ：123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 講授新課講授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講

12、授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講授新課yOx橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的

13、焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做講授新課講授新課橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做yOx越小，因此橢圓越扁；越小，因此橢圓越扁；，從而，從而越接近越接近時，時，越接近越接近當(dāng)當(dāng)221)1(cabace 講授新課講授新課因此橢圓越接近于圓；因此橢圓越接近于圓；，越接近越接近，從而，從而越接近越接近時，時，越接近越接近當(dāng)當(dāng)abce00)2(橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做越

14、小，因此橢圓越扁；越小，因此橢圓越扁；，從而，從而越接近越接近時，時，越接近越接近當(dāng)當(dāng)221)1(cabace 講授新課講授新課. 0)3(222ayxcba 圖圖形形變變?yōu)闉閳A圓，方方程程成成為為，兩兩焦焦點點重重合合，時時，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)因此橢圓越接近于圓；因此橢圓越接近于圓；，越接近越接近，從而，從而越接近越接近時，時，越接近越接近當(dāng)當(dāng)abce00)2(橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比ace 橢圓的離心率橢圓的離心率ac0， 0e14離心率離心率，叫做，叫做越小，因此橢圓越扁；越小，因此橢圓越扁；，從而，從而越接近越接近時，時，越接近越接近當(dāng)當(dāng)221)1(cabace 嘗試

15、成功嘗試成功比較下面兩個橢圓的扁平程度比較下面兩個橢圓的扁平程度2222(1)3412 (2)159xyxy12e 23e 定定 義義圖圖 形形方方 程程范范 圍圍對稱性對稱性焦焦 點點頂頂 點點離心率離心率 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)( a,0)、(0, b)|x| a |y| b|x| b |y| a關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱軸、原點對稱( b,0)、(0, a)ace 講授新課講授新課例例1 求橢圓求橢圓16x225y24

16、00的長軸和短軸的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)例例1 1、已知橢圓方程為、已知橢圓方程為16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400，則，則它的長軸長是它的長軸長是： ；短軸長是短軸長是： ；焦距是焦距是： ；離心率等于離心率等于： ；焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是： ；頂點坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)是： ； 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： ； 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80解題步驟：解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求a、b：1162522yx2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位

17、置. 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) a=6, e= , (1) a=6, e= , 焦點在焦點在x x軸上軸上(2) (2) 離心率離心率 e=0.8, e=0.8, 焦距為焦距為8 8(3) (3) 長軸是短軸的長軸是短軸的2 2倍倍, , 且過點且過點P(2,-6)P(2,-6)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時, 應(yīng)應(yīng): 先定位先定位(焦點焦點), 再定量（再定量（a、b）當(dāng)焦點位置不確定時，要討論，此時有兩個解！當(dāng)焦點位置不確定時，要討論，此時有兩個解！311323622yx192519252222xyyx或11352y137y1482222x

18、x或講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.，軸上，設(shè)橢圓方程為軸上，設(shè)橢圓方程為若焦點在若焦點在)0( 1:2222 babyaxx解：解：講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 1116222baba，軸上，設(shè)橢圓方程為軸上，設(shè)橢圓方程為若焦點在若焦點在)0(

19、 1:2222 babyaxx依題意有：依題意有：解：解：講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 552ba得：得： 1116222baba，軸上，設(shè)橢圓方程為軸上，設(shè)橢圓方程為若焦點在若焦點在)0( 1:2222 babyaxx依題意有：依題意有：解：解：講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 552ba得：得： 1116222baba，軸上，設(shè)橢圓方程為軸上，設(shè)橢圓方程為若焦點在若焦點在)0(

20、 1:2222 babyaxx依題意有：依題意有：解：解：. 1520:22 yx故橢圓方程為故橢圓方程為講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：解：軸上，軸上，若焦點在若焦點在y講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：解：軸上，軸上，若焦點在若焦點在y同理求得橢圓方程為：同理求得橢圓方程為：講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：解：軸上，軸上，若焦點在若焦點在y同理求得橢圓方程為：同理求得橢圓方程為：. 16546522 xy講授新課講授新課練習(xí)練習(xí) 求求經(jīng)過點經(jīng)過點P (4, 1)，且長軸長是短軸，且長軸長是短軸長的長的2倍的倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：解：軸上，軸上，若焦點在若焦點