D空間解析幾何與向量代數(shù)習題課實用教案

1、一、向量(xingling)的基本概念 1向量(xingling)的坐標: 2向量(xingling)的模: 方向余弦為: (,)xyzaaaa 設(shè)起點 和終點 ,則 ),(1111zyxM2222(,)Mxyz12212121(,)M Mxxyy zz 222xyzaaaa 3方向角：向量 與三個坐標軸正向的夾角 a , 222222222cos,cos,cosyzxxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa 1coscoscos222 向量代數(shù)第1頁/共50頁第一頁，共51頁。4單位向量： 0222(,)|xyzxyzaaaaaaaaa 5向量(xingling)的投影： Pr|cos(

2、, )aj bba b 二、向量(xingling)的運算 1線性運算(yn sun) （1） (,)xxyyzzabab ab ab （2） (,)xyzaaaa 2數(shù)量積 （1）定義： （2）坐標表示： cos( , )a ba ba b xxyyzza ba ba ba b 第2頁/共50頁第二頁，共51頁。 分配律： ()abca cb c 結(jié)合律： ()()()ababa b （4）向量(xingling)的夾角： cos( , )a ba ba b （5）性質(zhì)(xngzh)： 2;0;xxyyzza aaaba ba ba ba b 2向量(xingling)積 （1）定義： （3

3、）運算律： 交換律： a bb a cab sin( , )ca ba b 模模 ： 方向： 垂直 與 確定的平面，且符合右手規(guī)則。 c b a 第3頁/共50頁第三頁，共51頁。 結(jié)合律： ()()()ababab （4）性質(zhì)： 0 ,/0aaabab 分配律： ()abcacbc 反交換律： abba （3）運算(yn sun)律： （2）坐標(zubio)表示： xyzxyxijkabaaabbb 第4頁/共50頁第四頁，共51頁。一、平面(pngmin)與直線的方程 1平面(pngmin)方程 : （1）點法式(fsh)方程： 0)()()(000 zzCyyBxxA其中 為平面的法向

4、量， ( ,)nA B C 0000(,)Mxyz為平面的 一定點。 （2）一般方程： 0 DCzByAx（3）截距式方程： ，其中 1 czbyaxcba,分別為平面在三坐標軸 zyx,上的截距。 2點到平面的距離： 222000CBADCzByAxd 平面與直線、空間曲面與曲線第5頁/共50頁第五頁，共51頁。3直線(zhxin)方程：（1）一般方程： 0022221111DzCyBxADzCyBxA（2）對稱(duchn)式方程： pzznyymxx000 其中 為直線的方向向量， (, ,)sm n p ),(0000zyxM為直線的一定點。 （3）參數(shù)(cnsh)方程： ptzznt

5、yymtxx000第6頁/共50頁第六頁，共51頁。則它們(t men)的夾角為： 222222212121212121cospnmpnmppnnmm （2）兩平面相交(xingjio)（夾角） 設(shè) 與 平面的法向量分別為 與 1 2 1111(,)nA B C 2222(,)nA B C 4線、面之間的位置(wi zhi)關(guān)系：（1）兩直線相交（夾角） 設(shè) 與 的方向向量分別為 與 1111(,)sm np 2222(,)sm np 1L2L第7頁/共50頁第七頁，共51頁。（3）直線(zhxin)與平面相交（夾角）設(shè)直線 的方向向量為 , L(, ,)sm n p 222222sinpnm

6、CBACpBnAm 平面 的法向量為 ( ,),nA B C 則它們的交角： 則 222222212121212121cosCBACBACCBBAA 第8頁/共50頁第八頁，共51頁。（4）線、面之間的平行(pngxng)與垂直 設(shè)直線 與 的方向向量分別為 ， 1L2L1111(,)sm np 2222(,)sm np 平面 與 的法向量分別為 1 2 1111(,),nA B C 2222(,),nA B C 1111212222/ABCnnABC1111212222/mnpLLssmnp/0LsnAmBnCp 12121212120nnA AB BC C12121212120LLssm

