運動穩(wěn)定性基礎

1、會計學1運動穩(wěn)定性基礎運動穩(wěn)定性基礎2-23-1 基本概念2-3相軌跡相點或相空間維空間稱為狀態(tài)空間，建立抽象的以狀態(tài)變量為基，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，：動力學方程一般可寫作.,), 2 , 1(),(2121nyyynjtyyyYynnjj穩(wěn)定：受擾運動與未擾運動相差不大。不穩(wěn)定：受擾運動與未擾運動相差大。1. 擾動方程),(),(,),(n2121tYYYyyyTnTnyYyYy動力學方程可寫作維列陣引入)()(),(),(0s0ssttttsyyyYyyy其初始條件為動或穩(wěn)態(tài)運動運動，我們稱為未擾運此特解代表系統(tǒng)的一種滿足設此方程的特解為件但對應于不同的初始條的解，同一動力學微分方程組與未擾

2、運動顯然受擾運動)()(sttyy為擾動稱)()()()(ttttsxyyx),(),(),(),()(tttttssyYxyYxXxXx2. 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義穩(wěn)定。（則稱未擾運動，均有對于所有的動，只要其初擾動滿足，對一切的受擾運存在正數(shù)，正數(shù)定義一：若給定任意小)(,)(00tttttsyxx內都將永遠限制在內出發(fā)的任意一條相跡幾何解釋：SS漸近穩(wěn)定。（則稱未擾運動，時均有定，且當定義二：若未擾運動穩(wěn))0)(tttsyx為不穩(wěn)定。（則稱未擾運動，滿足存在時刻時當初擾動滿足，存在受擾運動，對任意小正數(shù)定義三：若存在正數(shù))(,)(),(1010ttttttsyxxy。都將漸近地向原點趨近內

3、出發(fā)的任意一條相跡幾何解釋：S的邊界。到內出發(fā)的相跡，最終達多小，總有一條幾何解釋：無論SSS李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義基于以下條件：在同一微分方程支配下，受擾運動僅由初擾動引起，在初擾動后，系統(tǒng)不再受其他擾動，且受擾運動與未擾運動在 t無限時間內的同一時刻進行比較。軌道穩(wěn)定性軌道穩(wěn)定性只要求受擾運動軌道與未擾運動軌道充分接近，但同一時刻兩者可能相距甚遠。定從而振子的平衡位置穩(wěn)代人上式，導出，將)1,1min(0002010 xx3-2 相平面方法不顯含時間 t 的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)。對單自由度自治系統(tǒng)，其運動過程可由相平面內的軌跡來描述。系統(tǒng)平衡對應相跡為奇點。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性

4、的幾何解釋，可從奇點的不同類型，確定奇點附近的相跡走向，從而確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。這種直觀的幾何方法稱為相平面方法。 )(,)(0)(22121xfxxxxxxxxfxfx 引入新變量稱為“力”1. 保守系統(tǒng)的能量積分為“機械能”為“勢能”，稱稱積分得相軌跡方程：ExVdxxfxVExVxxxfdxdxx)()()(,)(21)(1011122211212. 相軌跡特性每一條相跡代表系統(tǒng)的一種可能的運動狀態(tài)。所有相跡代表所有可能的運動狀態(tài)，也包括平衡狀態(tài)?？紤]到初始條件的連續(xù)性，相軌跡一般來說可以充滿相平面（整個或局部） 。獲得相軌跡可由運動方程亦可由上述方程。顯然，平衡狀態(tài)的相跡為一個點

5、，反之，相軌跡退化為一個點時（稱為奇點），對應于一個平衡狀態(tài)。研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，可由奇點的特征獲得。因為根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，擾動引起的相跡改變在奇點的附近（鄰域），稱為（平衡）穩(wěn)定。因此“中心”對應于穩(wěn)定平衡狀態(tài)“鞍點”對應于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)奇點分類：（1）中心，指奇點周圍的相跡為圍繞奇點的類型（2）鞍點，指奇點周圍的相跡有不圍繞奇點的類型根據(jù)相跡方程（3.2.4），相跡奇點的類型可由勢能函數(shù)V(x)獲得?？偨Y如下：穩(wěn)定稱為“退化鞍點”，不右側具有鞍點性，有中心性，在左側具處，在勢能拐點的定奇點為“鞍點”，不穩(wěn)處，對應的勢能取極大值的奇點為“中心”，穩(wěn)定處，對應的勢能取極小值的是相跡的

