時等差數列前n項和的性質實用教案

1、 1進一步了解等差數列的定義，通項公式以及前n項和公式 2理解等差數列的性質，等差數列前n項和公式的性質應用 3掌握(zhngw)等差數列前n項和之比問題，以及實際應用第1頁/共53頁第一頁，共53頁。 1對等差數列(dn ch sh li)的通項公式、前n項和公式的考查是本課時的熱點 2常與函數、不等式結合命題 3多以選擇題和解答題的形式考查. 第2頁/共53頁第二頁，共53頁。第3頁/共53頁第三頁，共53頁。第4頁/共53頁第四頁，共53頁。 3若等差數列an的通項公式為an2n3(nN且n10)，則a1a3a5a7a935，a2a4a6a8a1045，結合等差數列的性質和前n項和公式，

2、上面的問題可以(ky)有多種求法，若記S奇a1a3a5a7a9，S偶a2a4a6a8a10，則 S奇可以(ky)看作首項為a11，公差為4的等差數列的5項和：S偶則可看作首項為a21，公差為4的等差數列的5項和；第5頁/共53頁第五頁，共53頁。 (1)當d0，a10時，Sn ，它是n的 函數(hnsh)na1一次第6頁/共53頁第六頁，共53頁。第7頁/共53頁第七頁，共53頁。 2等差數列的前n項和的性質(xngzh) 設an是公差為d的等差數列，則 ( 1 ) S m ， S 2 m S m ， S 3 m S 2 m ， ， 也 成 等 差 數 列 ， 公 差 為 . (2)若等差數列

3、的項數為2n，則S偶S奇 ，S奇/S偶.m2dndan/an1第8頁/共53頁第八頁，共53頁。 1數列an的前n項和Sn2n2n(nN)，則數列an為 () A首項(shu xin)為1，公差為2的等差數列 B首項(shu xin)為3，公差為2的等差數列 C首項(shu xin)為3，公差為4的等差數列 D首項(shu xin)為5，公差為3的等差數列第9頁/共53頁第九頁，共53頁。 答案(d n)：C第10頁/共53頁第十頁，共53頁。 2已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差(gngch)為() A5B4 C3 D2 解析：因為項數為偶數， 所以S偶

4、S奇5d15，d3. 答案：C第11頁/共53頁第十一頁，共53頁。 3在等差數列(dn ch sh li)an中，若S22，S44，則a5a6_. 解析：由于S2，S4S2，S6S4也成等差數列(dn ch sh li)，且S22，S4S22，故S6S42，即a5a62. 答案：2 4設等差數列(dn ch sh li)an的前n項和為Sn.若S972，則a2a4a9_. 解析：由等差數列(dn ch sh li)的性質S99a572，a58，a2a4a9a1a5a93a524，故填24. 答案：24第12頁/共53頁第十二頁，共53頁。第13頁/共53頁第十三頁，共53頁。第14頁/共53

5、頁第十四頁，共53頁。一個(y )等差數列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和本題既可以按照基本方法先求首項和公差，寫出前n項和公式來求解(qi ji)，也可以利用等差數列的前n項和性質進行求解(qi ji)第15頁/共53頁第十五頁，共53頁。第16頁/共53頁第十六頁，共53頁。第17頁/共53頁第十七頁，共53頁。第18頁/共53頁第十八頁，共53頁。第19頁/共53頁第十九頁，共53頁。第20頁/共53頁第二十頁，共53頁。 題后感悟本題解法較為靈活，方法一、二建立方程(組)計算屬于通性通法方法三、四、五直接應用性質簡捷(jinji)明快，起到事半功倍的效果

6、第21頁/共53頁第二十一頁，共53頁。 1(1)已知數列(shli)an是等差數列(shli)，前四項和為21，末四項和為67，且各項和為286，求項數 (2)已知等差數列(shli)an的前n項和為Sn，若Sm1，S3m4，試求S6m.第22頁/共53頁第二十二頁，共53頁。第23頁/共53頁第二十三頁，共53頁。已知數列an為等差數列(dn ch sh li)，其前12項和354，在前12項中，偶數項之和與奇數項之和的比為32 27，求這個數列的通項公式利用等差數列前n項和公式列方程組求解(qi ji)或根據等差數列的奇數項依次成等差數列，偶數項依次成等差數列求解(qi ji) 第24頁