7、mn np p/ABCLsnmnp 第9頁/共50頁第九頁，共51頁。二、空間(kngjin)曲面1一般方程： 0),( zyxF2旋轉(zhuǎn)(xunzhun)面：曲線 ( , )00f y zx 同理可得 面上的曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的方程及 zoxz繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的方程。x繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面z22(, )0;fxyz 方程為 繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面 y22( ,)0;f yxz方程為 第10頁/共50頁第十頁，共51頁。三、空間(kngjin)曲線 1一般方程 0),(0),(zyxGzyxF2參數(shù)(cnsh)方程 )()()(tzztyytxx3空間(kngjin)曲線在坐標面上

8、的投影曲線： （1） 0),(0),(zyxGzyxF在 面上的投影曲線： xoy 00),(zyxH（2） 0),(0),(zyxGzyxF在 面上的投影曲線： yoz( , )00R y zx （3） 0),(0),(zyxGzyxF在 面上的投影曲線： xoz( , )00T x zy 第11頁/共50頁第十一頁，共51頁。向量(xingling)代數(shù)典型例題 【例1】已知兩點 和 ,求向量 1(4, 2,1)M2(3,0,2)M余弦和方向角。12M M 的模、方向 解： 12( 1,2,1)M M 12| 2M M 方向余弦為 , , cos12 cos22 cos12 方向角為 ,

9、, 23 34 13 第12頁/共50頁第十二頁，共51頁?！纠?】確定 的值，使向量 與向量 ,3(1)ijk 相等。并求此時向量的模與方向余弦。 (3)()3ijk 分析： 向量相等的定義(dngy)是向量坐標對應(yīng)相等。 解： 由已知條件(tiojin)得 3133 易得 141 即當 時兩向量相等。 1, 4, 1 33aijk 方向余弦為 。 193,193,191,19 a模為 此時(c sh)向量為 第13頁/共50頁第十三頁，共51頁?！纠?】已知 都是單位向量，且滿足 ， 求 . , ,a b c 0abc a bb cc a 分析：向量 的坐標沒給出，也沒給出之間的夾角， 無

10、法利用數(shù)量積定義，只能考慮數(shù)量積運算規(guī)律。 , ,a b c 解： 0() ()abcabc 于是(ysh) 32a bb cc a 32()a bb cc a 2()a ab bc ca bb cc a 第14頁/共50頁第十四頁，共51頁。求 ?！纠?】已知向量 兩兩互相垂直，且 , ,p q r , 3, 2, 1 rqprqp 分析：由于向量 沒給出坐標，只給出了模，注意 , ,p q r 2aa a ，并利用條件 ， 0pqp q 便可求出 rqp Spqr ；或可不妨置 計算向量的模。于坐標系中 解法(ji f)1：2() ()pqrpqrpqrp pp qp rq pq qq r

11、r pr qr r 222222012314pqr14 rqp所以(suy) 第15頁/共50頁第十五頁，共51頁。解法(ji f)2：因三向量兩兩垂直，故可在直角坐標系中設(shè) ,2 ,3pi qj rk 23Spqrijk 則 于是(ysh) 22212314pqrS 【例5】已知向量 與三向量 123(,)xxxx (0,1,1),(1,0,1) 的數(shù)量積分別為3,5,4， 試求向量 及與其同向的單位向量。 x (1,1,0), 第16頁/共50頁第十六頁，共51頁。解：依題意有 3,5,4xxx 即 453313221xxxxxx解得 ， 3, 2, 1321 xxx14 x與 同向的單位

12、向量為 x 0123(,)141414xxx (1,2,3)x 則分析：利用 與每個 的數(shù)量積，可得出關(guān)于 x 321,xxx 的聯(lián)立方程組，解之便得結(jié)果。, 第17頁/共50頁第十七頁，共51頁?！纠?】已知 和 。求與 )1 , 3 , 3(),2 , 1, 1(21MM )3 , 1 , 3(3M1223,M MM M 同時垂直的單位向量，并且求以 1223,M MM M 為兩鄰邊的平行四邊形面積。 分析：應(yīng)用向量積構(gòu)造與兩個(lin )向量都垂直的向量； 利用向量(xingling)積模的幾何意義得平行四邊形的面積。 解： 1223(2,4, 1),(0, 2,2)M MM M 122

