理論力學第5章

1、第第5 5章章 點的運動和剛體的基本運動點的運動和剛體的基本運動 點的運動點的運動 剛體的基本運動剛體的基本運動第第5 5章章 點的運動和剛體的基本運動點的運動和剛體的基本運動5.1 5.1 點的運動點的運動點點 P 的空間位置用矢量的空間位置用矢量OP表示表示OP= r點點P對于原點對于原點O的的位置矢量位置矢量，簡，簡稱稱位矢位矢)(trr 當點當點P運動時，位矢運動時，位矢r是時間的單是時間的單值函數(shù)，此即為矢量法表示的點值函數(shù)，此即為矢量法表示的點的的運動方程運動方程.點點P在運動過程中，其位置矢量的端點的連線為在運動過程中，其位置矢量的端點的連線為位矢端圖位矢端圖，顯然位矢端圖就是點

2、，顯然位矢端圖就是點P的運動的運動軌跡軌跡. .1矢量法矢量法rrrPPPxzyOrrrvtttddlim0rrvva 220ddddlimtttt方向方向 : 沿軌跡的切線方向沿軌跡的切線方向.單位單位 : m/s單位單位 : m/s2動點動點P的的速度矢速度矢等于它的等于它的位矢位矢r對對時間的導數(shù)時間的導數(shù)5.1 5.1 點的運動點的運動xzyOyxzjikrP以位置矢量的原點建立直角坐標系以位置矢量的原點建立直角坐標系 Oxyz，某一瞬時的位矢，某一瞬時的位矢r可用三個直角坐標可用三個直角坐標 x, y, z 表示為：表示為：xyzrijk 123xftyftzft運動方程表示為：運動

3、方程表示為：2直角坐標法直角坐標法5.1 5.1 點的運動點的運動(Oxyz)為定參考系為定參考系xyzxyzvvvvrijkijk0ijk() ()xyzxyzvrijkijkyxzjikrxzyOvaxyzxyzaaaavijkijk5.1 5.1 點的運動點的運動這個帶有正負號的弧長這個帶有正負號的弧長s 稱為點稱為點P的的弧坐標弧坐標。弧坐標要素：弧坐標要素： 有坐標原點有坐標原點(一般在軌跡上一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點任選一參考點作為坐標原點)； 有正、負方向有正、負方向(一般以點的一般以點的運動方向作為正向運動方向作為正向)； 有相應的坐標系有相應的坐標系(自然軸系自然軸

4、系)。1) 弧坐標弧坐標3弧坐標法弧坐標法5.1 5.1 點的運動點的運動2）密切面）密切面 當點當點P 無限接近于點無限接近于點P時，過這兩點的切線所組成的平面，時，過這兩點的切線所組成的平面，稱為點稱為點P的的密切面密切面。5.1 5.1 點的運動點的運動密切面的特性：密切面的特性： 空間曲線上的任意點都存在密切面，而且空間曲線上的任意點都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。 空間曲線上的任意點無窮小鄰域內(nèi)的一段空間曲線上的任意點無窮小鄰域內(nèi)的一段弧長，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線?；￠L，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。 曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)的曲率，稱曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)

5、的曲率，稱為第二曲率。為第二曲率。 曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度，稱為曲線的曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度，稱為曲線的曲率，用曲率，用 表示。表示。/15.1 5.1 點的運動點的運動s -s +PT(切線切線)N(主法線主法線)3 3）自然軸系）自然軸系B(副法線副法線)P空間曲線上的動點；空間曲線上的動點；T 過動點過動點P的密切面內(nèi)的密切面內(nèi) 的切線，其正向指向的切線，其正向指向 弧坐標正向；弧坐標正向；N 密切面內(nèi)垂直于切線密切面內(nèi)垂直于切線 的直線，其正向指向的直線，其正向指向 曲率中心；曲率中心；B 過動點過動點P垂直于切線垂直于切線 和主法線的直線，其和主法線的直線，其 正向由正向由BTN

6、 確定確定。tnb5.1 5.1 點的運動點的運動自然軸系跟隨動點在軌跡上作空間曲線運動。自然軸系跟隨動點在軌跡上作空間曲線運動。5.1 5.1 點的運動點的運動4 4）點的速度和加速度）點的速度和加速度tsstddddddrrvtrsddvstsddtvv1limdd0srsrt5.1 5.1 點的運動點的運動vtssdd1ddddntntvvatvvttavvnta2vv tsstddddddddttt5.1 5.1 點的運動點的運動 弧坐標中的加速度表示弧坐標中的加速度表示nta2ddvtv 在自然軸系投影形式在自然軸系投影形式bntabntaaastva ddt2nva 0bantaa

