常系數(shù)線性微分方程的解法

1、第四章第四章 高階線性微分方程高階線性微分方程Higher-Order Linear ODE1 12022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人 4.2 常系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)線性微分方程的解法解法 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE3 3 4.1 4.1內(nèi)容內(nèi)容回顧回顧 ).()()()()()(24 0111xtaxtaxtaxnnnn解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。方程方程(4.2)(4.2)的一組的一組n n個線性無關解稱為它的一個個線性無關解稱為它的一個基本基本解組解組。n 階齊次線性方程的所有解構(gòu)成一個階齊次

2、線性方程的所有解構(gòu)成一個 n 維線性空間。維線性空間。 4.1 4.1General Theory of General Theory of Higher-Order Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人4本節(jié)要求本節(jié)要求/ /Requirements/Requirements/ 熟練掌握常系數(shù)齊次線性方程的求解方法熟練掌握常系數(shù)齊次線性方程的求解方法 熟練掌握常系數(shù)熟練掌握常系數(shù)非齊次線性方程非齊次線性方程的求解方法的求解方法 熟練掌握歐拉方程的求解方法熟練掌握歐拉方程的求解方法2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人5 5非齊線性方程的通解等于對

3、應齊次方程的非齊線性方程的通解等于對應齊次方程的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)通解與自身的一個特解之和。通解與自身的一個特解之和。齊線性方程的通解可由其基本解組線性表示。齊線性方程的通解可由其基本解組線性表示。非齊線性方程非齊線性方程齊線性方程齊線性方程非齊線性方程通解非齊線性方程通解特解特解基解組基解組表示表示關鍵關鍵常數(shù)變易法 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人64.2.1 4.2.1 復值函數(shù)與復值解復值函數(shù)與復值解/ /Complex Function and Complex Solu

4、tion/Complex Function and Complex Solution/一一 定義定義 , )()()(，battittz , )()(上的實函數(shù)。是定義在，batt極限極限 , )(lim)(lim)(lim0000，battittztttttt 連續(xù)連續(xù) , )()(lim000，battztztt 導數(shù)導數(shù) 0000000ttttitttttttztztt)()(lim)()(lim)()(lim )( )()(lim0000000 dtdidtddtdztztttztztttttttt 4.2 Solving Method of Constant Coefficients

5、 Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人7 7易驗證易驗證dttdzdttdztztzdtd)()()()(2121 dttdzctczdtd)()(11 dttdztztzdttdztztzdtd)()()()()()(212121 如如 , 21 )()()(，bat, jtittzjjj )()()()()()(221121tittitdtdtztzdtd )()()()(ttittdtd2121)()()()(ttdtdittdtd2121)()(2211dtdidtddtdidtd dttdzdttdz)()(21 4.2 Solving Method

6、 of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人8 8二二 關于關于kte，共軛復數(shù) ik 定義定義titee )sin(costitet tiktee)( tie)()sin(costitet titetisincos titetisincos ik 表示表示為實變量。，為實數(shù)tik , tiktee)( tie)( )sin(costitet )sin(costitet kte 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重

7、慶科技學院-李可人9 9kte的性質(zhì)的性質(zhì)tkke)(21 tke1 tke2 1）ktktkedtde 2）ktnnktnekdted 3）結(jié)論結(jié)論l實變量的復值函數(shù)的求導公式與實變量的實值函實變量的復值函數(shù)的求導公式與實變量的實值函 數(shù)的求導公式一致。數(shù)的求導公式一致。l實變量的復指數(shù)函數(shù)的求導公式與實變量的實指實變量的復指數(shù)函數(shù)的求導公式與實變量的實指 數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一致。數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一致。 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人1010三三 線性方程的復值解線性方程的復

8、值解/Complex Solution of Linear Higher-Order ODE如果定義在如果定義在 ,ba上的實變量的復值函數(shù)上的實變量的復值函數(shù))(tzx 滿足方程滿足方程).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(tzx 為方程的一個復值解。為方程的一個復值解。則稱則稱如果方程如果方程4.2中所有系數(shù)中所有系數(shù)),)(nitai21都是實值函數(shù)，而都是實值函數(shù)，而)()()(tittzx是方程的復數(shù)解，是方程的復數(shù)解，)(tz的實部的實部)(t，虛部，虛部)(t和共軛復數(shù)函數(shù)和共軛復數(shù)函數(shù))(tz也是方程也是方程4.2的解。的