13、3aM MM M 241022ijk644ijk與 同時(tngsh)垂直的單位向量為： 1223,M MM M 1(3, 2, 2)17aa 平行四邊形面積 22212236( 4)( 4)2 17SM MM M 第18頁/共50頁第十八頁，共51頁?！纠?】 在 坐標平面上求向量 ，它垂直于向量 xOyp (5, 3,4),q 并與向量 有相等的模。 q 分析： 先設(shè)出向量 ，再用兩個條件確定其系數(shù)。 p 解：由已知條件,可設(shè) , ( , ,0)pa b 254)3(5222 q 由已知條件有 ，( , ,0) (5, 3,4)530p qa bab aaabap1732350222225

14、 q 則15525,31717aba ( 1517 , 2517, 0 )p 于是ab35 則第19頁/共50頁第十九頁，共51頁?！纠?】已知向量 ， 軸與三坐標軸正向構(gòu)成(4, 3,2)a u相等銳角， 求 在 軸上的投影。 a u分析：先求出 軸上的單位向量，再利用向量投影公式。 u解：設(shè) 軸的方向余弦分別為 ， u cos,cos,cos由已知條件(tiojin) 及1coscoscos222 即 軸上的正向單位向量為 ，u0111(,)333u 0001Prcos( , )(432)33ua uj aaa ua uu 于是(ysh) 1cos32 得1coscoscos3 所以 第2

15、0頁/共50頁第二十頁，共51頁?！纠?】設(shè)向量 ， ，其中 ， ， 2pab qkab 1 a2 b且 。問： ab （1） 為何值時， kpq 以 與 為鄰邊的平行四邊形面積為6。 （2） 為何值時， kp q 分析：（1）用向量(xingling)垂直的充分必要條件； （2）用向量積的模的幾何(j h)意義。 解：（1） 當 時 ( 2) ()0p qabkab 即 ， 222(2)0k abk a b 亦即 ， 時002122 k2 k0p q 故當 ，時 。 2 kpq 第21頁/共50頁第二十一頁，共51頁。（2） 平行四邊形面積(min j) bakbaqpS 2 abkbabb

16、aak 22 bak )2(002sin,k a ba b 2sin212 k622 k則 ，于是 或 32 k5 k1 k以 與 為鄰邊的平行四邊形面積為6。 p q 當 或 時， 5 k1 k第22頁/共50頁第二十二頁，共51頁。直線與平面典型(dinxng)例題【例1】求平行于 軸且經(jīng)過兩點 的平面方程。 x)7 , 1 , 5(),2, 0 , 4( 分析：（1）已知平面過兩點，可采用平面的點法式，用已知知兩點確定的向量與向量 的向量積求平面的法向量； i （2）由平面平行于 軸的特殊條件，可采用平面的一般式， x設(shè)出不含 的平面方程，再由已知兩點確定平面方程的 待定系數(shù)。x解法1:

17、 由已知點 ，確定向量 , )7 , 1 , 5(),2, 0 , 4(BA (1,1,9)AB 軸上的單位向量 ，可確定所求平面的法向量 x(1,0,0)i 第23頁/共50頁第二十三頁，共51頁。1199(0,9, 1)100ijknABijk 平面過點 ，則所求平面的點法式方程為 (4,0, 2) 0)2(9 zy即 029 zy解法2：平面平行于 軸，則平面方程中不含變量 ,于是xx可設(shè)平面(pngmin)方程為0 DCzBy點 在平面上，滿足平面方程，即有 )7 , 1 , 5(),2, 0 , 4( 第24頁/共50頁第二十四頁，共51頁。 07020DCBDC，得 CBCD92則