7、a切向加速度切向加速度 (tangential acceleration) ： 表示速度矢量大小的變化率；表示速度矢量大小的變化率；法向加速度法向加速度(normal acceleration) ： 表示速度矢量方向的變化率表示速度矢量方向的變化率表明加速度表明加速度 a在副法線方向沒有分量；在副法線方向沒有分量； 速度矢量速度矢量v和加速度矢量和加速度矢量a都位于密切面內(nèi)都位于密切面內(nèi)。5.1 5.1 點的運動點的運動 【例【例5-1】 如圖所示如圖所示, 半徑為半徑為R 的圓盤沿直線軌道無滑動的圓盤沿直線軌道無滑動地滾動（純滾動），設圓盤在鉛垂面內(nèi)運動，且輪心地滾動（純滾動），設圓盤在鉛垂

8、面內(nèi)運動，且輪心A的速度的速度為為 v0 (t)。分析圓盤邊緣一點。分析圓盤邊緣一點M的運動，并求當點的運動，并求當點M與地面接與地面接觸時的速度和加速度以及點觸時的速度和加速度以及點M運動到最高處軌跡的曲率半徑；運動到最高處軌跡的曲率半徑；討論當輪心的速度為常數(shù)時，輪邊緣上各點的速度和加速度討論當輪心的速度為常數(shù)時，輪邊緣上各點的速度和加速度分布。分布。5.1 5.1 點的運動點的運動【解】【解】(1)建立坐標系建立坐標系Oxy如圖所示，取點如圖所示，取點M所在的一個最低位置為原點所在的一個最低位置為原點O設在任意時刻設在任意時刻t圓盤的轉角圓盤的轉角CAM由于圓盤是純滾動由于圓盤是純滾動點

9、點 M 運動方程運動方程:xysinAMOC cosAMAC xysinRcos1R5.1 5.1 點的運動點的運動點點 M 的運動方程的運動方程:xysinRcos1R點點 M 速度分量速度分量:x cos1Ry sinR點點 M 的加速度分量的加速度分量x sincos12 RRy cossin2 RR【解】【解】5.1 5.1 點的運動點的運動因為點因為點A作水平直線運動作水平直線運動,輪只滾不滑輪只滾不滑ROCxA0vRxA0vRxA 00va, 若記若記:RaRv00在純滾動時上式可作為公式使用在純滾動時上式可作為公式使用【解】【解】5.1 5.1 點的運動點的運動x cos1Ry

10、sinR 點點 M 的速度大小的速度大小v22yx cos12RMCv2sin20 即輪上點即輪上點M的速度大小與它到點的速度大小與它到點C（輪上與地面接觸點）之（輪上與地面接觸點）之距離成正比。距離成正比?！窘狻俊窘狻?.1 5.1 點的運動點的運動即輪上點即輪上點M的速度的方向的速度的方向2cos,cosvvyyv2sin,cosvvxxv當當 = 0和和 =2p p時，點時，點 M 與與地接觸，此時的速度為零地接觸，此時的速度為零x sincos12 RRy cossin2 RR其加速度其加速度ja2R 當點當點M與地接觸時，其加速度的大小不等于零，方向垂直于與地接觸時，其加速度的大小不

11、等于零，方向垂直于地面向上。此為絕對切向加速度，因此時速度為零，故其法向地面向上。此為絕對切向加速度，因此時速度為零，故其法向加速度為零。加速度為零?！窘狻俊窘狻?.1 5.1 點的運動點的運動(2)點點M的軌跡在最高點的軌跡在最高點B處的曲率半徑處的曲率半徑在最高點在最高點B處的速度和加速度處的速度和加速度:iv02via R2j2R點點 M 的軌跡在最高點處的切線的軌跡在最高點處的切線方向為方向為i，并且曲線向下彎曲，并且曲線向下彎曲，所以主法線方向沿所以主法線方向沿 -j，于是法向，于是法向加速度的大小為：加速度的大小為：RvRa202n曲率半徑：曲率半徑：n2avRRvv4)2(202

12、0【解】【解】5.1 5.1 點的運動點的運動【討論】【討論】若若v0為常矢量，則為常矢量，則 為常數(shù)，故為常數(shù)，故0 點點 M 的加速度的加速度222axyR點點 M 的加速度方向的加速度方向sincosaa,xxacoscosaa,yya 所以此時輪緣上點所以此時輪緣上點M的加速度方向均指向輪心的加速度方向均指向輪心A，此時，此時的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不過請注意，的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不過請注意，若若v0不為常矢量，則加速度方向并不指向輪心。不為常矢量，則加速度方向并不指向輪心。5.1 5.1 點的運動點的運動5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動