6、奇點。的駐點對應勢能交處，相軌跡與橫坐標相的交點與勢能相軌跡對橫坐標對稱3331211121132111)6()5()4(, 0, 0)()()3(,)()2() 1 (SSSxSxSxxxfxVzCCCxEzxVz3. 拉格朗日定理 若單自由度保守系統(tǒng)的勢能在平衡位置處有孤立極小值，則平衡穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。該定理稱為“拉格朗日-狄里克雷定理”，簡稱“拉格朗日定理”中心：對應于單擺下垂位置鞍點：對應于單擺倒立位置結論：單擺下垂位置穩(wěn)定， 單擺倒立位置不穩(wěn)定4. 靜態(tài)分岔之變化。參數(shù)的變化時，相跡隨為：則勢能，運動微分方程為：于某個參數(shù)設保守系統(tǒng)的力場依賴xdxxfxVVxfx0),(),(0)

7、,( 現(xiàn)象稱為分岔。的臨界值為分岔值。該為分岔參數(shù)，型產(chǎn)生突變，則稱主要指奇點的個數(shù)和類突變，跡軌跡的拓撲性質產(chǎn)生經(jīng)過某個臨界值時，相若如圖所示和分別對應于平面分割成兩個區(qū)域，平面上確定的曲線將此該方程在）（由以下方程確定：相跡的奇點0),(0),(),(8.2.30),(sssssxfxfxxfx處為中心，平衡穩(wěn)定。而也是鞍點。同樣點。處取極大值，奇點為鞍在，表明勢能即有從正值變?yōu)樨撝担蚨鴷r，變?yōu)榇笥谟尚∮诋敶_定。，的縱坐標的交點與曲線可由直線，奇點的位置對于任意給定的參數(shù)2310001132100),(0),(, 0),(),(,2,310),(ssssssssssssxxxxxxxVx

8、Vxfxfxxxxxxxf 龐加萊方法:穩(wěn)定。則奇點為鞍點，平衡不的下方，位于曲線如果區(qū)域定。則奇點為中心，平衡穩(wěn)的上方，位于曲線如果區(qū)域0),(0),(0),(0),(ssssxfxfxfxf線對應不穩(wěn)定圖中實線對應穩(wěn)定，虛就是相跡的分岔值。，類型都發(fā)生突變，因此個數(shù)或經(jīng)過這些點時，奇點的當都具有臨界性質，或取不定值的點3213210sdxd于非線性系統(tǒng)。因此，分岔現(xiàn)象只存在無重根，不存在分岔值的線性函數(shù)，為若0),(),(xfxxfrgsrgssfrgffcr分岔值為虛線對應鞍點圖中，實線對應中心，令3),arccos(2, 010),()cos(sin),(0),(22 5. 耗散系統(tǒng)c

9、xxfxxxxxxxfxcx211221)(dd,0)(，有令：來說，其動力學方程為則稱為耗散系統(tǒng)。一般性阻尼力，還有與速度成正比的粘設系統(tǒng)內除保守力外， 處。都是與有阻尼時的奇點一致顯然，無阻尼時的奇點0)(xf為漸近穩(wěn)定。此時平衡狀態(tài)由穩(wěn)定轉普諾夫穩(wěn)定定義，于中心奇點。根據(jù)李雅看出，相跡將不斷趨近，可以）時，相跡斜率減少（當也一定是中心。因為，有阻尼時，此點衡位置，奇點為中心。對于無阻尼時的穩(wěn)定平ccc00稱奇點為穩(wěn)定結點。往奇點的射線，這時，點，成為直接通較大，相跡迅速接近奇當阻尼較強時，穩(wěn)定焦點。旋線，這時，稱奇點為形成一條趨近中心的螺軌跡的部分特征，較小，相跡仍保持封閉當阻尼較弱時，