18、平面(pngmin)方程為 029 CCzCy即 029 zy【例2】求經(jīng)過兩點 且與平面 2480 xyz )4 , 0 , 6(),9 , 2, 3( 垂直的平面方程。分析：已知平面(pngmin)過兩點，可采用平面(pngmin)的點法式，用已知兩點確定的向量(xingling)與已知平面法向量(xingling)的向量(xingling)積可求出平面的法向量(xingling)。第25頁/共50頁第二十五頁，共51頁。，平面 過向量 ，所以， 。 ( 9,2, 5)AB nAB 已知平面 的法向量為 ， 1: 0842 zyx1(2, 1,4)n 因為 ，所以 ，可取 1 1nn 19

19、253265214ijknABnijk 則所求平面(pngmin)的點法式方程為 0)9(5)2(26)3(3 zyx即 02263 zyx解：設(shè)所求平面 的法向量為 ，已知平面 過點 ( 6,0,4)B (3, 2,9),A n 第26頁/共50頁第二十六頁，共51頁?！纠?】過點 且在三坐標軸上截距相等的平面方程。 )4 , 5, 3( 分析：最簡單的方法(fngf)是利用平面的截距式方程，再用已知 的點確定(qudng)三個相等的截距。解：設(shè)所求平面的截距式方程為 ， 1 azayax將已知點的坐標代入方程確定參數(shù) ，有 a1453 aaa2 a所求平面(pngmin)的截距式方程為 。

20、 1222 zyx或?qū)憺橐话闶椒匠?。 2 zyx解得第27頁/共50頁第二十七頁，共51頁?！纠?】求與平面 平行，且與之距離 0362145 zyx為 3 的平面。 分析： 所求平面與已知平面平行(pngxng)，法向量相同，可先設(shè)出平面方程(fngchng)的一般式，再由條件定系數(shù)。解： 所求平面與已知平面平行(pngxng)，兩者的法向量相同，故可設(shè)所求平面的方程為02145 Dzyx已知平面上有點 ，該點到所求平面的的距離為3，即 )8, 0 , 4( 315362145)8(2014)4(5222 DD可解得 或 81 D9 D第28頁/共50頁第二十八頁，共51頁。代入所設(shè)平面(

21、pngmin)方程得所求平面(pngmin)的方程為5142810 xyz 或 092145 zyx【例5】 求過點 且與平面 和 平行 )4 , 2 , 0(12 zx23 zy的直線方程。 分析：直線過已知一點(y din)，由直線的對稱式，只需求直線的 方向(fngxing)向量，直線的方向(fngxing)向量分別與兩已知平面的法向量垂直， 可用向量積求出直線的方向向量。 第29頁/共50頁第二十九頁，共51頁。可取(kq) 1210223013ijksnnijk 直線過點 ，則所求直線方程為 )4 , 2 , 0(14322 zyx解：設(shè)所求直線的方向向量為 ，兩已知平面 s 1:2

22、1xz 的法向量為 ， 的法向量為 ， 1(1,0,2)n 2:32yz 2(0,1, 3)n 則 ， 。 1sn 2sn 第30頁/共50頁第三十頁，共51頁。解： 已知直線上點 在所給平面上，該點坐標滿足 )1 , 0 ,(a平面方程； 024331310432aaaa解之得 。 1 a【例6】已知直線 在平面 ， azyax123 1343 aazyx求 的值。a分析：直線(zhxin)在平面上，則直線(zhxin)上的點都在平面上、直線(zhxin) 的方向向量與平面(pngmin)的法向量垂直。(3, 2, )sa 與平面的法向量 (3,4,)na 應(yīng)相互垂直，即 。則有 0s n