9、解。 定理定理8 8)2 . 4( 0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn則則 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人11定理定理9 9 若方程若方程)()()()()(1111tivtuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 有復數(shù)解有復數(shù)解)()(tiVtUx,這里這里),.,)(nitai21及及)(tv都是實函數(shù)。那么這個解的實部都是實函數(shù)。那么這個解的實部)(tu和虛部和虛部)(tV分別是方分別是方程程)()()()(1

10、111tuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 和和)()()()(1111tvxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 的解。的解。)(tU 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人124.2.2 常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/01111 xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn.(4.19

11、)naaa,.,21為常數(shù)。為常數(shù)。其中其中為了求方程為了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解組。的通解，只需求出它的基本解組。 n 階常系數(shù)齊次線性方程階常系數(shù)齊次線性方程tex 0111 tntntntnteaeaeaeeL0111 nnnnaaa )(F.(4.21)te0)( F滿足滿足tetex 結(jié)論：結(jié)論：tex 是方程是方程(4.19)的解的充要條件的解的充要條件滿足滿足0)( F特征方程特征方程特征根特征根)(FeeLtt 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學

12、院-李可人13下面根據(jù)特征根的不同情況分別進行討論。下面根據(jù)特征根的不同情況分別進行討論。 1)1)特征根為單根的情況特征根為單根的情況n,21是特征方程（是特征方程（4.214.21）的）的n個互不相等的根，個互不相等的根，tttneee,21 設設則相應的方程（則相應的方程（4.19）有如下）有如下n個解個解這這n個解在區(qū)間個解在區(qū)間t的基本解組。事實上，的基本解組。事實上，上線性無關，從而組成方程上線性無關，從而組成方程0111 nnnnaaa )(F 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程

13、-重慶科技學院-李可人1414tnntntntntttttnnneeeeeeeeetW1121121.)(2121211121121)(.1.1121 nnnnntne0 tttneee,21 是方程的基本解組。是方程的基本解組。方程方程4.19的通解可表示為的通解可表示為tnttnecececx 2121范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式ji)(ji 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人15如果特征方程有復根，則因方程的系數(shù)是實常數(shù)。復根將成如果特征方程有

14、復根，則因方程的系數(shù)是實常數(shù)。復根將成i1對共軛的出現(xiàn)，設對共軛的出現(xiàn)，設i 2方程的一個特征根方程的一個特征根也是一個特征根也是一個特征根則方程（則方程（4.19）有兩個復值解）有兩個復值解tie )( )sin(cos titet tie )( )sin(cos titet 對應兩個實值解對應兩個實值解tetettsin ,cos 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人1616例例1求方程求方程044 xdtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根01)(

15、4 Fi 4, 32, 1 , 1第二步：求出基本解組第二步：求出基本解組, ,ttee tt sin ,cos第三步：寫出通解第三步：寫出通解tctceectxttsincos c)(4321 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人1717例例2求方程求方程033 xdtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根01)(3 F2321 , 13 ,21i 第二步：求出基本解組第二步：求出基本解組,te tetett2323sin ,cos2121第三步：寫出通

16、解第三步：寫出通解tectecectxttt2332321sin cos )(2121 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人18182) 2) 特征根有重根的情況特征根有重根的情況m,21是特征方程是特征方程（4.21）的的m個互不相等的根。個互不相等的根。設設01111 xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn.(4.19)0111 nnnnaaa )(F.(4.21)mkkk,21重數(shù)重數(shù)1 ,21 imknkkkI.設設01 是是 k1 重特征根重特征根011

17、11 kknnnaa0111 knnnaaa0111111 kkknnnnndtxdadtxdadtxd01 kna 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人1919顯然顯然121, 1 kttt是方程的是方程的 k1 個線性無關的解，個線性無關的解，方程方程(4.19)有有 k1 重零特征根重零特征根方程恰有方程恰有 k1 個線性無關的解個線性無關的解121, 1 ktttII.設設01 是是 k1 重特征根重特征根令令tyex 1 01111 xadtdxadtxdadtx