10、cc定結點。改稱不穩(wěn)定焦點或不穩(wěn)變?yōu)椴环€(wěn)定。奇點類型狀態(tài)跡不斷向外擴展，平衡時，阻尼成為激勵，相當0c3-3 李雅普諾夫直接方法不求解運動微分方程，而是根據(jù)擾動微分方程本身直接判斷其零解的穩(wěn)定性。1. 定號，半定號和不定號函數(shù)函數(shù)）。為半正定函數(shù)（半負定，稱時，而對原點的鄰域當且僅當定義二：）。統(tǒng)稱為定號函數(shù)。為正定函數(shù)（負定函數(shù)，稱時，而對原點的鄰域當且僅當定義一：連續(xù)實函數(shù)。原點鄰域內的單值維狀態(tài)空間是設)()0(0000)()0(0000),(n)(21xxxxxxxxVVVVVVVVxxxVn為不定號函數(shù)。正值也可取負值，稱可取時，而對原點的鄰域當且僅當定義三：)(000 xxxVVV

11、2. 李雅普諾夫定理運動漸近穩(wěn)定。為負定，則系統(tǒng)的未擾）解曲線計算的全導數(shù)（，使沿擾動方程可微正定函數(shù)定理二：若能構造一個的未擾運動穩(wěn)定。統(tǒng)為半負定或為零，則系）解曲線計算的全導數(shù)（，使沿擾動方程可微正定函數(shù)定理一：若能構造一個為：維列向量，其擾動方程為維自治系統(tǒng)，討論VVVVnn.3.13)(.3.13)(xxX(x)xx。系統(tǒng)的未擾運動不穩(wěn)定為正定，則）解曲線計算的全導數(shù)使沿擾動方程（，定號函數(shù)可微正定、半正定或不定理三：若能構造一個VV.3.13)(x上述定理的嚴格數(shù)學證明可參考有關文獻。下面，我們從幾何觀點給出不嚴格但直觀的證明。此封閉曲線的內切圓為相切的封閉曲線，選擇是與投影在相平面

12、的，交于與曲面的最低點作平面過曲線，交于作圓柱面與曲面。過的圓為中心在相平面上作半徑相切。以原點為與平面。顯然此曲面在原點處函數(shù)曲面三維空間內作正定。在設擾動變量為二維，SSSSSconstVSSSSxxVxxxx32211212121),(),(),(x運動穩(wěn)定。普諾夫的定義一，未擾。根據(jù)李雅方程的相跡均不能越出內出發(fā)的每一條擾動下方，因此從的必局限在的運動不可能上行，而上的對應點在內出發(fā)的相點為半負定或為零，則從算的全導數(shù)）解曲線計沿擾動方程（若SSSPPSVV2.3.13)(x。二，未擾運動漸近穩(wěn)定普諾夫的定義向原點逼近。根據(jù)李雅必對應的點至最底點，在相平面上下降點的運動必沿為負定，則若

13、PPV運動不穩(wěn)定。三，未擾根據(jù)李雅普諾夫的定義邊界。的地遠離原點而達到指定點必相應上升。相平面內的的運動必沿的區(qū)域內出發(fā)的點為正定，在不定，而若SPPVVV 03. 拉格朗日定理在3-2中給出了單自由度保守系統(tǒng)穩(wěn)定性的拉格朗日定理。利用李雅普諾夫直接方法，可以進一步證明，拉格朗日定理也適用于任意自由度的保守系統(tǒng)系統(tǒng)。取系統(tǒng)的哈密頓函數(shù) H=T+V 為李雅普諾夫函數(shù)，其中動能為廣義速度的正定二次齊次函數(shù)，將平衡位置作為勢能的零點。若勢能在V平衡位置取孤立極小值，則 V為廣義坐標的正定函數(shù)。因此 H=T+V為正定函數(shù)。由于保守系統(tǒng)存在能量積分，T+V均為常數(shù)，其沿擾動方程的解曲線的全導數(shù)必等于零。