13、 平移平移 定軸轉動定軸轉動5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動剛體在運動過程中，其上任一條直線始終與其初始位置保剛體在運動過程中，其上任一條直線始終與其初始位置保持平行，這種運動稱為持平行，這種運動稱為平移平移。 平行平行5.2.1 平移平移速度和加速度速度和加速度BArrBA)(ddddBArrBAtt由于矢量由于矢量 BA 是常矢量，是常矢量，因此有因此有BABAaavvBA剛體平移的特點剛體平移的特點5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動由于點由于點 A 和和 B 是任意選取的，是任意選取的，此我們可以得到如下的結論：此我們可以得到如下的結論：1 1）剛體上各點的軌跡形狀

14、相同；）剛體上各點的軌跡形狀相同；2 2）同一瞬時，剛體上各點的速度）同一瞬時，剛體上各點的速度相同，加速度相同。相同，加速度相同。1 1、平移剛體的運動學問題，可歸結為點的運動學來處理，、平移剛體的運動學問題，可歸結為點的運動學來處理，即剛體上任何一點的運動，就可代表剛體上其它各點的運動。即剛體上任何一點的運動，就可代表剛體上其它各點的運動。 2 2、通常可研究平移剛體與其他物體的連接點。、通常可研究平移剛體與其他物體的連接點。BA5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動5.2.2 定軸轉動定軸轉動5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動1定軸轉動剛體上各點的速度和加速度定軸轉動剛體

15、上各點的速度和加速度剛體在運動過程中，其上有且只有一條直線始終固剛體在運動過程中，其上有且只有一條直線始終固定不動時，稱定不動時，稱剛體繞定軸轉動剛體繞定軸轉動，該固定直線稱為，該固定直線稱為軸軸線線或或轉軸轉軸 。rad)(tf用右手螺旋定則來確定轉角用右手螺旋定則來確定轉角的正負號的正負號從軸從軸z 的正向往負向看去，的正向往負向看去，逆逆時針轉向為正時針轉向為正，反之為負反之為負。 rad/s角速度角速度: :在工程中，可以用轉速在工程中，可以用轉速 n 來表示角速度來表示角速度:2rad/s 角加速度角加速度rpm:unit30/60/2nn5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動

16、3) 加速度加速度RRvat切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度222n/)(/RRRRva422222t2n)()(RRRaaa2nt/tanaa1) 自然坐標系下定軸轉動自然坐標系下定軸轉動剛體上點的運動方程剛體上點的運動方程.Rs 2) 速度速度RRsv5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動2 2、輪系傳動比、輪系傳動比內(nèi)齒輪嚙合內(nèi)齒輪嚙合定義傳動比為輪定義傳動比為輪1 1和輪和輪2 2的角速的角速度之比度之比: :12122112ZZrri21vv 2211rrtrZ2121212/ 2/ 2ZZtrtrrr齒數(shù)的計算齒數(shù)的計算: :5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運

17、動外嚙合齒輪外嚙合齒輪221121rrvv12122112ZZrri2121 602nnn5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動傳動比傳動比主動齒輪齒數(shù)被動齒輪齒數(shù)121221212,1 zzrrnni顯然顯然, , 當當 , : , : 被動齒輪的角速度增被動齒輪的角速度增大，加速旋轉；大，加速旋轉； 1|2, 1i121|2 , 1i12當當 , : , : 被動齒輪的角速度減小，減速被動齒輪的角速度減小，減速旋轉；旋轉；5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動tdd 22ddddttkk3速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動t

18、ttPPPPddddddrrvapvrPntPPPaaaPPratPPvanPPrv5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動考察三維定軸轉動剛體考察三維定軸轉動剛體?ddti?ddtk?ddtj泊松公式泊松公式(Poisson formula) (Poisson formula) 設動系設動系O x y z 繞繞 z軸軸轉動，角速度為轉動，角速度為 ，基基矢量為矢量為(i , j , k )5.2 5.2 剛體的基本運動剛體的基本運動 如果將如果將基基矢量矢量 (i , j , k )視為視為動系動系O x y z 中的矢徑，根據(jù)速度矢量的中的矢徑，根據(jù)速度矢量的定義，基矢量對時間的一階導數(shù)就是基定義，基矢量對時間的一階導數(shù)就是基矢量端點軌跡上各點矢量端點軌跡上各點(例如例如P1， P2，P3點點)的速度矢量。的速度矢量。)(dd1Ptvii)(dd2Ptvjj)(dd3Ptvkk 【例【例5-2】 如圖所示，長為如圖所示，長為a，寬為，寬為b的矩形平板的矩形平板ABDE懸掛在兩根等長為懸掛在兩根等長為l ， 且相且相互平行的直桿上。板與桿之互平行的直桿上。板與桿之間用鉸鏈間用鉸鏈A，B 連接連接 。 二桿二桿又分別用鉸鏈又分別用鉸鏈 O1， O2 與固與固定的水平平面連接。已知桿定