高二數(shù)學(xué)選修4-4曲線的極坐標(biāo)方程課件

1、三、曲線的極坐標(biāo)方程三、曲線的極坐標(biāo)方程在直角坐標(biāo)平面上，曲線可以用在直角坐標(biāo)平面上，曲線可以用 x、y 的二元方程的二元方程F（x,y）0來(lái)表示，這種方程也稱為曲線的直角坐標(biāo)方程。來(lái)表示，這種方程也稱為曲線的直角坐標(biāo)方程。同理，在極坐標(biāo)平面上，曲線也可以用關(guān)于同理，在極坐標(biāo)平面上，曲線也可以用關(guān)于、的二元方程的二元方程G（，）0來(lái)表示，這種方程稱為曲線的極坐標(biāo)方程。來(lái)表示，這種方程稱為曲線的極坐標(biāo)方程。類似于曲線直角坐標(biāo)方程的求法，可以求曲線的極坐標(biāo)方程。類似于曲線直角坐標(biāo)方程的求法，可以求曲線的極坐標(biāo)方程。解：如圖所示，解：如圖所示，P(,)xA(2r,0)C(r,0)O|OP|OA|co

2、sPOA所以所以 所求圓的極坐標(biāo)方程為所求圓的極坐標(biāo)方程為2acos設(shè)設(shè)P（，）為圓上任意一點(diǎn)，）為圓上任意一點(diǎn)，由于由于OPAP即即 2acos|OA|=2a，POA則則思考：求圓心在思考：求圓心在C（r,/2)、半徑為、半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程？的圓的極坐標(biāo)方程？解：解：如圖所示，由題意可知，所求圓的圓心在垂直于極軸且位于如圖所示，由題意可知，所求圓的圓心在垂直于極軸且位于極軸上方的射線上，而圓周經(jīng)過(guò)極點(diǎn)。極軸上方的射線上，而圓周經(jīng)過(guò)極點(diǎn)。設(shè)圓與垂直于極軸的射線的另一交點(diǎn)為設(shè)圓與垂直于極軸的射線的另一交點(diǎn)為A，則，則A點(diǎn)的極坐標(biāo)為點(diǎn)的極坐標(biāo)為（r, /2)。設(shè)圓上任意一點(diǎn)為設(shè)圓上任意一點(diǎn)為

3、P（，），連結(jié)），連結(jié)PA，則，則OP，POx在在RtPOA中，由于中，由于cosPOA=|OP|/|OA|，所以所以cos()/2 ,2r sin/2 , r即所以所以 2rsin為所求圓的極坐標(biāo)方程。為所求圓的極坐標(biāo)方程。A(2r,C(r,xP(,)O 例例2 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(2,0)且垂直于極軸的直線且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。解：解： 如圖所示，在所求直線如圖所示，在所求直線 l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P（，），連結(jié)），連結(jié)OP，則則 OP，POA在在RtPOA中，由于中，由于OA/OP=cos，所以所以 2/cos,所以所以 cos=2為所求直線的極坐標(biāo)方程。為所求直

4、線的極坐標(biāo)方程。OxP(, )A(2,0)課堂練習(xí)課堂練習(xí)(2)5(1)cos4cosx4x (3)2 sinr（2）解：）解：兩邊同時(shí)平方，得兩邊同時(shí)平方，得225把把222xy代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程2225xy(3)2 sinr22sinr222 sinxyy、222xyry222()xyrr即1、求過(guò)極點(diǎn)，傾角為、求過(guò)極點(diǎn)，傾角為 的射線的極的射線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求過(guò)極點(diǎn)，傾角為、求過(guò)極點(diǎn)，傾角為 的直線的極的直線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。4 544 或或例題例題2、求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直

5、，且垂直于極軸的直線于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線L上除點(diǎn)上除點(diǎn)A外的任外的任意一點(diǎn)，連接意一點(diǎn)，連接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方 程，并化簡(jiǎn)；程，并化簡(jiǎn)；, 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。

6、、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。練習(xí)：練習(xí)：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為A ，直，直線線 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直求直線線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 ( ,0)a ll解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線 上異于的點(diǎn)上異于的點(diǎn)l連接連接OM， oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯然A點(diǎn)也滿點(diǎn)也滿足上方程。足上方程。例題例題3設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 點(diǎn)點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接OM為直線上除為直線上除則則 由點(diǎn)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知 ,OMxOM1OP 1xOP 設(shè)直線設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)與極軸交于點(diǎn)A。則。則在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin() 11sin()sin()顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)也是它的解。