18、dxLnnnnnn0111111 kkknnnnndtxdadtxdadtxd.(4.19) 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人20200)(1)2(2) 1(1)(1 ybybybybyennnnnt.(4.23)特征方程特征方程)24. 4(0)(111 nnnnbbbG 1tyeL01)2(2)1(1)(1 ybybybybyyLnnnnn 1tyeL11yLettmtmtmtmmtmyeeymmemyeyyex111111)2(21)1(1)()()(! 2) 1

19、()( 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2121)()(1GF (4.19)的的 k1重特征根重特征根1(4.23)的的 k1 重特征根零重特征根零11, 2 , 1 ,)()(kjddGddFjjjj teF)(11)( )(1teL 1 tteeL 11tteLe )()(1Get 1tyeL11yLet121 011kjFj,)()( 011,)()(kF 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE

20、2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2222方程方程(4.23)恰有恰有 k1 個線性無關的解個線性無關的解121, 1 kttt由由tyex 1 方程方程(4.19)恰有恰有 k1 個線性無關的解個線性無關的解tktttetettee1111112, 類似地類似地11ktktttetettee1111112, 22ktktttetettee2222212, mmktktttmmmmmetettee12, 1 ,21 imknkkk基本解組基本解組(4.26) 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5

21、-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2323證明證明 假若這些函數(shù)線性相關，則存在不全為零的數(shù)假若這些函數(shù)線性相關，則存在不全為零的數(shù) 使得使得)(rjA tkketAtAA111)(1)1(1)1(1)1(0 tkketAtAA222)(1)2(1)2(1)2(00)(1)(1)(1)(0 tkmkmmmmmetAtAA0)()()(2121 tmttmetPetPetP(4.27)假定多項式假定多項式)(tPm至少有一個系數(shù)不為零，則至少有一個系數(shù)不為零，則)(tPm不恒為零，不恒為零，0)()()()()(21112 tmtmetPetPtP微分微分 k1 次次 4.2 Solving

22、 Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2424)()(11)(ktrretP trkrkrrkrretPtPktP)(1)1(11)(111)()()()()( trretQ)(1)( )(tQm0)()()()(2112 tmtmetQetQ)()(tPtQmm )()(tPtQrr 不恒為零，不恒為零，0)()(1 tmmmetR)()(tPtRmm )(tRm不恒為零，不恒為零，0)(1 tmme矛盾！矛盾！中函數(shù)線性無關，其構(gòu)成的解本解組。中函數(shù)線性無關，其構(gòu)成的解本解組。(4.26) 4

23、.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2525i1i 2方程的一個方程的一個 重特征根重特征根也是一個也是一個 重特征根重特征根kk它們對應它們對應2 個線性無關的實解是個線性無關的實解是k ,cos, ,cos ,cos 1 tetttetetktt ,sin, ,sin ,sin 1 tetttetetktt 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2626

24、例例3求方程求方程0332233 xdtdxdtxddtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根0133)(23 F , 13 ,2, 1 第二步：求出基本解組第二步：求出基本解組,te第三步：寫出通解第三步：寫出通解tttetctecectx2321 )( ,tte,2tet 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2727例例4求方程求方程022244 xdtxddtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根012)(24 Fi 2, 1第二步

25、：求出基本解組第二步：求出基本解組,sin ,sin ,cos ,costttttt第三步：寫出通解第三步：寫出通解二重根二重根ttctcttctctxsin sin cos cos)(4321 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2828可化為常系數(shù)線性方程的方程可化為常系數(shù)線性方程的方程-歐拉歐拉(Euler) 方程方程 ).()(294 11111xfyadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn naaa,.,21為常數(shù)。為常數(shù)。其中其中引入自變量代換引入自

26、變量代換tex tx lndtedxt dtdyedxdtdtdydxdyt dtdyx 1 )(22dtdyedxddxydtdxdtdtydedtdyett)(22)(222dtdydtydet )(1222dtdydtydx 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人2929假設假設自然數(shù)自然數(shù) m 有以下關系式成立，有以下關系式成立，)(11111dtdydtyddtydxdxydmmmmmmmm )(1111111dtdydtyddtydxdxddxydmmmmmmmm

