函數(shù)的連續(xù)與間斷閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的連續(xù)與間斷閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性函數(shù)的連續(xù)與間斷閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 00 xxx 0第1頁/共39頁2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第2頁/共39頁第3頁/共39頁可見可見 , 函數(shù)函數(shù)在點在點必需具備下列條必需具備下列條件件:(1) 在在點

2、點 有定義有定義 , 即即 存在存在 ;(2) 極極限限(3)連續(xù)連續(xù),存在存在 ;第4頁/共39頁有函數(shù)的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)當(dāng)當(dāng)時時, 有有函數(shù)函數(shù) 在點在點 連續(xù)有下列等價命題連續(xù)有下列等價命題:第5頁/共39頁continue若若在在某區(qū)間上每一點都連續(xù)某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該則稱它在該區(qū)間上連續(xù)區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該或稱它為該區(qū)間上的區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) .例如例如,在在上上連續(xù)連續(xù) .( 有理整函數(shù)有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)只要只要都有都有在其在其定義域內(nèi)連續(xù)定義域內(nèi)連續(xù) .在在閉區(qū)間閉區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)的集合記作上的

3、連續(xù)函數(shù)的集合記作第6頁/共39頁在在內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù) .證證: 0即即這這說明說明在在內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù) .同樣可證同樣可證: 函數(shù)函數(shù)在在內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù) .第7頁/共39頁(1) 函數(shù)函數(shù)(2) 函數(shù)函數(shù)不不存存在在;(3) 函函數(shù)數(shù)存在存在 ,但但 不連續(xù)不連續(xù) :設(shè)設(shè)在點在點 的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列則下列這樣的點這樣的點情形之一函數(shù)情形之一函數(shù) f (x) 在點在點在在雖有定義雖有定義 , 但但在在雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點間斷點 . 在在無定義無定義 ;第8頁/共39頁第一類間斷點第一類間斷點:及及均存在均存在 ,若若稱稱 為為可去間斷點可去間斷點 .

4、若若稱稱 為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .第二類間斷點第二類間斷點:及及中至少一個不存在中至少一個不存在 ,稱稱 為為無窮間斷點無窮間斷點 .若若其中有一個為振蕩其中有一個為振蕩 , 稱稱 為為振蕩間斷點振蕩間斷點 .若若其中有一個為其中有一個為第9頁/共39頁例如例如: (1)為其為其無窮間斷點無窮間斷點 .為其為其振蕩間斷點振蕩間斷點 .(2)為為可去間斷點可去間斷點 .(3)xy11第10頁/共39頁顯然顯然為其為其可去間斷點可去間斷點 .(4)(5) 為為其跳躍間斷點其跳躍間斷點 .第11頁/共39頁1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算法則連續(xù)函數(shù)的四則運算法則定理定理1 1. .在某點連續(xù)的在某點連

5、續(xù)的有限個有限個函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和, ,差差( 利用極限的四則運算法則證明利用極限的四則運算法則證明 )連續(xù)連續(xù) 在其在其定義域內(nèi)連續(xù)定義域內(nèi)連續(xù)定理定理2. 連續(xù)連續(xù)單調(diào)遞增單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)調(diào)例如例如,在在上上連續(xù)單調(diào)遞增，連續(xù)單調(diào)遞增，其其反函數(shù)反函數(shù)積積,商商(分母不為分母不為 0) 運算運算, 結(jié)果仍是一個在該點連結(jié)果仍是一個在該點連(遞減遞減)( 遞減遞減)(證明略證明略)在在 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增遞增.2. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性續(xù)的函數(shù)續(xù)的函數(shù) .第12頁/共39頁在在上上連續(xù)連續(xù) 單調(diào)單調(diào)