14、根據(jù)李雅普諾夫的定理一，平衡位置穩(wěn)定。拉格朗日定理拉格朗日定理：若勢能V在平衡位置取孤立極小值，則保守系 統(tǒng)的平衡穩(wěn)定。切塔耶夫定理切塔耶夫定理：若勢能V在平衡位置取孤立極大值，且V為廣 義坐標的二次齊次函數(shù)，則保守系統(tǒng)的平衡不穩(wěn)定。3-4 一次近似穩(wěn)定性理論李雅普諾夫直接方法理論上適用于一切非線性系統(tǒng)，但由于缺乏普遍適用的構造李雅普諾夫函數(shù)的方法，因此，實際應用時存在不少困難。線性系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)展的十分完善。將非線性系統(tǒng)近似化為線性系統(tǒng)，稱為一次近似系統(tǒng)。能否用一次近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析代替非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，需要研究。本節(jié)首先研究線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則，然后給出李雅普諾夫一次近似理論。1. 線

15、性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則 )(, 2 , 1,()(,)3 . 4 . 3(0雅可比矩陣式中次近似方程統(tǒng)的一到線性方程組，即原系略去二次及以上項，得勒級數(shù)，述擾動方程右邊展成泰當擾動足夠小時，將上為：維列向量，其擾動方程為維自治系統(tǒng)，討論njixXaannxjiijnnijAAxxX(x)xxnnnnnnnsssmnsssBemmmjst212121,0.34 . 3.34 . 3顯然有：每個根的重數(shù)分別為個不同的特征值的特征值，設共有此方程的根為的特征方程。次代數(shù)方程，即的展開后得到件是：有非零解的充分必要條（）得）為常值列陣，代入（式中）的解為：設（AAEAB0E)BABBx次多項式。的是則方程

16、基本解為：重數(shù)為有重的特征值為有界函數(shù)。實部時，對應的基本解有零為臨界情形，特征值對應的解無限增大。作的特征值正實部隨時間推移趨于零。有有負實部時，對應的解特征值）的解為：個不同的單根，方程（有設1)(), 2 , 1()(,)2(), 2 , 1(.34 . 3) 1 (kktskkkkkkktsknttfnketfxnssssnkexnkkAA由于線性微分方程組的通解是由基本解的線性組合構成，因此方程組（3.4.3）的零解穩(wěn)定性可根據(jù)特征值的實部符號判定。歸納為以下定理。線性方程組穩(wěn)定性準則 定理一：若所有特征值的實部為負，則線性方程組的零解漸近穩(wěn)定。 定理二：若至少有一特征值的實部為正，

17、則線性方程組的零解不穩(wěn)定。具有正實部的特征值數(shù)目稱為不穩(wěn)定度。 定理三：若存在零實部的特征值，且為單根，其余根無正實部，則線性方程組的零解穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定。若為重 根， 則零解不穩(wěn)定。2. 李雅普諾夫一次近似理論 以上三定理適用于線性系統(tǒng)，李雅普諾夫證明，在一定條件下，從一次近似方程的穩(wěn)定性推斷原方程的穩(wěn)定性。歸納為以下定理。 定理一：若一次近似方程的所有特征值的實部為負，則原線性方程組的零解漸近穩(wěn)定。 定理二：若一次近似方程至少有一特征值的實部為正，則原方程組的零解不穩(wěn)定。 定理三：若一次近似方程存在零實部的特征值，其余根無正實部，則不能判斷原方程組的零解穩(wěn)定性。 定理一和定理二與線性系

18、統(tǒng)相同，定理三為臨界情況，線性系統(tǒng)能判斷穩(wěn)定與否。但非線性系統(tǒng)不行，此時非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在很大程度上取決于略去的高次項。3. 勞斯-赫爾維茨判據(jù) 一次近似方程的全部特征值實部為負，是一次近似方程也是原方程的零解漸近穩(wěn)定的充分條件。 1895年提出的勞斯-赫爾維茨判據(jù)是判斷此條件是否滿足的實用方法。設線性方程組的特征方程展開后的一般形式為：以后的元素為零。排列，向右的元素依次為：）自對角線元素（以后的元素為零；排列，向左的元素依次為：行內，自對角線元素）任意（元素；，依次排列成主對角線，將階方陣下規(guī)則構成。將此方程的系數(shù)按以規(guī)定002121210111032) 1 (:00aaaaaaaaaa