27、 dxdtdtdydtyddtydedtdmmmmmmt )(1111tmmmmmmtmmmmmmtedtdydtyddtyddtdedtdydtyddtydme)()(11111111 )(11111dtdydtyddtydxmmmmmm 為常數(shù)121, m 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人3030對一切自然數(shù)對一切自然數(shù) m 均有以下關系是成立，均有以下關系是成立，)(11111dtdydtyddtydxdxydmmmmmmmm 原方程原方程).()(304 111

28、1tnnnnnnefybdtdybdtydbdtyd 可化為常系數(shù)線性方程可化為常系數(shù)線性方程 ).()(294 11111xfyadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn tex 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人3131歐拉方程歐拉方程tex 常系數(shù)線性方程常系數(shù)線性方程tkey kxy 0)( kF0)( kF確定確定求解歐拉方程的過程求解歐拉方程的過程011111 yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn設設kxy 是歐拉方程的解是歐拉方程

29、的解011112knknknkxakxaxkkaxnkkk)()()( 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人32320211111 knnxakankkankkk)()()()(0)2() 1() 1() 1(11 nnakankkkankkk )(kFnnakankkkankkk 11)2() 1() 1() 1(解齊次歐拉方程的步驟解齊次歐拉方程的步驟第一步：寫出特征方程，并求特征根第一步：寫出特征方程，并求特征根第二步：求出的基本解組第二步：求出的基本解組先求出變換以

30、后方程的基本解先求出變換以后方程的基本解組組再求出原方程的基本解組再求出原方程的基本解組第三步：寫出原方程的通解第三步：寫出原方程的通解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人3333例例5求方程求方程0222 ydxdyxdxydx的通解。的通解。解解01) 1()( kkkkF , 12, 1 k,te第三步：寫出通解第三步：寫出通解tte第一步：寫出特征方程，并求特征根第一步：寫出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解組第二步：求出基本解組tex xxxln ,xxcx

31、cxyln)(21 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人3434例例6求方程求方程053222 ydxdyxdxydx的通解。的通解。解解053) 1()( kkkkF 212, 1ik tetett2sin ,2cos 第三步：寫出通解第三步：寫出通解第一步：寫出特征方程，并求特征根第一步：寫出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解組第二步：求出基本解組tex 0522 kkxxxxln2sin1 ,ln2cos1)ln2sinln2cos(1)(21xcxcxxy 4.

32、2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-21常微分方程-重慶科技學院-李可人xLdtdD nnnnaDaDaDL111), 2 , 1(niai)(tf令令L L 為線性微分算子。為線性微分算子。為常數(shù)，為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)。為連續(xù)函數(shù)。).()(3241111tfxadtdxadtxdadtxdnnnnnn 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE4.2.3比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法/ Comparison Coeffici

33、ents Method And Laplace Transform /2022-5-213535常微分方程-重慶科技學院-李可人0 xL0)(11nnnaaF基本解組或通解基本解組或通解)(tfxL常數(shù)變易法常數(shù)變易法特解特解相相加加比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-213636常微分方程-重慶科技學院-李可人tmmmmebtbtbtbtf 1110)()(mbbb,10（一）比較系數(shù)法（一）比較系數(shù)法/Comparison Coefficients M

34、ethod/類型類型/Type One/其中其中為確定的實常數(shù)。為確定的實常數(shù)。 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE結(jié)論結(jié)論方程方程 (4.32) 有一特解為以下形式有一特解為以下形式tmmmmkeBtBtBtBtx 1110)(其中其中mBBB,10為待定系數(shù)，為待定系數(shù)，k對應的特征方程對應的特征方程 來決定，來決定，由由(4.32)0)(F是特征根時，是特征根時，k為為 的重數(shù)，的重數(shù)，不是特征根時，不是特征根時，0k2022-5-213737常微分方程-重慶科技學院-李可人texdtdxdtxd3222ttAte

35、Aetx 032213,tetxdtdxdtxd)(132222022 ()()ttxtAtBtC eAtBtC e 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-213838常微分方程-重慶科技學院-李可人即證明即證明 能由已知條件唯一確定。能由已知條件唯一確定。（1） 不是特征根不是特征根0mmmmbtbtbtbtf1110)(0)0(F0nammmmBtBtBtBx1110iB1）0要證明要證明(4.32)有解有解比較同次冪的系數(shù)，得比較同次冪的系數(shù)，得xL).()(3241111tfxadtdxadtxdadt