23、關(guān)系式 其次，直線的方向向量 第31頁/共50頁第三十一頁，共51頁。求平面(pngmin)的法向量與兩者分別垂直，平面(pngmin)的法向量可用向量積求得。31221 zyx【例7】求過點 且通過直線 )2, 1 , 3( 的平面方程。 分析： 直線上一點(y din)及已知點可確定一向量，直線有方向向量；所解：直線上的點 及已知點 在所求平面上， )0 , 2, 1( N)2, 1 , 3( M兩點構(gòu)成向量 ，直線方向向量 ； (2,3, 2)NM (2,1, 3)s 232724213ijjnNMsijk 所求平面(pngmin)方程為 0)2(4)1(2)3(7 zyx即 11427

24、 zyx所求平面的法向量 ， ，于是可取 ns nNM 第32頁/共50頁第三十二頁，共51頁。【例8】已知兩直線 11122:,130211:21zyxLzyxL 求過 且平行于 的平面。 1L2L分析：所求平面過直線 ，則過直線上點，由平面的點法式， 1L關(guān)鍵是求出平面(pngmin)的法向量，有兩種方法： （1）用向量積得出與兩直線的方向(fngxing)向量都垂直的向量； （2）先設(shè)出平面的法向量(xingling)，再由條件定系數(shù)。 解法1: 直線 上的點 在所求平面上；又所求平面的 1L)3 , 2 , 1(法線向量 與已知二直線 的方向向量 、 n 21,LL1(1,0, 1)s

25、 2(2,1,1)s 都垂直，從而可取121013211ijknssijk 第33頁/共50頁第三十三頁，共51頁。于是(ysh)所求平面方程為0)3(1)2(3)1(1 zyx即 023 zyx解法2：設(shè)所求的法向量為 過直線 上的點 (,)nA B C 1L)3 , 2 , 1(的方程為(1)(2)(3)0A xB yC z 已知二直線 的方向向量為 、 ， 21,LL1(1,0, 1)s 2(2,1,1)s 因為(yn wi)平面 過 ，所以 ，又因為 ，所以 ，則有 1L1sn 2L 2sn 12020snACsnABC 解得 ABAC3取 則 。 1 A(1, 3,1)n 平面(pn

26、gmin)方程為： 03)2(31 zyx即 023 zyx第34頁/共50頁第三十四頁，共51頁。【例9】求直線 與直線 162511:1 zyxL 326:2zyyxL的夾角。 分析：關(guān)鍵是求出直線 的方向向量，可用向量積求得。 2L解：直線 的方向向量是 ，而直線 的方向 1L1(1, 2,1)s 2L向量 分別與兩向量 ， 垂直,則可取 2s 1(1, 1,0)n 2(0,2,1)n 2121102021ijksnnijk 從而直線 與直線 的夾角 的余弦為1L2L 12222222121 ( 1)2 ( 1)1 231cos26 61( 2)1( 1)( 1)2ssss 因此(ync

27、) 3 第35頁/共50頁第三十五頁，共51頁?！纠?0】求過點 ，垂直于直線 且平行于 )3 , 2 , 1( 654zyx 平面 的直線方程。 010987 zyxn 可用向量積求 。 分析：由本題的條件知，求直線的方向向量 垂直于已知 s 直線的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量1s s 解：設(shè)所求直線 的方向向量為 ，已知直線 的方向 Ls 1L向量 ,已知平面 的法向量為 ，1(4,5,6)s (7,8,9)n 1456363789ijkssnijk ， ，所以， ，故可取 1LL L 1,ss sn 已知第36頁/共50頁第三十六頁，共51頁。從而(cng r)所求直線的方程為

28、 336231 zyx即 132211 zyx【例11】* 已知直線 及點 ， 7233:zyxyxL)1, 0 , 1(0 P求點 到直線 的距離 。 0PLd分析：要想求出點到直線的距離，需求(xqi)過該點與已知直線垂直 相交的直線和已知直線的交點（即垂線足，或稱為(chn wi)投影）， 得出交點即可求出。 第37頁/共50頁第三十七頁，共51頁。12110224312ijksnnijk 過點 做垂直于已知直線 的平面 ，其法向量)1, 0 , 1(0 PL n 即是 的方向向量 ，則平面方程為 Ls 2 (1)2 (0)4(1)0 xyz 即 032 zyx再求已知直線 與平面 的交