19、kaaanaasasasakkknnkkknnnnnDnkkknnkkknnnnnaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaakaaanaasasasa000000000000000032) 1 (:000123450123010021212101110以后的元素為零。排列，向右的元素依次為：）自對角線元素（以后的元素為零；排列，向左的元素依次為：行內，自對角線元素）任意（元素；，依次排列成主對角線，將階方陣下規(guī)則構成。將此方程的系數(shù)按以規(guī)定D，赫爾維茨行列式：稱為特征多項式的個順序主子行列式的34512301323012110), 2 , 1(aaaaaaaaaaaaaninDi), 2

20、 , 1(04.4.13nkk行列式均大于零，即條件為所有的赫爾維茨的充分必要）的所有根均有負實部定理：代數(shù)特征方程（3-5 機械系統(tǒng)的穩(wěn)定性 工程機械系統(tǒng)除受到重力和彈性恢復力等保守力以外，還受有阻尼力，有時對帶有旋轉部件的機械系統(tǒng)還有科氏慣性力引起的廣義力陀螺力。 一般來說，機械系統(tǒng)通常包含保守力，阻尼力和陀螺力。為反對稱矩陣為對稱矩陣，和陀螺陣。陣，阻尼陣分別稱為質量陣，剛度，階方陣組可寫為：機械系統(tǒng)的動力學方程GCKMGCKM0KxxG)(CxMf)4 . 5 . 3( 1. 線性化動力學方程的普遍形式線性化動力學方程的普遍形式2. 機械系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理機械系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理后系統(tǒng)仍不穩(wěn)

21、定。統(tǒng)不穩(wěn)定，則加入阻尼漸近穩(wěn)定。若若保守系定，則系統(tǒng)轉為若為完全阻尼，即為正響系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性。的加入不影的正定，則阻尼度矩陣若保守系統(tǒng)穩(wěn)定，即剛，阻尼系統(tǒng)（定理二：對保守的充分必要條件。的正定性是零解穩(wěn)定性陣，剛度矩定理一：對保守系統(tǒng)（方程的普遍形式。為擾動，則上式為擾動視CK0G0,C0,K0,MK0G0,C0,K0,Mx0KxxG)(CxM)4 . 5 . 3( 系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。的加入不可能改變存在，為完全阻尼，則由于的穩(wěn)定，且統(tǒng)不加入的影響。若保守系且不受則系統(tǒng)轉為漸近穩(wěn)定，為正定，即穩(wěn)定性。若為完全阻尼加入不影響系統(tǒng)的零解的和正定，則剛度矩陣，若保守系統(tǒng)穩(wěn)定，即阻尼系統(tǒng)（陀螺定理四：對保守穩(wěn)定性。不加入不可能改變系統(tǒng)的為奇數(shù)，則轉為穩(wěn)定。若不穩(wěn)定度加入有可能使系統(tǒng)個數(shù)）為偶數(shù)，則（具有正實部的特征值，且不穩(wěn)定度性。若保守系統(tǒng)不穩(wěn)定不影響系統(tǒng)的零解穩(wěn)定的加入正定，則陀螺矩陣度矩陣若保守系統(tǒng)穩(wěn)定，即剛，陀螺系統(tǒng)（定理三：對保守GCGCGCK0G0,C0,K0,MGGGK0G0,C0,K0,M)定理一就是拉格朗日定理。定理二表明阻尼力對系統(tǒng)的穩(wěn)定性無實質性的影響。定理三表明有時有可能利用陀螺力起鎮(zhèn)定作用。定理四表明若系統(tǒng)內存在完全阻尼，陀螺力不能起鎮(zhèn)定作用。 上述定理稱為開爾文開爾文-泰特泰