36、xdnnnnnn事實上，將其代入方程，事實上，將其代入方程， 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-213939常微分方程-重慶科技學院-李可人00bBan1011bmBaBann202112) 1() 1(bBmmaBmaBannnmmnmnmnbBaBaBa221120namBBB,10可唯一確定。可唯一確定。 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214040常微分方程-重慶科技學院-李可人其特征方程為其特征方程為 011

37、kknnnaa（2） 是是 k 重特征根重特征根0也就是也就是011knnnaaa0kna原方程為原方程為)(111tfdtxdadtxdadtxdkkknnnnn令令zdtxdkk)(mmmmkBtBtBtBtx1110 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214141常微分方程-重慶科技學院-李可人).()(364111tfzadtzdadtzdknknknknkn0kna對方程對方程(4.36) ，0不是不是 (4.36) 的特征根，的特征根，有如下形式的特解有如下形式的特解mmmmBtBtBtBz11

38、10mmmmkkBtBtBtBdtxd1110 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214242常微分方程-重慶科技學院-李可人 為確定的數(shù)。為確定的數(shù)。tBtmBtmBdtxdmmmkk111011)(110mmmktttxm,10 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214343常微分方程-重慶科技學院-李可人).()(3241111tPexadtdxadtxdadtxdmtnnnnnn).( 374 01111mmnn

39、nnnnbtbyAdtdyAdtydAdtyd為確定的常數(shù)。為確定的常數(shù)。nAAA,212 2）如果）如果0tyex 引入引入當當 是是(4.32) 的的 k 重特征根，重特征根，則則0就是就是 (4.37) 的的 k 重特征根重特征根 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214444常微分方程-重慶科技學院-李可人當當 不是不是(4.32) 對應齊次方程的特征根，對應齊次方程的特征根，則則 0 就不是就不是(4.37)的特征根。的特征根。利用利用1）的討論，）的討論，故故 (4.37)有形如以下的特解有形如

40、以下的特解mmmmBtBtBtBy1110tyex(4.32)有形如有形如)(mmmmtBtBtBtBex1110的特解的特解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214545常微分方程-重慶科技學院-李可人當當 是是(4.32) 的的 k 重特征根，重特征根，)(mmmmkBtBtBtBty1110(4.32)有特解為有特解為tmmmmkeBtBtBtBtx 1110)(則則0就是就是 (4.37) 的的 k 重特征根重特征根 4.2 Solving Method of Constant Coefficie

41、nts Linear ODE2022-5-214646常微分方程-重慶科技學院-李可人例例1 1 133222txdtdxdtxd解解1032213,通解通解ttecec3212用比較系數(shù)法求一特解用比較系數(shù)法求一特解0 0不是特征根，不是特征根， 則方程有形如則方程有形如 的特解的特解BAtx13)(32tBAtA13233BAA31, 1BA通解通解31321tececxtt求方程求方程的通解的通解.先求對應齊次方程的通解先求對應齊次方程的通解3 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214747常微分方程

42、-重慶科技學院-李可人texdtdxdtxd3222解解 13 1,ttececx3212-1-1是特征根，是特征根，ttAteAetx ttAteAextttttAteAeAteAeAex 2tttttteAteAteAeAteAe3)(2241Attex413通解通解tttteececx41321例例2 2求方程求方程的通解的通解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214848常微分方程-重慶科技學院-李可人)5(332233texdtdxdtxddtxdt解解101332313 , 2, 1tetct

43、cc)(23212設設teBAttx)(3241A65B3ttettetctccx)20(241)(32321例例3 3求方程求方程的通解的通解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-214949常微分方程-重慶科技學院-李可人例例4 4 求求 的通解的通解. .txx txt 642set lnst064) 1(kkk0652 kk3 221kk,06522dsdxdsxdsexdsdxdsxd6522原方程化為原方程化為 解解變換后，對應齊次方程的特征方程為變換后，對應齊次方程的特征方程為變換后，為常系數(shù)方