6、遞遞增增,其其反函數(shù)反函數(shù)在在上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增 .證證: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在點點 連續(xù)連續(xù) , 且且函數(shù)函數(shù)在在點點 連續(xù)連續(xù) , 即即于是于是故故復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)在點在點 連續(xù)連續(xù) .第13頁/共39頁是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈因此因此在在上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,第14頁/共39頁基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函一切初等函數(shù)在數(shù)在定義區(qū)定義區(qū)間內(nèi)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,的的連續(xù)區(qū)間為連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù)端點為單側(cè)連續(xù))的的連續(xù)區(qū)間為連續(xù)

7、區(qū)間為而而的的定義域為定義域為因此它無連續(xù)點因此它無連續(xù)點第15頁/共39頁說明說明2.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;).()(lim. 100 xfxfxx 極極限限可可以以直直接接代代入入連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)點點處處求求例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解第16頁/共39頁解解: 原式原式例例3. 求求解解: 令令則則原式原式 =說明說明: 當(dāng)當(dāng)時時, 有有第17頁/共39頁解解:討論復(fù)合函討論復(fù)合函數(shù)數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性 .為初等函數(shù)為初等函數(shù) ,故此時連續(xù)故此時連

8、續(xù);而而故故x = 1為第一類間斷點為第一類間斷點 .時時在點在點 不連續(xù)不連續(xù) , 第18頁/共39頁一一. 連續(xù)與間斷的概念連續(xù)與間斷的概念1. 在點在點 連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)2.第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷第二類間斷點點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有左右極限至少有一個不存在一個不存在在點在點間斷的類型間斷的類型第19頁/共39頁基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)

9、連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.第20頁/共39頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_類間類間斷點；在斷點；在2 x是第是第_類間斷點類間斷點 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_類間類間斷點；在斷點；在1 x是第是第_類間斷點；在類間斷點；在1 x是第是第_類間斷點類間斷點 . .二、二、 研究函數(shù)研究函數(shù) 1, 11,)(xxxx

10、f的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù) 的圖形的圖形 . .練練 習(xí)習(xí) 題題第21頁/共39頁三、三、 指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點，并說明這些指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點，并說明這些間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)函數(shù)的定義使它連續(xù) . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 討論函數(shù)討論函數(shù) nnnxxxf2211lim)( 的連續(xù)性，若有間斷的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型點，判斷其類型 . .五、試確定五、試確

11、定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有無窮間斷點）有無窮間斷點0 x； （2 2）有可去間斷點）有可去間斷點1 x . .第22頁/共39頁一、一、1 1、一類、一類, ,二類；二類； 2 2、一類、一類, ,一類一類, ,二類二類. .二、二、,), 1()1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)與與在在 xf1 x為跳躍間為跳躍間 斷點斷點. .三、三、1 1、1 x為第一類間斷點；為第一類間斷點； 2 2、,2為可去間斷點為可去間斷點 kx )0( kkx為第二類間斷點為第二類間斷點. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,練習(xí)題答

12、練習(xí)題答案案第23頁/共39頁), 2, 1, 0(2, 02,tan)(2 kkxkkxxxxf. .四、四、 1,0, 01,)(xxxxxxf1 x和和1 x為第一類間斷點為第一類間斷點. .五、五、(1)(1); 1, 0 ba (2) (2)eba , 1. .第24頁/共39頁定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .abxyo).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定

13、理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.三三. .閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第25頁/共39頁xyo211xyo2 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界定在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf第26頁/共39頁定義定義: :.)(, 0)(000的零點的零點稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx .),(0)(內(nèi)至少存在

14、一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程baxf 第27頁/共39頁ab幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo第28頁/共39頁幾何解釋幾何解釋:MBCAmabxyo證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧

15、Cyxfy 第29頁/共39頁推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xxMm第30頁/共39頁例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbax

16、f使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第31頁/共39頁一一. 連續(xù)與間斷的概念連續(xù)與間斷的概念1. 在點在點 連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)2.第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷第二類間斷點點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有左右極限至少有一個不存在一個不存在在點在點間

17、斷的類型間斷的類型第32頁/共39頁基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.第33頁/共39頁四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;零點定理零點定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x)