7、/共53頁第二十四頁，共53頁。 解題過程方法一：由等差數列的性質可知奇數(j sh)項a1，a3，a5，a11與偶數項a2，a4，a6，a12仍然成等差數列， 設an的首項為a1，公差為d，則第25頁/共53頁第二十五頁，共53頁。a12， ana1(n1)d5n3. 第26頁/共53頁第二十六頁，共53頁。 題后感悟等差數列(dn ch sh li)an中，a1，a3，a5，是首項為a1，公差為2d的等差數列(dn ch sh li)，a2，a4，a6，是首項為a2，公差為2d的等差數列(dn ch sh li)當項數為2n時，S偶S奇nd，方法二中運用到了這些性質. 第27頁/共53頁第

8、二十七頁，共53頁。第28頁/共53頁第二十八頁，共53頁。第29頁/共53頁第二十九頁，共53頁。 第30頁/共53頁第三十頁，共53頁。 策略(cl)點睛 第31頁/共53頁第三十一頁，共53頁。第32頁/共53頁第三十二頁，共53頁。第33頁/共53頁第三十三頁，共53頁。第34頁/共53頁第三十四頁，共53頁。 題后感悟方法一、二對條件和等差數列的性質及基本關系應用比較充分，從而方法比較簡單，運算量較小，而方法三雖然稍顯煩瑣，但這是求有關(yugun)比值問題的基本方法，即分子、分母用相同的參數表示出來，約去參數得到比值 第35頁/共53頁第三十五頁，共53頁。第36頁/共53頁第三十

9、六頁，共53頁。第37頁/共53頁第三十七頁，共53頁。第38頁/共53頁第三十八頁，共53頁。第39頁/共53頁第三十九頁，共53頁。 一個水池有若干出水量相同的水龍頭如果所有水龍頭同時放水，那么24 min可注滿水池如果開始時全部放開，以后每隔相等(xingdng)的時間關閉一個水龍頭，到最后一個水龍頭關閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時間的5倍，問最后關閉的這個水龍頭放水多長時間？本題可用等差數列(dn ch sh li)前n項和知識建立方程求解第40頁/共53頁第四十頁，共53頁。解題過程設共有n個水龍頭，每個水龍頭放水(fn shu)時間從小到大

10、依次為x1，x2，xn.由已知可知x2x1x3x2xnxn1，數列xn成等差數列，第41頁/共53頁第四十一頁，共53頁。 x1xn48. 又xn5x1， 6x148， x18(min)， xn40(min)， 故最后(zuhu)關閉的水龍頭放水40 min.第42頁/共53頁第四十二頁，共53頁。 題后感悟解決實際問題首先要審清題意，明確條件與問題之間的數量(shling)關系，然后建立相應的數學模型，通過解答數學問題實現實際問題的解決常用的數學模型有函數、方程、不等式、數列、概念統(tǒng)計等本題就是建立了等差數列的前n項和這一數學模型，以方程為工具解決問題的 第43頁/共53頁第四十三頁，共53

11、頁。 4從4月1日開始，有一新款(xn kun)服裝投入某商場銷售.4月1日該款服裝售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件數分別遞增15件，直到4月12號日銷售量達到最大，然后，每天售出的件數分別遞減10件 (1)記從4月1日起該款服裝日銷售量為an，銷售天數為n，1n30，求an與n的關系； (2)求4月份該款服裝的總銷售量； (3)按規(guī)律，當該商場銷售此服裝超過1 200件時，社會上就開始流行，當此服裝的銷售量連續(xù)下降，且日銷售量低于100件時，則此服裝在社會上不再流行試問：該款服裝在社會上流行是否超過10天？說明理由第44頁/共53頁第四十四頁，共53頁。 解析：(1)設從4月1日起該款服裝的日銷售量構成數列an 由題意(t y)知，數列a1，a2，a12是首項為10，公差為15的等差數列， an15n5(1n12且nN) 而a13，a14，a15，a30是首項為a13a1210165， 公差為10的等差數列， an165(n13)(10) 10n295(13n30且nN)第45頁/共53頁第四十五頁，共53頁。第46頁/共53