44、程變換后，為常系數(shù)方程ssecec3221 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODEssAeAesx0165AAAtexs212121A原方程的通解為原方程的通解為 ttctctx213221)(ssseececsx213221)(2022-5-215050常微分方程-重慶科技學院-李可人)()(tftfxL21若若)(tfxL1有特解有特解)(tx1)(tfxL2)(tx2有特解有特解則則)()(tftfxL21有特解有特解)()(txtx21 4.2 Solving Method of Constant Coefficie

45、nts Linear ODE2022-5-215151常微分方程-重慶科技學院-李可人練習練習222331td xdxxtedtdt 032213,特解特解BAt 311B,A311 tx特解特解 tAte41Attex412ttttetececx4131231 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-215252常微分方程-重慶科技學院-李可人類型類型/Type Two/Type Two/tettBttAtf sin)(cos)()(,)(),(tBtAtmtBtA)(),(max(其中其中為實數(shù)，為實數(shù)，是是

46、的實系數(shù)多項式的實系數(shù)多項式 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE方程方程(4.32)(4.32)有特解有特解tkettQttPtxsin)(cos)()(),(tQtPmk由由i決定決定當當i是特征方程是特征方程0)(F為重數(shù)為重數(shù)k是次數(shù)不高于是次數(shù)不高于的多項式，的多項式，的根時，的根時，0k當當i不是特征方程不是特征方程0)(F的根時，的根時，結(jié)論結(jié)論2022-5-215353常微分方程-重慶科技學院-李可人ttietite sincos)(ttietite sincos)(2 tititeete)()(cosie

47、etetitit2 )()(sin)()()(titieei21 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-215454常微分方程-重慶科技學院-李可人()()()()( )( )( )()22ititititeeB tf tA tieetettBttAtf sin)(cos)()(titietiBtAetiBtA)()()()()()(22)()(tftf21 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE顯然顯然)()()()()(_tfetiBtA

48、tfti212)(tfxL1)(tfxL2tiketDtx)()(1tiketDtx)()(221xxxtiktiketDtetDttx)()()()()(2022-5-215555常微分方程-重慶科技學院-李可人tiktiketDtetDttx)()()()()()()(tititketDetDet )sin)(cos()sin)(cos(tittDtittDettk 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE)sin)(cos)(ttQttPettk)sin)()(cos)()(ttDtDittDtDettk )sin)(c

49、os()sin)(cos(tittDtittDettk )(),(tQtPm是次數(shù)不高于是次數(shù)不高于的多項式。的多項式。2022-5-215656常微分方程-重慶科技學院-李可人例例5 5 求方程求方程 的通解的通解 txdtdxdtxd2cos44220442221,tetcc221)(tBtAx2sin2cos04841484BABABA81 0BA,tx2sin81tetcctxt2sin81)()(221設方程的特解形如：設方程的特解形如：解解齊次方程的通解齊次方程的通解為為原方程的通解為原方程的通解為 4.2 Solving Method of Constant Coefficien

50、ts Linear ODE2022-5-215757常微分方程-重慶科技學院-李可人練習練習2244cos22sind xdxxttdtdt解解2244cos2d xdxxtdtdt的特解的特解. .22442sind xdxxtdtdt試求方程 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-5-215858常微分方程-重慶科技學院-李可人若若0dttfest）（）（sF0dttfest）（)( tf), 0)(tf)()(sFtfL（二（二 ）拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 /Laplace Transform /附錄附錄

51、1拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換定義/Definition of Laplace Transform/ 對于在對于在上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于已給的一些對于已給的一些 （一般為復數(shù)）存在，則稱（一般為復數(shù)）存在，則稱s為函數(shù)為函數(shù)的拉普拉斯變換，記為的拉普拉斯變換，記為TstTdttfe0）（lim2022-5-215959常微分方程-重慶科技學院-李可人f (t)稱為稱為Laplace Transform 的原函數(shù)，的原函數(shù)，F(xiàn)(s)稱為稱為f (t)的的象函數(shù)象函數(shù). 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法存在性存在性/E Existence of Laplace Tra