29、點 ，取已知直線 上點 L 1PL(0, 3, 2) ，得直線的對稱式方程為 032112xyz 解：已知直線 的方向向量為 L第38頁/共50頁第三十八頁，共51頁?；癁閰?shù)方程為 ，將已知直線的參數(shù)方程代入 223tztytx平面 方程 03)22(23 ttt得 ，則 31 t故有交點(jiodin) ， 38,38,31 zyx)38,38,31(1 P因此(ync)所求的距離為 933135383222210 PPd注：求點到直線(zhxin)距離、過一點作與已知直線(zhxin)垂直相交的直線(zhxin)、點在 直線上的投影等幾種問題均為同一種類型題，解題過程基本相同。第39頁/

30、共50頁第三十九頁，共51頁。【例12】通過二平面 與 的交線及 042 yx02 zy點 的平面方程。 )1, 1, 2(0 M分析：所求平面過 點，由點法式方程，只需求出平面的 0M所求平面上，又交線上的一點 與已知點 所 M)1, 1, 2(0 M向量(xingling)。也可現(xiàn)設(shè)出所求平面的法向量(xingling)，再由條件定其坐標。 又可利用(lyng)過交線的平面束。確定的向量 在所求平面上，兩者可確定所求平面的法0M M 解法1：設(shè)兩個平面的交線為 ，方向向量為 ，已知兩平面 Ls 的法向量為 ， ，因為 1(2,1,0)n 2(0,1,2)n 12,sn sn 法向量。所給兩

31、個平面的交線 （方向向量 ）顯然應(yīng)該在 s L第40頁/共50頁第四十頁，共51頁。11210242012ijksnnijk點 滿足兩已知平面方程，故該點在兩平面交線 上， )0 , 0 , 2(ML該點與點 所確定的向量 )1, 1, 2(0 M0(0,1,1)M M 平面上。則所求平面的法向量為在所求00116222(3,1, 1)242ijknM Msijk 則所求平面(pngmin)的方程為0)2(3 zyx即 063 zyx可取(kq) 第41頁/共50頁第四十一頁，共51頁。解法2：同解法1交線 的方向向量為 ， L(2, 4,2)s 0(0,1,1)M M 設(shè)求平面的法向量為 ，

32、則 ， ，( ,)nA B C ns 0nM M 于是(ysh)有 024200n sABCn M MBC ，得 BABC3取 ，則 1 B(3,1, 1)n 則所求平面(pngmin)的方程為0)1()1()2(3 zyx即 063 zyx第42頁/共50頁第四十二頁，共51頁。解法3：過交線 的平面束的方程是L24(2 )0 xyyz 即 2(1)240 xyz 點 不在交線上，故平面束中過點 的 )1, 1, 2(0 M)1, 1, 2(0 M平面唯一。將 的坐標代入平面束方程： )1, 1, 2(0 M04)1(2)1)(1(22 可得 31 于是求平面(pngmin)的方程為 043

33、2322 zyx即 063 zyx第43頁/共50頁第四十三頁，共51頁?！纠?3】求直線 在平面 0923042zyxzyx144 zyx上的投影的直線方程。分析：應(yīng)考慮過已知直線的平面束中有一個平面與已知平面垂直(chuzh)，平面束中該平面是直線的投影柱面。解：過已知直線的平面(pngmin)束方程為 329(24)0,xyzxyz 即09)2()41()23( zyx 其法向量 (32 ,14 ,2);n 平面束中有一個(y )平面與已知平面垂直， 與已知平面法向量 垂直 )2,41,23( n即其法向量)1 , 1, 4(1 n第44頁/共50頁第四十四頁，共51頁。則兩者的數(shù)量(shling)積為零，即1(32 ,14 ,2) (4, 1,1)n n 1281420 解得 1311 則法向量(xingling)為 . 17 31371(,