D78常系數(shù)非齊次線性微分方程62917實用教案

1、1/25一、一、 為實數(shù)(shsh) ,設(shè)特解為其中 為待定多項式 , )(xQ代入原方程(fngchng) , 得 為 m 次多項式 .(1) 若 不是(b shi)特征方程的根, 則取從而得到特解形式為Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式第1頁/共21頁第一頁，共22頁。2/25(2) 若 是特征方程的單根 , 為m 次多項式,故特解形式(xngsh)為(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp是 m 次多項式,故特解形式(xngsh)為小結(jié)(xioji)對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)()2(xQp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解第2頁/共21頁第二頁，

2、共22頁。3/25例例1.的一個(y )特解.解: 本題(bnt)而特征方程為不是(b shi)特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為第3頁/共21頁第三頁，共22頁。4/25例例2. 的通解(tngji). 解: 本題(bnt)特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程(fngchng)的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程得所求通解為第4頁/共21頁第四頁，共22頁。5/25例例3. 求解求解(qi ji)定解問題定解問題解: 本題(bnt)特征方程為其根為設(shè)非齊次方程(fngchng)特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得第5頁

3、/共21頁第五頁，共22頁。6/25于是(ysh)所求解為解得第6頁/共21頁第六頁，共22頁。7/25二、二、第二步 求出如下(rxi)兩個方程的特解分析(fnx)思路:第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化(zhunhu)為第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特點xmxP)i(e)(第7頁/共21頁第七頁，共22頁。8/25第一步第一步利用歐拉公式(gngsh)將 f (x) 變形xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第8頁/共21頁第八頁，共22頁。9/25 第二步第二步 求如下求如下(rxi)兩方程兩方程的特解的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1)

4、, 故等式(dngsh)兩邊取共軛 :為方程(fngchng) 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( 設(shè)則 有特解:第9頁/共21頁第九頁，共22頁。10/25第三步第三步 求原方程求原方程(fngchng)的特解的特解 利用(lyng)第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :原方程(fngchng) 均為 m 次多項式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第10頁/共21頁第十頁，共22頁。11/25第四步第四步 分析分析(fnx)因均為 m 次實多項式 .11yyy本質(zhì)(bnzh)上為實函數(shù) ,11yy第11頁/共21頁第十一頁，共22頁。12/25小小 結(jié)結(jié):對非齊次方

5、程(fngchng)則可設(shè)特解:其中(qzhng) 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述結(jié)論(jiln)也可推廣到高階方程的情形.第12頁/共21頁第十二頁，共22頁。13/25例例4. 的一個(y )特解 .解: 本題(bnt) 特征方程故設(shè)特解為不是(b shi)特征方程的根,代入方程得比較系數(shù) , 得于是求得一個特解第13頁/共21頁第十三頁，共22頁。14/25例例5. 的通解(tngji). 解: 特征方程為其根為對應(yīng)(duyng)齊次方程的通解為比較(bjio)系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為第14頁/共21頁第十

6、四頁，共22頁。15/25例例6.解: (1) 特征方程有二重根所以(suy)設(shè)非齊次方程特解為(2) 特征方程有根利用疊加原理(yunl) , 可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程(fngchng)的特解形式:第15頁/共21頁第十五頁，共22頁。16/25內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié) 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為為特征方程的 k (0, 1 )重根, 則設(shè)特解為3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程(fngchng)的情形.第16頁/共21頁第十六頁，共22頁。17/25思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)時可設(shè)特解為 時可設(shè)特解為 lnm,max提示(tsh

7、):1 . (填空(tinkng) 設(shè)第17頁/共21頁第十七頁，共22頁。18/252. 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)的通解(tngji) (其中為實數(shù)(shsh) ) .解: 特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為xxCCy221e)(第18頁/共21頁第十八頁，共22頁。19/253. 已知二階常微分方程已知二階常微分方程(wi fn fn chn)有特解求微分方程(wi fn fn chn)的通解 .解: 將特解代入方程(fngchng)得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為第19頁/共21頁第十九頁，共22頁。20/25作業(yè)作業(yè)(zuy)P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3 ; 6習(xí)題課2 第九節(jié) 第20頁/共21頁第二十頁，共22頁。21/25感謝您的欣賞(xnshng)！第21頁/共21頁第二十一頁，共22頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)1/25。Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式。第1頁/共21頁。是 m 次多項式,。第2頁/共21頁。第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化為。利用(lyng)歐拉公式將 f (x) 變形。則 有。利用(lyng)第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理