52、nsform/ 是分段連續(xù)的是分段連續(xù)的, 并且并且 常數(shù)常數(shù))(tf0t0M00ttMetf )(sRe)(tf假若函數(shù)假若函數(shù)在在的每一個有限區(qū)間上的每一個有限區(qū)間上使對于所有的使對于所有的都有都有成立成立則當則當時時,的的Laplace Transform是存在的。是存在的。1 Definition of Laplace Transform 2022-5-216060常微分方程-重慶科技學院-李可人1)(tf)(0 t01dtest 例例1 limsessTT11s10sRe)(Re0 11ssL當當即即limTstTes011 Definition of Laplace Transfo

53、rm 2022-5-216161常微分方程-重慶科技學院-李可人例例2 ( 是給定的實數(shù)或復數(shù)是給定的實數(shù)或復數(shù) ) ztetf)(zzteL0dteeztst)0)(Re( zs)Re(Rezs 0dtetzs)(zs1zteLzs11 Definition of Laplace Transform 2022-5-216262常微分方程-重慶科技學院-李可人拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)/ Properties of Laplace Transform/ )(),(tgtf)()()()(tgLtfLtgtfL1 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 如果如果是原函數(shù)是原函數(shù),和和是任意兩個常數(shù)是

54、任意兩個常數(shù)(可以是復數(shù)可以是復數(shù))，則有，則有左左=0dttgtfest)()(00dttgedttfestst)()()()(tgLtfL右右2 Properties of Laplace Transform 2022-5-216363常微分方程-重慶科技學院-李可人顯然，若顯然，若 為實函數(shù)，為實函數(shù)，vutivtutf,),()()( )()()(tviLtuLtfLs)(tfL000)()()(dttveidttuedttfeststst)( tvL)()(tviLtuL)(ImtfL例例1 如果原函數(shù)為如果原函數(shù)為為實函數(shù)，則為實函數(shù)，則則則)( tuL)(RetfL2 Prope

55、rties of Laplace Transform 2022-5-216464常微分方程-重慶科技學院-李可人00dtedteetwisiwtst)(12sstLcos112stLsin22wsswtLcos22wswwtLsin)(0 1siws2222wswiwsssincoswtiLwtLiwteLwtiwtetfiwtsincos)(2 Properties of Laplace Transform 2022-5-216565常微分方程-重慶科技學院-李可人2 原函數(shù)的微分性質(zhì)原函數(shù)的微分性質(zhì))(,),(),()(tftftfn )(tfL)()(0ftfsL)()(tfLn)(tf

56、Lsn)(01fsn)()()(0012nnffs)()(tfk0t)0()(kf( )0lim( )kTfT如果如果都是原函數(shù)，則有都是原函數(shù)，則有或或如果如果在在處不連續(xù)，則處不連續(xù)，則理解為理解為2 Properties of Laplace Transform 2022-5-216666常微分方程-重慶科技學院-李可人 )(tfL)(limtdfestTT0證證0)( dttfestTstTstTdttfestfe00)()(lim)()(0ftfsL)(Re0s)()(tfLn 1)()(tfLsn 1)()()()(000232nnnffsfs假定假定成立成立2 Propertie

57、s of Laplace Transform 2022-5-216767常微分方程-重慶科技學院-李可人)()(tfLn)()(tfsLn 1)()(01nf)()()()()()()(00 001221nnnnnfsffsfstfLs證畢證畢3 象函數(shù)的微分性質(zhì)象函數(shù)的微分性質(zhì))()(tfLsF0)()(dttftesFst0)()() 1()(dttfetsFstnnn)()()(tfLdsdtftLnnnn12 Properties of Laplace Transform 2022-5-216868常微分方程-重慶科技學院-李可人)()()(tfLdsdtftLnnnn1 另外，另外，令令1)(tf)(Re!)()(0 111ssnsdsdtLnnnnn拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 /Inverse of Laplace Transform /已知象函數(shù)，求原函數(shù)已知象函數(shù)，求原函數(shù))()(tfsFL1也具有線性性質(zhì)也具有線性性質(zhì))()(sFcsFcL22111)()(sFLcsFLc2121112022-5-216969常微分方程-重慶科技學院-李可人)()(sFcsFcL22111)()(0220111dttfecdttfecLstst)()(dt